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1.若菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，则此菱形的面积为 （
A.5
B.12
C.24
D.48
C
）A.5
B.12
C.24
D.48
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查菱形的面积计算，解题思路如下：首先回忆菱形面积的两种计算方法：①底乘对应高；②两条对角线乘积的一半。观察题目已知条件，直接给出了两条对角线的长度，因此选择第二种公式计算更简便，计算时需注意不要漏乘1/2，避免计算错误。
【解析】
解：根据菱形的面积公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。
已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，代入公式可得：
$S=\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$
【答案】
C
【知识点】
菱形面积计算、菱形的性质
【点评】
本题是基础常考题，主要考查对菱形面积计算公式的记忆与应用，掌握对应公式即可快速求解，解题时需注意不要忽略公式里的1/2。
【难度系数】
0.9
本题考查菱形的面积计算，解题思路如下：首先回忆菱形面积的两种计算方法：①底乘对应高；②两条对角线乘积的一半。观察题目已知条件，直接给出了两条对角线的长度，因此选择第二种公式计算更简便，计算时需注意不要漏乘1/2，避免计算错误。
【解析】
解：根据菱形的面积公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。
已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，代入公式可得：
$S=\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$
【答案】
C
【知识点】
菱形面积计算、菱形的性质
【点评】
本题是基础常考题，主要考查对菱形面积计算公式的记忆与应用，掌握对应公式即可快速求解，解题时需注意不要忽略公式里的1/2。
【难度系数】
0.9
2. 下列命题是真命题的是
（
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.邻边相等的平行四边形是矩形
C.两条对角线相等的四边形是矩形
D.三个角等于90度的四边形是矩形
（
D
）A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.邻边相等的平行四边形是矩形
C.两条对角线相等的四边形是矩形
D.三个角等于90度的四边形是矩形
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查矩形的判定及真假命题的判断，解题时需逐一结合矩形的判定定理分析各选项：首先回忆矩形的判定条件：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形。分析每个选项时要注意判定的前提是“四边形”还是“平行四边形”，不符合判定条件的即可判断为假命题。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 有一个角是直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形有一个内角为直角，但不属于矩形，因此A是假命题；
B. 邻边相等的平行四边形是菱形，不符合矩形的判定要求，因此B是假命题；
C. 两条对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，但不属于矩形，只有对角线相等的平行四边形才是矩形，因此C是假命题；
D. 根据矩形的判定定理，有三个角等于90°的四边形是矩形，因此D是真命题。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定；真假命题判断
【点评】
本题属于基础题，重点考查矩形判定定理的应用，解题时要注意区分判定对象是普通四边形还是平行四边形，牢记判定的前提条件，避免混淆各类特殊四边形的判定规则。
【难度系数】
0.8
本题考查矩形的判定及真假命题的判断，解题时需逐一结合矩形的判定定理分析各选项：首先回忆矩形的判定条件：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形。分析每个选项时要注意判定的前提是“四边形”还是“平行四边形”，不符合判定条件的即可判断为假命题。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 有一个角是直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形有一个内角为直角，但不属于矩形，因此A是假命题；
B. 邻边相等的平行四边形是菱形，不符合矩形的判定要求，因此B是假命题；
C. 两条对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，但不属于矩形，只有对角线相等的平行四边形才是矩形，因此C是假命题；
D. 根据矩形的判定定理，有三个角等于90°的四边形是矩形，因此D是真命题。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定；真假命题判断
【点评】
本题属于基础题，重点考查矩形判定定理的应用，解题时要注意区分判定对象是普通四边形还是平行四边形，牢记判定的前提条件，避免混淆各类特殊四边形的判定规则。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AC=6 cm,则AB的长是（
A.3 cm
B.6 cm
C.10 cm
D.12 cm
A
）A.3 cm
B.6 cm
C.10 cm
D.12 cm
答案
3.A
解析
【分析】
解决本题首先从矩形的性质入手，矩形的对角线相等且互相平分，由此可得到对角线交点O到相邻顶点A、B的线段长度相等且均为对角线AC的一半；再结合已知∠AOB=60°，可判断出△AOB为等边三角形，最后利用等边三角形三边相等的性质即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AC=6cm，
根据矩形对角线相等且互相平分的性质可得：
$OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$cm，$OB=\frac{1}{2}BD$，且$AC=BD$，
∴$OA=OB=3$cm，
又
∵$∠ AOB=60°$，
