8. 如图，点$E$，$F$分别在$AB$，$CD$上，$AF$与$EC$相交于点$O$，$∠ 1 + ∠ A = 90^{\circ}$，$∠ 1 = ∠ C$，$∠ A$与$∠ 2$互余，试说明：$CE // BF$。

8. 解:因为∠A与∠2互余,
所以∠A+∠2=90°。
又因为∠1+∠A=90°,所以∠1=∠2。
又因为∠1=∠C,
所以∠C=∠2,所以CE//BF。

【分析】要证明CE//BF，需利用平行线的判定定理，找到对应角的关系。已知∠A与∠2互余、∠1与∠A互余，可通过同角的余角相等推出∠1=∠2，再结合已知∠1=∠C，得到∠C=∠2，最后根据同位角相等，两直线平行完成证明。
【解析】解：因为∠A与∠2互余，所以∠A + ∠2 = 90°。又因为∠1 + ∠A = 90°，根据同角的余角相等，可得∠1 = ∠2。已知∠1 = ∠C，所以∠C = ∠2。∠C和∠2是同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可推出CE // BF。
【答案】证明：因为∠A与∠2互余，所以∠A + ∠2 = 90°。又因为∠1 + ∠A = 90°，所以∠1 = ∠2。又因为∠1 = ∠C，所以∠C = ∠2，所以CE // BF。
【知识点】平行线的判定、余角的性质
【点评】本题通过余角的性质进行角的等量代换，结合平行线的判定定理完成证明，是基础几何推理题，重点考查逻辑推导能力。
【难度系数】0.6

9. 如图，点$E$，$F$分别在$CD$，$AB$上，$∠ C = ∠ 1$，$∠ 2$和$∠ D$互余，$BE ⊥ FD$于点$G$。
(1)求$∠ CFD$的度数；
(2)$AB$与$CD$平行吗？为什么？

9. 解:(1)因为∠C=∠1,
所以CF//EB。
因为BE⊥FD,所以∠DGE=90°。
因为CF//EB,
所以∠CFD=∠DGE=90°。
(2)AB//CD。理由如下:
由(1)知,∠DGE=90°,
所以∠1+∠D=90°。
因为∠2和∠D互余,
所以∠2+∠D=90°,所以∠1=∠2。
又因为∠C=∠1,
所以∠C=∠2,所以AB//CD。

【分析】
要解决这道题，需结合平行线的判定与性质、垂线和余角的知识：
(1) 求∠CFD的度数时，先通过∠C=∠1推出CF//EB，再利用BE⊥FD得到直角，结合平行线的性质即可求出∠CFD；
(2) 判断AB与CD是否平行时，先由直角和余角的性质得到∠1=∠2，再结合已知∠C=∠1，通过内错角相等判定AB//CD。
【解析】
(1) 因为∠C=∠1，根据“同位角相等，两直线平行”，可得CF//EB。
又因为BE⊥FD，所以∠DGE=90°。
根据“两直线平行，同位角相等”，CF//EB时，∠CFD=∠DGE=90°。
(2) AB与CD平行，理由如下：
由(1)知∠DGE=90°，在△DGE中，∠1+∠D=90°。
因为∠2和∠D互余，所以∠2+∠D=90°，根据“同角的余角相等”，可得∠1=∠2。
又已知∠C=∠1，所以∠C=∠2。
根据“内错角相等，两直线平行”，可得AB//CD。
【答案】
(1) ∠CFD=90°；(2) AB与CD平行，理由见解析。
【知识点】
平行线的判定与性质、余角的性质、垂线
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质，结合垂线和余角知识，解题关键是通过角的关系推导直线平行，再利用平行性质求角度，属于基础几何综合题，需掌握角与线的转化逻辑。
【难度系数】
0.5

