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7. 某文具店出售书包和文具盒，每个书包定价为 $ 30 $ 元，每个文具盒定价为 $ 5 $ 元。该店推出了两种优惠方案：① 买一个书包赠送一个文具盒；② 按总价的九折(总价的 $ 90\% $)付款。某班需要购买 $ 8 $ 个书包、若干个文具盒(不少于 $ 8 $ 个)，设购买文具盒 $ x $ 个，购买书包和文具盒付款总额为 $ y $ 元。
(1) 分别求出两种优惠方案中 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式；
(2) 购买多少个文具盒时，两种方案付款总额相同？
(1) 分别求出两种优惠方案中 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式；
(2) 购买多少个文具盒时，两种方案付款总额相同？
答案
7. 解：(1)方案①：$y_{1}=30×8+5(x-8)=200+5x$。
方案②：$y_{2}=(30×8+5x)×90\% =216+4.5x$。
(2)由题意可得$y_{1}=y_{2}$，
即$200+5x=216+4.5x$。
解得$x=32$。
所以购买 32 个文具盒时，两种方案付款总额相同。
方案②：$y_{2}=(30×8+5x)×90\% =216+4.5x$。
(2)由题意可得$y_{1}=y_{2}$，
即$200+5x=216+4.5x$。
解得$x=32$。
所以购买 32 个文具盒时，两种方案付款总额相同。
解析
【解析】
(1) 推导方案①的关系式：
方案①买1个书包赠送1个文具盒，购买8个书包会赠送8个文具盒，因此只需为超出8个的文具盒付费：
购买8个书包的费用为$30×8=240$元，需要付费的文具盒数量为$(x-8)$个，对应费用为$5(x-8)$元，因此总费用：
$y_1=30×8 + 5(x-8)=240 +5x -40=5x+200$
推导方案②的关系式：
所有商品总价为$(30×8 +5x)$元，按9折付款，因此总费用：
$y_2=(30×8 +5x)×90\%=(240+5x)×0.9=4.5x+216$
(2) 令两种方案付款总额相等，即$y_1=y_2$：
$5x+200=4.5x+216$
移项得$5x-4.5x=216-200$
$0.5x=16$
解得$x=32$
即购买32个文具盒时，两种方案付款总额相同。
【答案】
(1) 方案①：$y_1=5x+200$；方案②：$y_2=4.5x+216$
(2) 32个
【知识点】
一次函数实际应用，一元一次方程求解
【点评】
本题结合生活中的优惠方案场景，考查一次函数关系式的建立与一元一次方程的实际应用，解题的关键是准确理解两种优惠规则，区分免费赠送部分和需要付费部分的计算逻辑，避免列式时出现计算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 推导方案①的关系式：
方案①买1个书包赠送1个文具盒，购买8个书包会赠送8个文具盒，因此只需为超出8个的文具盒付费：
购买8个书包的费用为$30×8=240$元，需要付费的文具盒数量为$(x-8)$个，对应费用为$5(x-8)$元，因此总费用：
$y_1=30×8 + 5(x-8)=240 +5x -40=5x+200$
推导方案②的关系式：
所有商品总价为$(30×8 +5x)$元，按9折付款，因此总费用：
$y_2=(30×8 +5x)×90\%=(240+5x)×0.9=4.5x+216$
(2) 令两种方案付款总额相等，即$y_1=y_2$：
$5x+200=4.5x+216$
移项得$5x-4.5x=216-200$
$0.5x=16$
解得$x=32$
即购买32个文具盒时，两种方案付款总额相同。
【答案】
(1) 方案①：$y_1=5x+200$；方案②：$y_2=4.5x+216$
(2) 32个
【知识点】
一次函数实际应用，一元一次方程求解
【点评】
本题结合生活中的优惠方案场景，考查一次函数关系式的建立与一元一次方程的实际应用，解题的关键是准确理解两种优惠规则，区分免费赠送部分和需要付费部分的计算逻辑，避免列式时出现计算错误。
【难度系数】
0.7
8. 某销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案：方案一，没有底薪，只有销售提成；方案二，底薪加销售提成。如图，射线 $ l_1 $、射线 $ l_2 $ 分别表示该销售公司每月按方案一、方案二付给销售人员的工资 $ y_1 $，$ y_2 $(单位：元)与销售人员当月的销售量 $ x $(单位：kg)之间的关系。
(1) 分别求 $ y_1 $ 与 $ x $，$ y_2 $ 与 $ x $ 之间的关系式；
(2) 若某销售人员 $ 3 $ 月份的销售量为 $ 700 $ kg，则哪种方案会使这名销售人员的工资更高？
(1) 分别求 $ y_1 $ 与 $ x $，$ y_2 $ 与 $ x $ 之间的关系式；
(2) 若某销售人员 $ 3 $ 月份的销售量为 $ 700 $ kg，则哪种方案会使这名销售人员的工资更高？
答案
8. 解：(1)$y_{1}=\frac {12000}{400}x=30x$。
