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8.如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E,F,AB=2,BC=4,则图中阴影部分的面积为
4
.答案
8.4
解析
【分析】
解题时先从矩形的性质入手，矩形对角线互相平分，且AD平行于BC，可推出△AOE和△COF全等，二者面积相等，因此我们可以将分散的阴影面积进行转化，把阴影中△AOE的面积替换为△COF的面积，此时阴影部分面积就转化为△BCD的面积，也就是矩形面积的一半，最后计算矩形面积即可求出阴影面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，AD//BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAE=∠ OCF\\ OA=OC\\ ∠ AOE=∠ COF\end{array} $
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴$S_{△ AOE}=S_{△ COF}$，
则阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ AOE}+S_{△ BOF}+S_{△ OCD}=S_{△ COF}+S_{△ BOF}+S_{△ OCD}=S_{△ BCD}$，
矩形ABCD的面积为$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB× BC=2×4=8$，
∴$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}ABCD}=\frac{1}{2}×8=4$，
即阴影部分面积为4。
【答案】
4
【知识点】
矩形的性质、全等三角形的判定、面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心解题思路是通过全等三角形实现不规则阴影面积向规则图形面积的转化，避免了分别计算各块阴影面积的繁琐步骤，是几何面积求解的常用方法。
【难度系数】
0.8
解题时先从矩形的性质入手，矩形对角线互相平分，且AD平行于BC，可推出△AOE和△COF全等，二者面积相等，因此我们可以将分散的阴影面积进行转化，把阴影中△AOE的面积替换为△COF的面积，此时阴影部分面积就转化为△BCD的面积，也就是矩形面积的一半，最后计算矩形面积即可求出阴影面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，AD//BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAE=∠ OCF\\ OA=OC\\ ∠ AOE=∠ COF\end{array} $
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴$S_{△ AOE}=S_{△ COF}$，
则阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ AOE}+S_{△ BOF}+S_{△ OCD}=S_{△ COF}+S_{△ BOF}+S_{△ OCD}=S_{△ BCD}$，
矩形ABCD的面积为$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB× BC=2×4=8$，
∴$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}ABCD}=\frac{1}{2}×8=4$，
即阴影部分面积为4。
【答案】
4
【知识点】
矩形的性质、全等三角形的判定、面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心解题思路是通过全等三角形实现不规则阴影面积向规则图形面积的转化，避免了分别计算各块阴影面积的繁琐步骤，是几何面积求解的常用方法。
【难度系数】
0.8
9.如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的顶点D在x轴上,边BC在y轴上.
若点A的坐标为(12,13),则点C的坐标是
若点A的坐标为(12,13),则点C的坐标是
$(0,-5)$
.答案
9.$(0,-5)$
解析
【分析】
解题思路：第一步，先根据点A的坐标和AD垂直x轴的特征，确定点D的坐标，算出菱形的边长AD；第二步，利用菱形四条边相等的性质，得到边CD的长度等于AD；第三步，在直角三角形ODC中，用勾股定理算出OC的长度，再结合C在y轴负半轴的位置，确定C点坐标。
【解析】
解：
∵点A的坐标为(12,13)，AD⊥x轴，顶点D在x轴上，
∴D点坐标为(12,0)，AD的长度为13，OD=12。
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD=13。
在Rt△ODC中，由勾股定理得：
OC=√(CD² - OD²)=√(13² - 12²)=√(169-144)=√25=5。
又
∵点C在y轴的负半轴上，
∴点C的坐标为(0,-5)。
【答案】
(0,-5)
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系
【点评】
本题是坐标系与几何图形结合的基础题，解题的关键是利用菱形性质得到边长，再结合勾股定理计算线段长度，最后结合点所在的位置确定坐标符号即可。
【难度系数】
0.7
解题思路：第一步，先根据点A的坐标和AD垂直x轴的特征，确定点D的坐标，算出菱形的边长AD；第二步，利用菱形四条边相等的性质，得到边CD的长度等于AD；第三步，在直角三角形ODC中，用勾股定理算出OC的长度，再结合C在y轴负半轴的位置，确定C点坐标。
【解析】
解：
∵点A的坐标为(12,13)，AD⊥x轴，顶点D在x轴上，
∴D点坐标为(12,0)，AD的长度为13，OD=12。
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD=13。
在Rt△ODC中，由勾股定理得：
OC=√(CD² - OD²)=√(13² - 12²)=√(169-144)=√25=5。
又
∵点C在y轴的负半轴上，
∴点C的坐标为(0,-5)。
【答案】
(0,-5)
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系
【点评】
本题是坐标系与几何图形结合的基础题，解题的关键是利用菱形性质得到边长，再结合勾股定理计算线段长度，最后结合点所在的位置确定坐标符号即可。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在矩形$ABCD$中,对角线$AC$的垂直平分线分别交$AD$,$BC$于点$E$,$F$,垂足为$O$.
