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14.如图，在$□ ABCD$中，$∠ BAD=120°$，$∠ BAD$的平分线AE交BC于点E，交DC的延长线于点F，且$BG⊥ AE$，垂足为G。若$AD=9$，$CF=3$，则BG的长为
$3\sqrt{3}$
。答案
14.$3\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，结合平行四边形邻角互补的性质和角平分线的定义，判定△ADF是等边三角形，求出CD的长度，即可得AB的长度；第二步，根据平行线内错角相等的性质，判定△ABE是等边三角形，得到AB和AE的长度关系；第三步，利用等边三角形三线合一的性质和勾股定理，计算BG的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，AB=CD，AD=BC=9，∠BAD+∠D=180°，
∵∠BAD=120°，
∴∠D=180°-120°=60°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=60°，
∴△ADF中，∠DAF=∠D=60°，即△ADF是等边三角形，
∴DF=AD=9，
∵CF=3，
∴CD=DF-CF=9-3=6，即AB=CD=6，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA=60°，
∴△ABE中，∠BAE=∠BEA=60°，即△ABE是等边三角形，
∴AB=AE=6，
∵BG⊥AE，由等边三角形三线合一可得：
AG=½AE=3，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：
$BG=\sqrt{AB^2-AG^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的核心是通过角平分线和平行线的性质推出图中的等边三角形，再结合直角三角形的相关性质计算线段长度。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：第一步，结合平行四边形邻角互补的性质和角平分线的定义，判定△ADF是等边三角形，求出CD的长度，即可得AB的长度；第二步，根据平行线内错角相等的性质，判定△ABE是等边三角形，得到AB和AE的长度关系；第三步，利用等边三角形三线合一的性质和勾股定理，计算BG的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，AB=CD，AD=BC=9，∠BAD+∠D=180°，
∵∠BAD=120°，
∴∠D=180°-120°=60°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=60°，
∴△ADF中，∠DAF=∠D=60°，即△ADF是等边三角形，
∴DF=AD=9，
∵CF=3，
∴CD=DF-CF=9-3=6，即AB=CD=6，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA=60°，
∴△ABE中，∠BAE=∠BEA=60°，即△ABE是等边三角形，
∴AB=AE=6，
∵BG⊥AE，由等边三角形三线合一可得：
AG=½AE=3，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：
$BG=\sqrt{AB^2-AG^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的核心是通过角平分线和平行线的性质推出图中的等边三角形，再结合直角三角形的相关性质计算线段长度。
【难度系数】
0.6
15.学习平行四边形后，老师要求在□ABCD内作出一个新的平行四边形.小明的作法如图所示，请你根据小明的作图回答下列问题.
(1)补全已知、求证.
已知:在□ABCD中，
求证:
(2)完成(1)中的证明.
(3)在□ABCD中添加一个条件，使四边形AECF为矩形，则这个条件是
(1)补全已知、求证.
已知:在□ABCD中，
AE 平分∠BAC 交 BC 于点 E,CF 平分∠ACD 交 AD 于点 F
.求证:
四边形 AECF 为平行四边形
.(2)完成(1)中的证明.
(3)在□ABCD中添加一个条件，使四边形AECF为矩形，则这个条件是
AB=AC(答案不唯一)
.答案
15.解:(1)AE 平分∠BAC 交 BC 于点 E,CF平分∠ACD 交 AD 于点 F 四边形 AECF为平行四边形
(2)证明:
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB//CD,AD//BC.
∴∠BAC=∠ACD.
∵ AE 平分∠BAC, CF 平分∠ACD,
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC,∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACD.
∴∠CAE=∠ACF.
∴AE//CF.又
∵AF//CE,
∴四边形 AECF 为平行四边形.
(3)AB=AC(答案不唯一) 【详解】这个条件是 AB=AC,理由如下:
∵AB=AC,AE平分∠BAC,
∴AE⊥BC.
∴∠AEC=90°.
由(2)可知,四边形 AECF 为平行四边形,
∴平行四边形 AECF 为矩形.故答案为:AB=AC(答案不唯一).
(2)证明:
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB//CD,AD//BC.
∴∠BAC=∠ACD.
∵ AE 平分∠BAC, CF 平分∠ACD,
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC,∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACD.
∴∠CAE=∠ACF.
∴AE//CF.又
∵AF//CE,
∴四边形 AECF 为平行四边形.
(3)AB=AC(答案不唯一) 【详解】这个条件是 AB=AC,理由如下:
∵AB=AC,AE平分∠BAC,
∴AE⊥BC.
∴∠AEC=90°.
由(2)可知,四边形 AECF 为平行四边形,
∴平行四边形 AECF 为矩形.故答案为:AB=AC(答案不唯一).