10. 综合与探究。
【知识储备】 构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，平行线的本质作用是“移角”(改变角的位置，不改变角的度数)。
【初步感知】 (1)如图①，已知直线$l_1 // l_2$，点$P$在直线$l_1$，$l_2$之间，试补全下列探究$∠ A$，$∠ APB$，$∠ B$数量关系的过程。
解：过点$P$作$PQ // l_1$，则$∠ A =$。
因为$l_1 // l_2$，$PQ // l_1$，
所以$PQ // l_2$()。
所以$∠ B =$。
又因为$∠ APB = ∠ APQ + ∠ BPQ$，
所以$∠ APB =$。
【尝试应用】 (2)如图②与图③，$AC // BD$，直接写出$∠ 1$，$∠ 2$，$∠ 3$的数量关系。
图②：。
图③：。

10. 解:(1)∠APQ 平行于同一条直线的两条直线平行 ∠BPQ ∠A+∠B
(2)∠1+∠2+∠3=360°
∠1+∠2-∠3=180°
(3)方法不唯一。
如图,过点A作直线PQ//BC,则
∠ABC=∠PAB,∠ACB=∠QAC。
因为∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°,
所以∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°。

【分析】
要解决这道题，核心是利用平行线的性质，通过构造辅助线（平行线）转化角的位置，将分散的角转化为与平行线相关的角，再结合角的和差关系推导数量关系。初步感知中，过点P作平行线后，利用平行公理的推论得到辅助线的平行关系，再用内错角相等拆分角，即可推导角的数量关系；尝试应用中，同样通过构造平行线，结合同旁内角互补、内错角相等的性质，推导三个角的和或差的关系。
【解析】
(1) 过点$P$作$PQ // l_1$，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠ A = ∠ APQ$；
已知$l_1 // l_2$，$PQ // l_1$，根据“平行于同一条直线的两条直线平行”，推出$PQ // l_2$；
再根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠ B = ∠ BPQ$；
因为$∠ APB = ∠ APQ + ∠ BPQ$，所以$∠ APB = ∠ A + ∠ B$。
(2) 图②：过两平行线间的拐点作辅助线平行于$AC$，根据平行线同旁内角互补，可得$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 360°$；
图③：过拐点作辅助线平行于$AC$，根据平行线内错角相等、同旁内角互补，推导得$∠ 1 + ∠ 2 - ∠ 3 = 180°$。
【答案】
(1) $∠ APQ$；平行于同一条直线的两条直线平行；$∠ BPQ$；$∠ A+∠ B$；(2) $∠1+∠2+∠3=360°$；$∠1+∠2-∠3=180°$；
【知识点】
平行线的性质，平行公理的推论，角的和差
【点评】
本题重点考查平行线性质的灵活应用，通过构造辅助线（平行线）转化角是解题关键，体现了初中几何的转化思想，是基础几何题型，需掌握辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.5

【拓展探究】 (3)如图④，试构造平行线说明：$∠ ABC + ∠ BAC + ∠ ACB = 180^{\circ}$。

(3)方法不唯一。
如图,过点A作直线PQ//BC,则
∠ABC=∠PAB,∠ACB=∠QAC。
因为∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°,
所以∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°。

【分析】要证明三角形内角和为180°，可利用平行线的性质，通过构造辅助线将三个内角转化为平角。具体思路是：过三角形的一个顶点作对边的平行线，依据“两直线平行，内错角相等”，把另外两个内角转移到该顶点处，与原角组成平角，利用平角为180°的性质完成证明。
【解析】如图，过点A作直线$PQ// BC$。
根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得$∠ ABC = ∠ PAB$，$∠ ACB = ∠ QAC$。
又因为$∠ PAB + ∠ BAC + ∠ QAC = 180°$（平角的定义），
通过等量代换，即可得到$∠ ABC + ∠ BAC + ∠ ACB = 180°$。
【答案】方法不唯一。如图，过点A作直线PQ//BC，则∠ABC=∠PAB，∠ACB=∠QAC。因为∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°，所以∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°。
【知识点】平行线的性质、平角的定义
【点评】本题通过构造平行线的辅助线，将分散的三角形内角转化为平角，体现了转化的数学思想，是证明三角形内角和定理的常用方法，辅助线的构造是解题关键。
【难度系数】0.6