(1)求证:四边形$AFCE$为菱形.
(2)若$AB=2$,$CF=\frac{5}{2}$,求菱形$AFCE$的面积.
(1)求证:四边形$AFCE$为菱形.
(2)若$AB=2$,$CF=\frac{5}{2}$,求菱形$AFCE$的面积.
答案
10.解:(1)证明:$\because EF$垂直平分$AC$,$\therefore OA=OC$,$EF ⊥ AC$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 为矩形,$\therefore AD// BC$. $\therefore ∠ EAO=∠ FCO$,$∠ AOE=∠ COF$. 在 $△ AOE$ 和 $△ COF$ 中,
$\begin{cases}∠ EAO=∠ FCO,\\AO=CO,\\∠ AOE=∠ COF,\end{cases}$
$\therefore △ AOE ≌ △ COF$(ASA). $\therefore OE=OF$. $\therefore$ 四边形 $AFCE$ 为菱形.
(2)由(1)可知 $AF=\frac{5}{2}$,$\because AF^2=AB^2+BF^2$,$\therefore BF=\frac{3}{2}$. $\therefore S_{\mathrm{菱形}AFCE}=FC· AB=\frac{5}{2}× 2=5$.
$\begin{cases}∠ EAO=∠ FCO,\\AO=CO,\\∠ AOE=∠ COF,\end{cases}$
$\therefore △ AOE ≌ △ COF$(ASA). $\therefore OE=OF$. $\therefore$ 四边形 $AFCE$ 为菱形.
(2)由(1)可知 $AF=\frac{5}{2}$,$\because AF^2=AB^2+BF^2$,$\therefore BF=\frac{3}{2}$. $\therefore S_{\mathrm{菱形}AFCE}=FC· AB=\frac{5}{2}× 2=5$.
解析
【分析】
(1)要证明四边形AFCE是菱形，可通过“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”来判定。已知EF是AC的垂直平分线，可得OA=OC、EF⊥AC，只需再证明OE=OF即可。结合矩形AD//BC的性质，可得内错角∠EAO=∠FCO，搭配对顶角∠AOE=∠COF，可证△AOE和△COF全等，得到OE=OF，即可推出AC与EF互相垂直平分，判定四边形为菱形。
(2)求菱形面积可利用平行四边形“底×高”的面积公式。由菱形的性质可知边长CF=AF=$\frac{5}{2}$，观察图形可知，以FC为底时，菱形的高与矩形的边AB长度相等，直接代入数值计算即可得到面积，也可先通过勾股定理求出BF的长度验证推导。
【解析】
(1)证明：
∵EF垂直平分AC，
∴$OA=OC$，$EF ⊥ AC$。
∵四边形ABCD为矩形，
∴$AD // BC$，
∴$∠EAO=∠FCO$，
又
∵$∠AOE=∠COF$（对顶角相等），
在$△ AOE$和$△ COF$中：
$\begin{cases}∠EAO=∠FCO,\\AO=CO,\\∠AOE=∠COF,\end{cases}$
∴$△ AOE ≌ △ COF$（ASA），
∴$OE=OF$，
∴AC与EF互相垂直平分，
∴四边形AFCE为菱形。
(2)解：
由(1)可知四边形AFCE是菱形，
∴$AF=CF=\frac{5}{2}$，
在$Rt△ ABF$中，$AB=2$，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-2^2}=\frac{3}{2}$，
菱形AFCE的高等于矩形边AB的长度，
∴$S_{\mathrm{菱形}AFCE}=FC·AB=\frac{5}{2}× 2=5$。
【答案】
