6. 已知不等式组 $\begin{cases}x - 2m ＜ -4n, \\ 3x + m ≥ 5n\end{cases}$ 的解集为 $-1 ≤ x ＜ 6$，求 $2m + n$ 的值.

解不等式 $ x - 2m ＜ - 4n $，得 $ x ＜ 2m - 4n $；解不等式 $ 3x + m ≥ 5n $，得 $ x ≥ \frac{5n - m}{3} $。
∵解集为 $ - 1 ≤ x ＜ 6 $，
∴ $ \begin{cases} 2m - 4n = 6, \\ \frac{5n - m}{3} = - 1, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} m = 3, \\ n = 0, \end{cases} $
∴ $ 2m + n = 2 × 3 + 0 = 6 $。

7. 如果关于 $x$ 的方程 $x + 2 + m = 0$ 的解也是不等式组 $\begin{cases}\frac{1 - x}{2} ＞ x - 2, \\ 2(x - 3) ≤ x - 8\end{cases}$ 的一个解，求 $m$ 的取值范围.

解不等式组 $ \begin{cases} \frac{1 - x}{2} ＞ x - 2, \\ 2(x - 3) ≤ x - 8, \end{cases} $ 得 $ x ≤ - 2 $；解方程 $ x + 2 + m = 0 $，得 $ x = - 2 - m $。由题意知，$ x = - 2 - m $ 是原不等式组的一个解，
∴ $ - 2 - m ≤ - 2 $，解得 $ m ≥ 0 $，
∴ $ m $ 的取值范围是 $ m ≥ 0 $。

8. 已知关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases}\frac{x + 15}{2} ＞ x + 3①, \\ 4x + 1 ＞ a②.\end{cases}$
(1)当 $a = 5$ 时，求该不等式组的解集.
(2)若该不等式组无解，求 $a$ 的最小值.
(3)若该不等式组有且仅有 3 个整数解，求 $a$ 的取值范围.

(1)解不等式①，得 $ x ＜ 9 $；当 $ a = 5 $ 时，$ 4x + 1 ＞ 5 $，解得 $ x ＞ 1 $。
∴不等式组的解集是 $ 1 ＜ x ＜ 9 $。(2)解不等式①，得 $ x ＜ 9 $；解不等式②，得 $ x ＞ \frac{a - 1}{4} $。
∵该不等式组无解，
∴ $ \frac{a - 1}{4} ≥ 9 $，解得 $ a ≥ 37 $，
∴ $ a $ 的最小值是 37。(3)解不等式①，得 $ x ＜ 9 $；解不等式②，得 $ x ＞ \frac{a - 1}{4} $。又
∵该不等式组有且仅有 3 个整数解，
∴整数解是 6、7、8，
∴ $ 5 ≤ \frac{a - 1}{4} ＜ 6 $，解得 $ 21 ≤ a ＜ 25 $。
∴ $ a $ 的取值范围是 $ 21 ≤ a ＜ 25 $。

9. 已知关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases}x - a ＞ -1, \\ x - a ＜ 2\end{cases}$ 的解集中不含有 $0$、$1$、$2$、$3$ 这四个整数中的任意一个，求 $a$ 的取值范围.

解不等式组 $ \begin{cases} x - a ＞ - 1, \\ x - a ＜ 2, \end{cases} $ 得 $ a - 1 ＜ x ＜ a + 2 $。
∵解集中不含有 0、1、2、3 这四个整数中的任意一个，
∴ $ a - 1 ≥ 3 $ 或 $ a + 2 ≤ 0 $，解得 $ a ≥ 4 $ 或 $ a ≤ - 2 $，
∴ $ a $ 的取值范围是 $ a ≥ 4 $ 或 $ a ≤ - 2 $。