$y_{2}=\frac {12000-4000}{400}x+4000=20x+4000$。
(2)当$x=700$时，
$y_{1}=30×700=21000$(元)，
$y_{2}=20×700+4000=18000$(元)。
因为$21000＞18000$，
所以方案一会使这名销售人员的工资更高。
$y_{2}=\frac {12000-4000}{400}x+4000=20x+4000$。
(2)当$x=700$时，
$y_{1}=30×700=21000$(元)，
$y_{2}=20×700+4000=18000$(元)。
因为$21000＞18000$，
所以方案一会使这名销售人员的工资更高。
解析
【分析】
要解决本题，首先需根据图像上的已知点，利用待定系数法求出两个方案对应的函数关系式；再将销售量$ x=700 $kg分别代入两个函数，计算工资并比较大小，即可得出结论。具体步骤：①确定$ l_1 $（方案一）是正比例函数，过原点和交点$(400,12000)$，用待定系数法求解析式；②确定$ l_2 $（方案二）是一次函数，过$(0,4000)$和交点$(400,12000)$，用待定系数法求解析式；③代入$ x=700 $，计算两个方案的工资，比较后得出哪种方案工资更高。
【解析】
(1) 设方案一的函数关系式为 $ y_1 = k_1x $（$ k_1≠0 $），
由图像可知，$ l_1 $ 过点 $(400, 12000)$，代入得：
$ 12000 = 400k_1 $，解得 $ k_1 = 30 $，
因此 $ y_1 = 30x $；
设方案二的函数关系式为 $ y_2 = k_2x + b $（$ k_2≠0 $），
由图像可知，$ l_2 $ 过点 $(0, 4000)$ 和 $(400, 12000)$，
将 $(0, 4000)$ 代入得 $ b = 4000 $，
再将 $(400, 12000)$ 和 $ b=4000 $ 代入得：
$ 12000 = 400k_2 + 4000 $，解得 $ k_2 = 20 $，
因此 $ y_2 = 20x + 4000 $；
(2) 当 $ x = 700 $ 时，
$ y_1 = 30×700 = 21000 $（元），
$ y_2 = 20×700 + 4000 = 18000 $（元），
因为 $ 21000 ＞ 18000 $，所以方案一的工资更高。
【答案】
(1) $ y_1 = 30x $，$ y_2 = 20x + 4000 $；(2) 方案一的工资更高。
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，函数值比较
【点评】
本题结合实际销售工资问题，考查一次函数的解析式求解与应用，核心是从图像中提取有效点坐标，用待定系数法确定函数关系，再代入计算比较，难度适中，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先需根据图像上的已知点，利用待定系数法求出两个方案对应的函数关系式；再将销售量$ x=700 $kg分别代入两个函数，计算工资并比较大小，即可得出结论。具体步骤：①确定$ l_1 $（方案一）是正比例函数，过原点和交点$(400,12000)$，用待定系数法求解析式；②确定$ l_2 $（方案二）是一次函数，过$(0,4000)$和交点$(400,12000)$，用待定系数法求解析式；③代入$ x=700 $，计算两个方案的工资，比较后得出哪种方案工资更高。
【解析】
(1) 设方案一的函数关系式为 $ y_1 = k_1x $（$ k_1≠0 $），
由图像可知，$ l_1 $ 过点 $(400, 12000)$，代入得：
$ 12000 = 400k_1 $，解得 $ k_1 = 30 $，
因此 $ y_1 = 30x $；
设方案二的函数关系式为 $ y_2 = k_2x + b $（$ k_2≠0 $），
由图像可知，$ l_2 $ 过点 $(0, 4000)$ 和 $(400, 12000)$，
将 $(0, 4000)$ 代入得 $ b = 4000 $，
再将 $(400, 12000)$ 和 $ b=4000 $ 代入得：
$ 12000 = 400k_2 + 4000 $，解得 $ k_2 = 20 $，
因此 $ y_2 = 20x + 4000 $；
(2) 当 $ x = 700 $ 时，
$ y_1 = 30×700 = 21000 $（元），
$ y_2 = 20×700 + 4000 = 18000 $（元），
因为 $ 21000 ＞ 18000 $，所以方案一的工资更高。
【答案】
(1) $ y_1 = 30x $，$ y_2 = 20x + 4000 $；(2) 方案一的工资更高。
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，函数值比较
【点评】
本题结合实际销售工资问题，考查一次函数的解析式求解与应用，核心是从图像中提取有效点坐标，用待定系数法确定函数关系，再代入计算比较，难度适中，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6