(1)四边形AFCE为菱形，证明成立；
(2)5
【知识点】
矩形的性质、菱形的判定、勾股定理
【点评】
本题是基础的几何综合题，综合考查了特殊四边形的性质、判定以及勾股定理的应用，解题的关键是结合垂直平分线的性质证明三角形全等，计算面积时灵活选择简便方法可减少计算量。
【难度系数】
0.75
(1)要证明四边形AFCE是菱形，可通过“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”来判定。已知EF是AC的垂直平分线，可得OA=OC、EF⊥AC，只需再证明OE=OF即可。结合矩形AD//BC的性质，可得内错角∠EAO=∠FCO，搭配对顶角∠AOE=∠COF，可证△AOE和△COF全等，得到OE=OF，即可推出AC与EF互相垂直平分，判定四边形为菱形。
(2)求菱形面积可利用平行四边形“底×高”的面积公式。由菱形的性质可知边长CF=AF=$\frac{5}{2}$，观察图形可知，以FC为底时，菱形的高与矩形的边AB长度相等，直接代入数值计算即可得到面积，也可先通过勾股定理求出BF的长度验证推导。
【解析】
(1)证明：
∵EF垂直平分AC，
∴$OA=OC$，$EF ⊥ AC$。
∵四边形ABCD为矩形，
∴$AD // BC$，
∴$∠EAO=∠FCO$，
又
∵$∠AOE=∠COF$（对顶角相等），
在$△ AOE$和$△ COF$中：
$\begin{cases}∠EAO=∠FCO,\\AO=CO,\\∠AOE=∠COF,\end{cases}$
∴$△ AOE ≌ △ COF$（ASA），
∴$OE=OF$，
∴AC与EF互相垂直平分，
∴四边形AFCE为菱形。
(2)解：
由(1)可知四边形AFCE是菱形，
∴$AF=CF=\frac{5}{2}$，
在$Rt△ ABF$中，$AB=2$，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-2^2}=\frac{3}{2}$，
菱形AFCE的高等于矩形边AB的长度，
∴$S_{\mathrm{菱形}AFCE}=FC·AB=\frac{5}{2}× 2=5$。
【答案】
(1)四边形AFCE为菱形，证明成立；
(2)5
【知识点】
矩形的性质、菱形的判定、勾股定理
【点评】
本题是基础的几何综合题，综合考查了特殊四边形的性质、判定以及勾股定理的应用，解题的关键是结合垂直平分线的性质证明三角形全等，计算面积时灵活选择简便方法可减少计算量。
【难度系数】
0.75
11.如图，已知$□ ABCD$的两条对角线相交于点$O$，$E$，$F$分别为$BO$，$DO$的中点，连接$AE$，$AF$，$CE$，$CF$。
（1）判断四边形$AECF$的形状，并说明理由。
（2）当$AC$与$BD$满足怎样的数量关系时，四边形$AECF$是矩形？为什么？
（1）判断四边形$AECF$的形状，并说明理由。
（2）当$AC$与$BD$满足怎样的数量关系时，四边形$AECF$是矩形？为什么？
答案
11.解:(1)四边形 $AECF$ 是平行四边形. 理由如下: $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore OA=OC$,$OB=OD$. $\because E,F$ 分别是 $OB$,$OD$ 的中点,$\therefore OE=\frac{1}{2}OB$,$OF=\frac{1}{2}OD$.$\therefore OE=OF$. $\therefore$ 四边形 $AECF$ 是平行四边形.
(2)当 $BD=2AC$ 时,四边形 $AECF$ 是矩形.理由如下:由(1)知,四边形 $AECF$ 是平行四边形, $\therefore OB=2OE=EF$,$BD=2OB$.$\because BD=2AC$,$\therefore EF=AC$. $\therefore$ 四边形 $AECF$ 是矩形.