解析
【分析】
(1) 观察作图痕迹可知是尺规作角平分线，因此已知需补充AE、CF分别为∠BAC、∠ACD的角平分线的条件，求证的是所作四边形AECF为平行四边形；
(2) 要证四边形AECF是平行四边形，先利用平行四边形ABCD的性质得到AD//BC即AF//CE，再通过角平分线定义推导内错角相等，证得AE//CF，即可通过两组对边分别平行判定四边形是平行四边形；
(3) 矩形的判定为“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，因此只需添加条件让平行四边形AECF出现直角即可，例如添加AB=AC，利用等腰三角形三线合一得到AE⊥BC，即可满足矩形判定要求，答案不唯一。
【解析】
(1) 补全已知、求证：
已知：在$\boxed{□ABCD}$中，AE平分∠BAC交BC于点E，CF平分∠ACD交AD于点F。
求证：四边形AECF为平行四边形。
(2) 证明过程：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AD// BC$，
∴$∠BAC=∠ACD$。
∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，
∴$∠CAE=\frac{1}{2}∠BAC$，$∠ACF=\frac{1}{2}∠ACD$，
∴$∠CAE=∠ACF$，
∴$AE// CF$。
又
∵$AF// CE$（已证$AD// BC$），
∴四边形AECF为平行四边形。
(3) 示例添加条件为$AB=AC$，理由如下：
∵$AB=AC$，AE平分∠BAC，
∴$AE⊥ BC$（等腰三角形三线合一），即$∠AEC=90°$，
∵四边形AECF为平行四边形，
∴平行四边形AECF为矩形。
（注：答案不唯一，如$∠AEC=90°$等符合要求的条件均可）
【答案】
(1) AE平分∠BAC交BC于点E，CF平分∠ACD交AD于点F；四边形AECF为平行四边形
(2) 证明见上述解析过程
(3) $AB=AC$（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的判定与性质；角平分线的定义；矩形的判定
【点评】
本题结合尺规作图考查特殊四边形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形的判定定理，结合角平分线的性质推导边角关系即可求解。
【难度系数】
0.7
(1) 观察作图痕迹可知是尺规作角平分线，因此已知需补充AE、CF分别为∠BAC、∠ACD的角平分线的条件，求证的是所作四边形AECF为平行四边形；
(2) 要证四边形AECF是平行四边形，先利用平行四边形ABCD的性质得到AD//BC即AF//CE，再通过角平分线定义推导内错角相等，证得AE//CF，即可通过两组对边分别平行判定四边形是平行四边形；
(3) 矩形的判定为“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，因此只需添加条件让平行四边形AECF出现直角即可，例如添加AB=AC，利用等腰三角形三线合一得到AE⊥BC，即可满足矩形判定要求，答案不唯一。
【解析】
(1) 补全已知、求证：
已知：在$\boxed{□ABCD}$中，AE平分∠BAC交BC于点E，CF平分∠ACD交AD于点F。
求证：四边形AECF为平行四边形。
(2) 证明过程：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AD// BC$，
∴$∠BAC=∠ACD$。
∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，
∴$∠CAE=\frac{1}{2}∠BAC$，$∠ACF=\frac{1}{2}∠ACD$，
∴$∠CAE=∠ACF$，
∴$AE// CF$。
又
∵$AF// CE$（已证$AD// BC$），
∴四边形AECF为平行四边形。
(3) 示例添加条件为$AB=AC$，理由如下：
∵$AB=AC$，AE平分∠BAC，
∴$AE⊥ BC$（等腰三角形三线合一），即$∠AEC=90°$，
∵四边形AECF为平行四边形，
∴平行四边形AECF为矩形。
（注：答案不唯一，如$∠AEC=90°$等符合要求的条件均可）
【答案】
(1) AE平分∠BAC交BC于点E，CF平分∠ACD交AD于点F；四边形AECF为平行四边形
(2) 证明见上述解析过程
(3) $AB=AC$（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的判定与性质；角平分线的定义；矩形的判定
【点评】
本题结合尺规作图考查特殊四边形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形的判定定理，结合角平分线的性质推导边角关系即可求解。
【难度系数】
0.7
16.某经销商销售一种燃气加热器.如图,射线OA反映了该加热器的销售收入$y_1$(单位:元)与销售量$x$(单位:台)之间的关系;射线BC反映了该加热器的销售成本$y_2$(单位:元)与销售量$x$(单位:台)之间的关系,其中$x≥0$.
(1)射线OA对应的函数解析式为
(2)图象中射线OA与射线BC的交点$P$的坐标为
(3)设该经销商销售此加热器所获利润为$w$(单位:元)(利润=销售收入-销售成本,且$w＞0$).
