登录
9. （★★）如图，在等腰梯形ABCD中，已知 AD//BC，AB=CD， $ ∠ B=60° $ $ AD=8 $ BC=18，求梯形ABCD的腰AB的长和面积.
答案
9. (1)如图,过点A作$AE// CD$交BC于点E,$AF⊥BC$于点F,则$∠AFB=90^{\circ }$.
$\because AD// BC,$
$\therefore$ 四边形AECD是平行四边形.
$\therefore AE=CD,CE=AD=8.$
$\because AB=CD,BC=18,$
$\therefore AE=AB,BE=BC-CE=18-8=10.$
$\because ∠B=60^{\circ },$
$\therefore △ABE$是等边三角形.
$\therefore AB=BE=10,BF=EF=\frac{1}{2}BE=5.$
$\therefore AF=\sqrt{AB^{2}-BF^{2}}=\sqrt{10^{2}-5^{2}}=5\sqrt{3}.$
$\therefore S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}×(8+18)×5\sqrt{3}=65\sqrt{3}.$
$\therefore$ 梯形ABCD的腰AB的长和面积分别为10和$65\sqrt{3}.$
10. （★）在 $ \Box ABCD $中， $ ∠ A:∠ B=1:2 $则 $ ∠ C $的度数为 【
A.$ 30° $
B.$ 45° $
C.$ 60° $
D.$ 120° $
A.$ 30° $
B.$ 45° $
C.$ 60° $
D.$ 120° $
答案
10. C
11. （★★）如图， $ \Box ABCD $的对角线AC，BD相交于点 O， $ BC=7\mathrm{cm},AC=6\mathrm{cm} $ ，则 $ △ AOD $的周长不可能为 【
A.14 cm
B.15 cm
C.17 cm
D.18 cm
A.14 cm
B.15 cm
C.17 cm
D.18 cm
答案
11. A
12. （★★）如图， $ \Box ABCD $的对角线AC，BD相交于点O，AE平分 $ ∠ BAD $交BC于点E，连接OE，若 $ ∠ ADC=60°,BC=2CD $，有下列结论： $ \textcircled{1} ∠ CAD=30° $ $ \textcircled{2} S_{\Box ABCD}=AB· AC $ $ \textcircled{3} OB=AB $ $ \textcircled{4} BE=2OE. $ 其中结论成立的有【
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
12. C 提示:$\because$ 四边形ABCD是平行四边形,
$\therefore AD// BC,AB// CD.$
$\therefore ∠DAC=∠ECA,∠ADC+∠DAB=180°.$
$\because ∠ADC=60°,$
$\therefore ∠DAB=120°.$
$\because AE$平分$∠BAD,$
$\therefore ∠DAE=∠BAE=\frac{1}{2}∠DAB=60°.$
$\therefore ∠BAE=∠ABC=60°.$
$\therefore ∠AEB=60°.$
$\therefore △AEB$是等边三角形.
$\therefore AB=EB=AE.$
$\because BC=2CD,CD=AB,$
$\therefore BC=2BE.$
$\therefore BE=CE.$
$\therefore BE=CE=AE=AB.$
$\therefore ∠EAC=∠ECA.$
$\because ∠EAC+∠ECA=∠AEB=60°,$
$\therefore ∠ECA=30°.$
$\therefore ∠CAD=∠ECA=30°$,即①正确.
$\because ∠BAC=∠EAC+∠BAE=30°+60°=90°,$
$\therefore AC⊥AB.$
$\therefore S_{□ABCD}=AB· AC$,即②正确.
$\because AB⊥OA,$
$\therefore OB＞AB.$
$\therefore OB≠AB$,故③错误.
$\because □ABCD$的对角线AC,BD相交于点O,
$\therefore CO=OA.$
$\because AE=CE,$
$\therefore OE⊥AC.$
$\because ∠ECA=30°,$
$\therefore CE=2OE$,即$BE=2OE$,即④正确.
$\therefore AD// BC,AB// CD.$
$\therefore ∠DAC=∠ECA,∠ADC+∠DAB=180°.$
$\because ∠ADC=60°,$
$\therefore ∠DAB=120°.$
$\because AE$平分$∠BAD,$
$\therefore ∠DAE=∠BAE=\frac{1}{2}∠DAB=60°.$
$\therefore ∠BAE=∠ABC=60°.$
$\therefore ∠AEB=60°.$
$\therefore △AEB$是等边三角形.
$\therefore AB=EB=AE.$
$\because BC=2CD,CD=AB,$
$\therefore BC=2BE.$
$\therefore BE=CE.$
$\therefore BE=CE=AE=AB.$
$\therefore ∠EAC=∠ECA.$
$\because ∠EAC+∠ECA=∠AEB=60°,$
$\therefore ∠ECA=30°.$
$\therefore ∠CAD=∠ECA=30°$,即①正确.
$\because ∠BAC=∠EAC+∠BAE=30°+60°=90°,$
$\therefore AC⊥AB.$
$\therefore S_{□ABCD}=AB· AC$,即②正确.
$\because AB⊥OA,$
$\therefore OB＞AB.$
$\therefore OB≠AB$,故③错误.
$\because □ABCD$的对角线AC,BD相交于点O,
$\therefore CO=OA.$
$\because AE=CE,$
$\therefore OE⊥AC.$
$\because ∠ECA=30°,$
$\therefore CE=2OE$,即$BE=2OE$,即④正确.
13. （★★）如图， $ l_{1} / / l_{2}, BE / / CF, BA ⊥ l_{1}, DC ⊥ l_{2} $ . 有下列四个结论： $ \textcircled{1} AB=DC $ $ \textcircled{2} BE= CF $ $ \textcircled{3} S_{△ ABE}=S_{△ DCF} $ $ \textcircled{4} S_{\Box ABCD}=S_{\Box BCFE} $ . 其中正确的结论有 【
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
13. A
14. （★★）如图， $ \Box ABCD $的对角线 AC与 BD相交于点 O， $ AE\bot BC $于点 E， $ AB=\sqrt{3},AC= 2,BD=4 $ ，则 AE的长为_______.
答案
14. $\frac{2\sqrt{21}}{7}$
