14. 已知关于 $ x 、 y $ 的方程组 $ \{\begin{array}{l}2 x+y=5 m, \\ x+2 y=3 m-2\end{array} $ ( $ m $ 是常数).
(1)若 $ x+y=1 $，求 $ m $ 的值.
(2)若 $ 1 ≤ x-y ≤ 15 $，求 $ m $ 的取值范围.
(3)在(2)的条件下，化简：$ |2 m+1|-|m-7|= $.

14. (1) 原方程组两式相加，得 $ 3x + 3y = 8m - 2 $，$ \therefore x + y = \frac{8m - 2}{3} $. $ \because x + y = 1 $，$ \therefore \frac{8m - 2}{3} = 1 $，解得 $ m = \frac{5}{8} $. (2) 原方程组两式相减，得 $ x - y = 2m + 2 $. $ \because 1 ≤ x - y ≤ 15 $，$ \therefore 1 ≤ 2m + 2 ≤ 15 $，解得 $ -\frac{1}{2} ≤ m ≤ \frac{13}{2} $. (3) $ 3m - 6 $ 解析:由 (2)，得 $ -\frac{1}{2} ≤ m ≤ \frac{13}{2} $，$ \therefore 2m + 1 ≥ 0 $，$ m - 7 ＜ 0 $，$ \therefore $ 原式 $ = 2m + 1 - (7 - m) = 2m + 1 - 7 + m = 3m - 6 $.

(1) 原方程组两式相加，得 $3x + 3y = 8m - 2$，$\therefore x + y = \frac{8m - 2}{3}$。$\because x + y = 1$，$\therefore \frac{8m - 2}{3} = 1$，解得 $m = \frac{5}{8}$。
(2) 原方程组两式相减，得 $x - y = 2m + 2$。$\because 1 ≤ x - y ≤ 15$，$\therefore 1 ≤ 2m + 2 ≤ 15$，解得 $-\frac{1}{2} ≤ m ≤ \frac{13}{2}$。
(3) $3m - 6$

15. 如图，在 $ △ A B C $ 中，$ ∠ A B C=90^{\circ}, B D $ 是边 $ A C $ 上的高，$ A E $ 是 $ ∠ B A C $ 的平分线，分别交 $ B D 、 B C $ 于点 $ G 、 E $，过点 $ B $ 作 $ A E $ 的垂线 $ B F $，分别交 $ A E 、 A C $ 于点 $ H 、 F $.
(1)求证：$ B F $ 平分 $ ∠ D B C $.
(2)若 $ ∠ A B F=3 ∠ C $，求 $ ∠ C $ 的度数.

15. (1) 证明: $ \because BD ⊥ AC $，$ \therefore ∠ BDC = 90^{\circ} $，$ \therefore ∠ DBC + ∠ C = 90^{\circ} $. $ \because ∠ ABC = 90^{\circ} $，$ \therefore ∠ ABD + ∠ DBC = 90^{\circ} $，$ \therefore ∠ ABD = ∠ C $. $ \because AE $ 平分 $ ∠ BAC $，$ \therefore ∠ BAE = ∠ CAE $. $ \because ∠ BGE = ∠ ABD + ∠ BAE $，$ ∠ BEG = ∠ C + ∠ CAE $，$ \therefore ∠ BGE = ∠ BEG $. $ \because BF ⊥ EG $，$ \therefore ∠ BHG = ∠ BHE = 90^{\circ} $，$ \therefore ∠ GBH = 90^{\circ} - ∠ BGE = 90^{\circ} - ∠ BEG = ∠ EBH $，$ \therefore BF $ 平分 $ ∠ DBC $. (2) $ \because ∠ ABF = 3 ∠ C $，$ ∠ ABD = ∠ C $，$ BF $ 平分 $ ∠ DBC $，$ \therefore ∠ FBD = ∠ FBC = 2 ∠ C $，$ \therefore ∠ ABF + ∠ FBC = 5 ∠ C = 90^{\circ} $，$ \therefore ∠ C = 18^{\circ} $.

(1) 证明：
$\because BD ⊥ AC$，$\therefore ∠ BDC = 90°$，$\therefore ∠ DBC + ∠ C = 90°$。
$\because ∠ ABC = 90°$，$\therefore ∠ ABD + ∠ DBC = 90°$，$\therefore ∠ ABD = ∠ C$。
$\because AE$ 平分 $∠ BAC$，$\therefore ∠ BAE = ∠ CAE$。
$\because ∠ BGE = ∠ ABD + ∠ BAE$，$∠ BEG = ∠ C + ∠ CAE$，$\therefore ∠ BGE = ∠ BEG$。
$\because BF ⊥ EG$，$\therefore ∠ BHG = ∠ BHE = 90°$，
$\therefore ∠ GBH = 90° - ∠ BGE = 90° - ∠ BEG = ∠ EBH$，
$\therefore BF$ 平分 $∠ DBC$。
(2) $\because ∠ ABF = 3∠ C$，$∠ ABD = ∠ C$，$BF$ 平分 $∠ DBC$，
$\therefore ∠ FBD = ∠ FBC = 2∠ C$，
$\therefore ∠ ABF + ∠ FBC = 3∠ C + 2∠ C = 5∠ C = 90°$，
$\therefore ∠ C = 18°$。