(1)射线OA对应的函数解析式为
$y_1=600x$
,射线BC对应的函数解析式为$y_2=400x+2000$
.(2)图象中射线OA与射线BC的交点$P$的坐标为
$(10,6000)$
,点$P$的坐标表示的实际意义是当销售量为10台时,销售成本与销售收入相等,均为6000元
.(3)设该经销商销售此加热器所获利润为$w$(单位:元)(利润=销售收入-销售成本,且$w＞0$).
答案
16.解:(1)$y_1=600x$ $y_2=400x+2000$
(2)$(10,6000)$ 当销售量为10台时,销售成本与销售收入相等,均为6000元
(2)$(10,6000)$ 当销售量为10台时,销售成本与销售收入相等,均为6000元
解析
【分析】
(1)求射线对应的函数解析式选用待定系数法：射线OA过原点，属于正比例函数，设解析式为$y_1=kx$，代入已知点$(20,12000)$即可求出参数$k$；射线BC是普通一次函数，设解析式为$y_2=mx+b$，代入已知的两点$(0,2000)$和$(20,10000)$，即可求出参数$m$、$b$。
(2)两条射线的交点坐标就是两个函数解析式联立组成的方程组的解，交点的实际意义结合横纵坐标的含义（横坐标为销售量，纵坐标为金额），说明此时销售收入等于销售成本即可。
【解析】
(1)设射线OA的解析式为$y_1=kx(k≠0,x≥0)$，
由图象可知射线OA过点$(20,12000)$，代入解析式得：
$12000=20k$，解得$k=600$，
因此射线OA的解析式为$y_1=600x(x≥0)$。
设射线BC的解析式为$y_2=mx+b(m≠0,x≥0)$，
由图象可知射线BC过点$(0,2000)$和$(20,10000)$，
将$(0,2000)$代入解析式得$b=2000$，
再将$(20,10000)$和$b=2000$代入解析式得：$10000=20m+2000$，
解得$m=400$，
因此射线BC的解析式为$y_2=400x+2000(x≥0)$。
(2)求交点P的坐标，联立两个函数的解析式得方程组：
$\begin{cases}y=600x\\y=400x+2000\end{cases}$
将第一个式子代入第二个式子得：$600x=400x+2000$，
解得$x=10$，将$x=10$代入$y=600x$得$y=600×10=6000$，
因此点P的坐标为$(10,6000)$。
结合横纵坐标的实际含义，点P的实际意义为：当销售量为10台时，销售成本与销售收入相等，均为6000元。
【答案】
(1)$y_1=600x$；$y_2=400x+2000$
(2)$(10,6000)$；当销售量为10台时，销售成本与销售收入相等，均为6000元
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数交点问题；一次函数实际应用
【点评】
本题结合销售盈亏场景考查一次函数的相关知识，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解函数图象上点的坐标以及交点对应的实际含义，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.75
(1)求射线对应的函数解析式选用待定系数法：射线OA过原点，属于正比例函数，设解析式为$y_1=kx$，代入已知点$(20,12000)$即可求出参数$k$；射线BC是普通一次函数，设解析式为$y_2=mx+b$，代入已知的两点$(0,2000)$和$(20,10000)$，即可求出参数$m$、$b$。
(2)两条射线的交点坐标就是两个函数解析式联立组成的方程组的解，交点的实际意义结合横纵坐标的含义（横坐标为销售量，纵坐标为金额），说明此时销售收入等于销售成本即可。
【解析】
(1)设射线OA的解析式为$y_1=kx(k≠0,x≥0)$，
由图象可知射线OA过点$(20,12000)$，代入解析式得：
$12000=20k$，解得$k=600$，
因此射线OA的解析式为$y_1=600x(x≥0)$。
设射线BC的解析式为$y_2=mx+b(m≠0,x≥0)$，
由图象可知射线BC过点$(0,2000)$和$(20,10000)$，
将$(0,2000)$代入解析式得$b=2000$，
再将$(20,10000)$和$b=2000$代入解析式得：$10000=20m+2000$，
解得$m=400$，
因此射线BC的解析式为$y_2=400x+2000(x≥0)$。
(2)求交点P的坐标，联立两个函数的解析式得方程组：
$\begin{cases}y=600x\\y=400x+2000\end{cases}$
将第一个式子代入第二个式子得：$600x=400x+2000$，
解得$x=10$，将$x=10$代入$y=600x$得$y=600×10=6000$，
因此点P的坐标为$(10,6000)$。
结合横纵坐标的实际含义，点P的实际意义为：当销售量为10台时，销售成本与销售收入相等，均为6000元。
【答案】
(1)$y_1=600x$；$y_2=400x+2000$
(2)$(10,6000)$；当销售量为10台时，销售成本与销售收入相等，均为6000元
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数交点问题；一次函数实际应用
【点评】
本题结合销售盈亏场景考查一次函数的相关知识，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解函数图象上点的坐标以及交点对应的实际含义，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.75
