1. 阅读苏科版数学七年级上册教材第 144 页的数学实验室,解决下列问题.
“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具,由七块板组成,可以拼出各种各样的图形.已知一副七巧板是由一个正方形薄板分割而成的,其中大三角形两块、小三角形两块、中三角形一块、正方形一块、平行四边形一块.
(1)若七巧板中最小的小三角形的面积为$a$,求大三角形的面积.
(2)用七巧板中的三块板拼成一个等腰直角三角形,有几种不同的拼法?请画图说明.
(3)如图是一个边长为 8 的大正方形,将其分割成七巧板,求图中平行四边形的面积.

(1)观察七巧板可知,大三角形的直角边是小三角形直角边的2倍.设小三角形的两条直角边长分别为x、y,则大三角形的两条直角边长分别为2x、2y,小三角形的面积$a=\frac{1}{2}xy$,所以大三角形的面积$S=\frac{1}{2}×2x×2y=4×\frac{1}{2}xy=4a$.
(2)有3种不同的拼法.拼法1:用两块小三角形和一块正方形可以拼成一个等腰直角三角形,如图1.拼法2:用两块小三角形和一块中三角形可以拼成一个等腰直角三角形,如图2.拼法3:用两个小三角形和一个平行四边形可以拼成一个等腰直角三角形,如图3.
(3)已知大正方形的边长为8,则大正方形的面积为8×8=64.观察七巧板可知,平行四边形的面积是大正方形面积的$\frac{1}{8}$,所以平行四边形的面积为$64×\frac{1}{8}=8$.

2. 阅读苏科版数学七年级上册教材第 151 页的《几何学的起源》，解决下列问题.
在探索几何学起源的学习中，我们知道古埃及金字塔呈现四棱锥造型，我国古代彩陶上也有着精美的几何图案.
(1)某彩陶碎片复原模型上有一个菱形，经测量其两条对角线的长度之和为 20 cm，且它们的长度比是 $3:2$，求这个菱形的面积.(提示:菱形的面积等于对角线乘积的一半)
(2)某校数学社团组织同学们去参观一个以几何学起源为主题的展览.社团原计划购买单价为 15 元的普通门票，后来发现有团体票优惠政策:当人数不超过 20 人时，没有优惠；当人数超过 20 人但不超过 50 人时，每张团体票比普通票便宜 3 元；当人数超过 50 人时，每张团体票比普通票便宜 5 元.已知数学社团购买门票一共花费了 480 元，问:有多少人参加此次活动？
3. 根据素材，完成任务.

2.(1)设两条对角线的长度分别为3x cm和2x cm.由题意,得3x+2x=20,解得x=4,则两条对角线的长度分别为3×4=12(cm),2×4=8(cm).根据菱形面积公式可得这个菱形的面积为$\frac{1}{2}×12×8=48(cm^2)$.
(2)①若人数不超过20人,此时门票单价为15元,则人数为480÷15=32(人),32＞20,不符合题意,舍去;②若人数超过20人但不超过50人,此时门票单价为15-3=12(元),则人数为480÷12=40(人),20＜40＜50,符合题意;③若人数超过50人,此时门票单价为15-5=10(元),则人数为480÷10=48(人),48＜50,不符合题意,舍去.综上所述,有40人参加此次活动.
3. 任务1:甲木板的长为3a cm,宽为(2a+b)cm,因此面积为3a(2a+b)cm²,即$(6a^2+3ab)cm^2$;乙木板的长为5a cm,宽为b cm,因此面积为5ab cm²;丙木板的长为(3a+b)cm,宽为2a cm,因此面积为2a(3a+b)cm²,即$(6a^2+2ab)cm^2$.
任务2:因为长方体长侧面周长和短侧面周长的差为3 cm,长侧面周长和短侧面周长的和为23 cm,所以2(3a+b)-2(2a+b)=3,2(3a+b)+2(2a+b)=23,解得$a=\frac{3}{2},b=2$,所以甲、乙、丙三块木板的面积和为$(6a^2+3ab)+5ab+(6a^2+2ab)=12a^2+10ab=12×(\frac{3}{2})^2+10×\frac{3}{2}×2=57(cm^2)$.
任务3:因为甲木板面积是乙木板面积的3倍,即$6a^2+3ab=3×5ab$,所以a=2b.因为长方体箱子的侧面积为2(3a+2a)b=10ab(cm²),长方体箱子的表面积为$10ab+3a×2a×2=(10ab+12a^2)(cm^2)$,所以箱子侧面积与表面积的比值为$\frac{10ab}{10ab+12a^2}=\frac{20b^2}{20b^2+48b^2}=\frac{20b^2}{68b^2}=\frac{5}{17}$.