∴$△ AOB$是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴$AB=OA=3$cm。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质、等边三角形的判定、等边三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，核心是利用矩形对角线的特征得到等腰三角形，再结合特殊角度判断等边三角形求解，解题时要熟练掌握特殊几何图形的性质，快速找到边与角的关系。
【难度系数】
0.8
解决本题首先从矩形的性质入手，矩形的对角线相等且互相平分，由此可得到对角线交点O到相邻顶点A、B的线段长度相等且均为对角线AC的一半；再结合已知∠AOB=60°，可判断出△AOB为等边三角形，最后利用等边三角形三边相等的性质即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AC=6cm，
根据矩形对角线相等且互相平分的性质可得：
$OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$cm，$OB=\frac{1}{2}BD$，且$AC=BD$，
∴$OA=OB=3$cm，
又
∵$∠ AOB=60°$，
∴$△ AOB$是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴$AB=OA=3$cm。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质、等边三角形的判定、等边三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，核心是利用矩形对角线的特征得到等腰三角形，再结合特殊角度判断等边三角形求解，解题时要熟练掌握特殊几何图形的性质，快速找到边与角的关系。
【难度系数】
0.8
4.菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC=6，菱形的周长为20，则BD的长为（
A.4
B.8
C.10
D.12
B
）A.4
B.8
C.10
D.12
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的核心性质：一是菱形的四条边长度相等，二是菱形的对角线互相垂直且平分。第一步可以根据菱形周长先求出单条边的长度；第二步根据对角线平分的性质，求出AC的一半AO的长度；第三步因为菱形对角线垂直，所以△AOB是直角三角形，结合已得的边长和AO的长度，用勾股定理求出BO的长度；最后BD是BO的2倍，即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，$AO=\frac{1}{2}AC$，$BO=\frac{1}{2}BD$
∵菱形周长为20
∴$AB=20÷4=5$
∵AC=6
∴$AO=\frac{1}{2}×6=3$
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2 - AO^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
∴$BD=2BO=2×4=8$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练掌握菱形的边、对角线的相关性质，结合勾股定理计算线段长度即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆菱形的核心性质：一是菱形的四条边长度相等，二是菱形的对角线互相垂直且平分。第一步可以根据菱形周长先求出单条边的长度；第二步根据对角线平分的性质，求出AC的一半AO的长度；第三步因为菱形对角线垂直，所以△AOB是直角三角形，结合已得的边长和AO的长度，用勾股定理求出BO的长度；最后BD是BO的2倍，即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，$AO=\frac{1}{2}AC$，$BO=\frac{1}{2}BD$
∵菱形周长为20
∴$AB=20÷4=5$
∵AC=6
∴$AO=\frac{1}{2}×6=3$
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2 - AO^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
∴$BD=2BO=2×4=8$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练掌握菱形的边、对角线的相关性质，结合勾股定理计算线段长度即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
5.如图，在正方形$ABCD$外侧作等边$△ DCE$，$AE$，$BD$相交于点$F$，则$∠ AFB$的度数为（
A.$75°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$60°$
D
）A.$75°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$60°$
答案
5.D
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先利用正方形、等边三角形边相等的特征，推导出AD=DE，得到△ADE是等腰三角形；第二步计算△ADE的顶角∠ADE的度数，结合三角形内角和算出底角∠DAE的大小；第三步利用正方形对角线的性质得到∠ADB的度数，最后根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，计算出∠AFB的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，对角线BD平分∠ADC，即∠ADB=45°，
∵△DCE是正方形外侧的等边三角形，
∴DC=DE，∠CDE=60°，
∴AD=DE，∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°+60°=150°，
∴△ADE为等腰三角形，其底角$∠ DAE=(180°-∠ ADE)÷2=(180°-150°)÷2=15°$，
∵∠AFB是△ADF的外角，
∴$∠ AFB=∠ DAE+∠ ADB=15°+45°=60°$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是灵活运用特殊图形的边、角性质，结合三角形内角和、外角定理求解角度，是角度计算类的典型考题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步先利用正方形、等边三角形边相等的特征，推导出AD=DE，得到△ADE是等腰三角形；第二步计算△ADE的顶角∠ADE的度数，结合三角形内角和算出底角∠DAE的大小；第三步利用正方形对角线的性质得到∠ADB的度数，最后根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，计算出∠AFB的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，对角线BD平分∠ADC，即∠ADB=45°，
