四、数学小博士
21. 【问题背景】图6是一个长为4b、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图7）.

【自主探究】（1）如果用两种不同的方法表示图7中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系：；
【知识运用】（2）运用你所得到的等量关系，计算当$2x - 3y = 5$，$xy = 1$时$(2x + 3y)^2$的值；
【知识延伸】（3）已知$(x - 2022)^2 + (x - 2024)^2 = 10$，求$4(x - 2023)^2$的值.

21.（1）$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$；
（2）因为$2x-3y=5$，$xy=1$，所以$(2x+3y)^2=(2x-3y)^2+4· 2x· 3y=5^2+24×1=49.$
（3）设$a=x-2022$，$b=x-2024$，
所以$a-b=2$，$a+b=2(x-2023)$，
所以$a^2-2ab+b^2=4$，$(a+b)^2=4(x-2023)^2$.
因为$(x-2022)^2+(x-2024)^2=10$，
所以$a^2+b^2=10$，所以$10-2ab=4$，
所以$ab=3$，所以$4(x-2023)^2=(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=2^2+4×3=16.$

22. 一天，阿凡提到某公司求职，老板答应他：试用一周（7天），日工资50元. 阿凡提对老板说：“日工资是否可以谈一谈？”老板很随和地说：“你开个价吧！”阿凡提心里暗喜，说：“第一天付给我5分钱，第二天付给我$5^2$分钱，第三天付给我$5^3$分钱. 总之，第n天就付给我5的n次方分钱.”老板听了，略加思索后答应下来，并与阿凡提签订了如下用工合同：
本公司决定聘用阿凡提，经他本人同意，在试用期间的工资按如下方案支付：第一天付0.05元，以后第n天付的钱数为第一天钱数的n次方.
签完合同之后，阿凡提高兴得手舞足蹈，沾沾自喜地盘算着：虽然第一天只给我5分钱，第二天给我$5^2=25$分钱，前几天我吃亏，但第七天可不得了，竟有$5^7$分=78125分=781.25元，比前面六天的总数还要多呢！七天后，阿凡提兴高采烈地找老板拿工资，哪知道老板说：“按合同，你七天的工资连一毛钱都不到. 算了，就给你一毛钱吧.”阿凡提一听，傻眼了.
（1）同学们，你们知道这是什么原因吗？
（2）我们知道，10的n（n为正整数）次方的结果中0的个数等于n，那么0.1的n（n为正整数）次方的结果有什么规律呢？

22.（1）因为合同写的是第一天工资为0.05元，那么第二天工资为$0.05^2=0.0025$元，随着指数的增加，结果会越来越小，所以试用期的工资不够一毛钱.
（2）0.1的n（n为正整数）次方的结果是$10^{-n}$，结果中0的个数（包括个位上的0）也等于n.