(2)当 $BD=2AC$ 时,四边形 $AECF$ 是矩形.理由如下:由(1)知,四边形 $AECF$ 是平行四边形, $\therefore OB=2OE=EF$,$BD=2OB$.$\because BD=2AC$,$\therefore EF=AC$. $\therefore$ 四边形 $AECF$ 是矩形.
解析
【分析】
（1）判断四边形AECF的形状可从对角线的特征入手：首先利用平行四边形ABCD的性质得到其对角线互相平分，再结合E、F是OB、OD中点的条件，推导四边形AECF的对角线的数量关系，即可根据平行四边形的判定定理得出结论。
（2）平行四边形变为矩形的核心判定条件是对角线相等，因此先推导四边形AECF的对角线EF与BD的数量关系，再结合矩形要求的“AC=EF”的条件，即可得到AC与BD需要满足的数量关系。
【解析】
（1）四边形$AECF$是平行四边形，理由如下：
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore OA=OC$，$OB=OD$。
$\because E$，$F$ 分别是 $OB$，$OD$ 的中点，$\therefore OE=\frac{1}{2}OB$，$OF=\frac{1}{2}OD$，$\therefore OE=OF$。
$\because OA=OC$，$OE=OF$，即四边形AECF的对角线互相平分，$\therefore$ 四边形 $AECF$ 是平行四边形。
（2）当 $BD=2AC$ 时，四边形 $AECF$ 是矩形，理由如下：
由(1)知，四边形 $AECF$ 是平行四边形，
$\because E、F$分别为$OB、OD$中点，$\therefore EF=OE+OF=\frac{1}{2}OB+\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}BD$，即$BD=2EF$。
$\because BD=2AC$，$\therefore EF=AC$，即平行四边形AECF的对角线相等，$\therefore$ 四边形 $AECF$ 是矩形。
【答案】
（1）四边形$AECF$是平行四边形，理由见解析；
（2）当$BD=2AC$时，四边形$AECF$是矩形，理由见解析。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题是特殊四边形判定的典型基础题，核心考查平行四边形、矩形的判定定理及平行四边形的性质，解题时抓住对角线的数量关系推导即可，能帮助学生巩固特殊四边形的相关判定逻辑。
【难度系数】
0.7
（1）判断四边形AECF的形状可从对角线的特征入手：首先利用平行四边形ABCD的性质得到其对角线互相平分，再结合E、F是OB、OD中点的条件，推导四边形AECF的对角线的数量关系，即可根据平行四边形的判定定理得出结论。
（2）平行四边形变为矩形的核心判定条件是对角线相等，因此先推导四边形AECF的对角线EF与BD的数量关系，再结合矩形要求的“AC=EF”的条件，即可得到AC与BD需要满足的数量关系。
【解析】
（1）四边形$AECF$是平行四边形，理由如下：
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore OA=OC$，$OB=OD$。
$\because E$，$F$ 分别是 $OB$，$OD$ 的中点，$\therefore OE=\frac{1}{2}OB$，$OF=\frac{1}{2}OD$，$\therefore OE=OF$。
$\because OA=OC$，$OE=OF$，即四边形AECF的对角线互相平分，$\therefore$ 四边形 $AECF$ 是平行四边形。
（2）当 $BD=2AC$ 时，四边形 $AECF$ 是矩形，理由如下：
由(1)知，四边形 $AECF$ 是平行四边形，
$\because E、F$分别为$OB、OD$中点，$\therefore EF=OE+OF=\frac{1}{2}OB+\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}BD$，即$BD=2EF$。
$\because BD=2AC$，$\therefore EF=AC$，即平行四边形AECF的对角线相等，$\therefore$ 四边形 $AECF$ 是矩形。
【答案】
（1）四边形$AECF$是平行四边形，理由见解析；
（2）当$BD=2AC$时，四边形$AECF$是矩形，理由见解析。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题是特殊四边形判定的典型基础题，核心考查平行四边形、矩形的判定定理及平行四边形的性质，解题时抓住对角线的数量关系推导即可，能帮助学生巩固特殊四边形的相关判定逻辑。
【难度系数】
0.7