∵△DCE是正方形外侧的等边三角形，
∴DC=DE，∠CDE=60°，
∴AD=DE，∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°+60°=150°，
∴△ADE为等腰三角形，其底角$∠ DAE=(180°-∠ ADE)÷2=(180°-150°)÷2=15°$，
∵∠AFB是△ADF的外角，
∴$∠ AFB=∠ DAE+∠ ADB=15°+45°=60°$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是灵活运用特殊图形的边、角性质，结合三角形内角和、外角定理求解角度，是角度计算类的典型考题。
【难度系数】
0.7
6. 四边形具有不稳定性.如图，挤压矩形ABCD会产生变形，得到四边形EBCF，则在这个变化过程中，关于矩形ABCD的周长和面积，下列说法正确的是 （
A.周长和面积都不变
B.周长不变，面积变小
C.周长变小，面积不变
D.周长变小，面积变小
B
）A.周长和面积都不变
B.周长不变，面积变小
C.周长变小，面积不变
D.周长变小，面积变小
答案
6.B
解析
【分析】
解题时分别分析周长和面积的变化即可：1.周长方面：四边形周长是四条边长度之和，先观察变形前后四边形的各边长度是否改变，若各边长度不变，周长就不变；2.面积方面：变形后得到的是平行四边形，平行四边形面积=底×高，对比变形前后底和高的变化，就能判断面积的变化情况。
【解析】
1. 周长分析：矩形ABCD挤压变形为四边形EBCF的过程中，各边长度未发生改变，即EB=AB，BC为公共边，CF=CD，EF=AD，因此周长=EB+BC+CF+EF=AB+BC+CD+AD，和原矩形的周长相等，故周长不变。
2. 面积分析：原矩形ABCD的面积=BC×AB（AB是BC边上的高）；变形后的四边形EBCF是平行四边形，底仍为BC，但BC边上的高是点E到BC的垂直距离，该垂直距离小于EB（即原矩形的边长AB），根据平行四边形面积=底×高，底不变，高减小，因此面积变小。
综上，变形过程中周长不变，面积变小，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
四边形的不稳定性；平行四边形的周长与面积；矩形的性质
【点评】
本题结合四边形不稳定性的特点，考查图形变形时周长和面积的变化规律，解题的关键是明确周长仅与边长相关，而平行四边形的面积由底和对应高共同决定，要注意区分变形过程中的不变量和变化量。
【难度系数】
0.8
解题时分别分析周长和面积的变化即可：1.周长方面：四边形周长是四条边长度之和，先观察变形前后四边形的各边长度是否改变，若各边长度不变，周长就不变；2.面积方面：变形后得到的是平行四边形，平行四边形面积=底×高，对比变形前后底和高的变化，就能判断面积的变化情况。
【解析】
1. 周长分析：矩形ABCD挤压变形为四边形EBCF的过程中，各边长度未发生改变，即EB=AB，BC为公共边，CF=CD，EF=AD，因此周长=EB+BC+CF+EF=AB+BC+CD+AD，和原矩形的周长相等，故周长不变。
2. 面积分析：原矩形ABCD的面积=BC×AB（AB是BC边上的高）；变形后的四边形EBCF是平行四边形，底仍为BC，但BC边上的高是点E到BC的垂直距离，该垂直距离小于EB（即原矩形的边长AB），根据平行四边形面积=底×高，底不变，高减小，因此面积变小。
综上，变形过程中周长不变，面积变小，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
四边形的不稳定性；平行四边形的周长与面积；矩形的性质
【点评】
本题结合四边形不稳定性的特点，考查图形变形时周长和面积的变化规律，解题的关键是明确周长仅与边长相关，而平行四边形的面积由底和对应高共同决定，要注意区分变形过程中的不变量和变化量。
【难度系数】
0.8
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：
$AC=BD$(答案不唯一)
，使得菱形ABCD成为正方形。答案
7.$AC=BD$(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确菱形和正方形的联系与区别：菱形已经满足四条边相等、对角线互相垂直平分，正方形是特殊的菱形，需要同时具备矩形的特征。我们可以从两个方向补充条件：一是让菱形有一个内角为直角，二是让菱形的对角线相等，这两个方向的条件都能使菱形转化为正方形。
【解析】
根据正方形的判定定理：对角线相等的菱形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形。因此可添加符合要求的条件：
若添加对角线相关条件：$AC=BD$，此时菱形对角线相等，可判定为正方形；
若添加内角相关条件：$∠ ABC=90°$（或任意一个内角为$90°$），此时菱形有一个直角，也可判定为正方形。
【答案】
$AC=BD$（答案不唯一，如$∠ BAD=90°$等也正确）
【知识点】
菱形的性质；正方形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的转化，需要熟练掌握菱形和正方形的判定规则，解题时可从角或对角线两个维度思考添加的条件，开放性较强，难度较低。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先要明确菱形和正方形的联系与区别：菱形已经满足四条边相等、对角线互相垂直平分，正方形是特殊的菱形，需要同时具备矩形的特征。我们可以从两个方向补充条件：一是让菱形有一个内角为直角，二是让菱形的对角线相等，这两个方向的条件都能使菱形转化为正方形。
【解析】
根据正方形的判定定理：对角线相等的菱形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形。因此可添加符合要求的条件：
若添加对角线相关条件：$AC=BD$，此时菱形对角线相等，可判定为正方形；
若添加内角相关条件：$∠ ABC=90°$（或任意一个内角为$90°$），此时菱形有一个直角，也可判定为正方形。
【答案】
$AC=BD$（答案不唯一，如$∠ BAD=90°$等也正确）
【知识点】
菱形的性质；正方形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的转化，需要熟练掌握菱形和正方形的判定规则，解题时可从角或对角线两个维度思考添加的条件，开放性较强，难度较低。
【难度系数】
0.85
