1. 已知不等式 $\frac{1}{3}(x - m) ＞ 3 - m$ 的解集为 $x ＞ 1$，求 $m$ 的值.

解原不等式，得 $ x ＞ 9 - 2m $。
∵此不等式的解集为 $ x ＞ 1 $，
∴ $ 9 - 2m = 1 $，解得 $ m = 4 $。

2. (1)已知关于 $x$ 的不等式 $x + 5 ＜ 2x + a$ 只有 3 个负整数解，求 $a$ 的取值范围.
(2)已知关于 $x$ 的不等式 $\frac{3}{2}(2x - 4) - m ≤ 2$ 的正整数解是 $1$、$2$、$3$，求 $m$ 的取值范围.

(1)解原不等式，得 $ x ＞ 5 - a $。根据题意，得 $ - 4 ≤ 5 - a ＜ - 3 $，解得 $ 8 ＜ a ≤ 9 $。(2)解原不等式，得 $ x ≤ \frac{8 + m}{3} $。根据题意，得 $ 3 ≤ \frac{8 + m}{3} ＜ 4 $，解得 $ 1 ≤ m ＜ 4 $。

(1)解原不等式，得$x ＞ 5 - a$。
因为不等式只有3个负整数解，所以这3个负整数解为$-3$，$-2$，$-1$。
根据题意，得$-4 ≤ 5 - a ＜ -3$，
解得$8 ＜ a ≤ 9$。
(2)解原不等式：
$\frac{3}{2}(2x - 4) - m ≤ 2$
$3(x - 2) - m ≤ 2$
$3x - 6 - m ≤ 2$
$3x ≤ 8 + m$
$x ≤ \frac{8 + m}{3}$
因为不等式的正整数解是$1$、$2$、$3$，
根据题意，得$3 ≤ \frac{8 + m}{3} ＜ 4$，
解得$1 ≤ m ＜ 4$。

3. 若 $x = 2$ 是不等式 $ax - a - 1 ＞ 0$ 的解，但不是不等式 $ax - 3a + 4 ＜ 0$ 的解，求 $a$ 的取值范围.

∵ $ x = 2 $ 是不等式 $ ax - a - 1 ＞ 0 $ 的解，
∴ $ 2a - a - 1 ＞ 0 $，解得 $ a ＞ 1 $，
∵ $ x = 2 $ 不是不等式 $ ax - 3a + 4 ＜ 0 $ 的解，
∴ $ 2a - 3a + 4 ≥ 0 $，解得 $ a ≤ 4 $，
∴ $ a $ 的取值范围为 $ 1 ＜ a ≤ 4 $。

4. 若关于 $x$ 的不等式 $mx - n ＞ 0$ 的解集是 $x ＜ \frac{1}{3}$，求关于 $x$ 的不等式 $(m + n)x ＜ n - m$ 的解集.

∵ $ mx - n ＞ 0 $，
∴ $ mx ＞ n $。
∵关于 $ x $ 的不等式 $ mx - n ＞ 0 $ 的解集是 $ x ＜ \frac{1}{3} $，
∴ $ m ＜ 0 $，$ \frac{n}{m} = \frac{1}{3} $，
∴ $ m = 3n $，$ n ＜ 0 $，
∴ $ n - m = - 2n $，$ m + n = 4n $，
∴关于 $ x $ 的不等式 $ (m + n)x ＜ n - m $ 可以转化为 $ 4nx ＜ - 2n $，解得 $ x ＞ - \frac{1}{2} $，
∴关于 $ x $ 的不等式 $ (m + n)x ＜ n - m $ 的解集是 $ x ＞ - \frac{1}{2} $。

5. 已知关于 $x$ 的不等式 $(x - 5)(ax - 3a + 4) ≤ 0$.
(1)若 $x = 2$ 是该不等式的一个解，求 $a$ 的取值范围.
(2)在(1)的条件下，且 $x = 1$ 不是该不等式的解，求 $a$ 的取值范围.

(1)把 $ x = 2 $ 代入 $ (x - 5)(ax - 3a + 4) ≤ 0 $，得 $ (2 - 5)(2a - 3a + 4) ≤ 0 $，解得 $ a ≤ 4 $，
∴ $ a $ 的取值范围是 $ a ≤ 4 $。(2)当 $ x = 1 $ 时，$ (1 - 5)(a - 3a + 4) = - 4(4 - 2a) ＞ 0 $，即 $ 4 - 2a ＜ 0 $，解得 $ a ＞ 2 $。由(1)，得 $ a ≤ 4 $。
∴ $ a $ 的取值范围是 $ 2 ＜ a ≤ $
4.