一、填空题
1. 图②是图①折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿 AB 和 CD 的长相等,O 是它们的中点. 撑开后的折叠凳宽度 $AD=36\ \mathrm{cm}$,则 $CB=$cm.

1. 36

2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90^{ \circ }$,$△ ABC≌△ AED$,线段$BC$的延长线交$DE$于点$F$,连接$AF$.若$△ ABF$的面积为$56$,$AD=7$,$CF=3$,则线段$EF$的长为.

2. 10

3. 如图,$△ ABC$的面积为$\mathrm{6\ cm^2}$,$BP$平分$∠ ABC$,$AP ⊥ BP$于点$P$,连接$PC$,则$△ PBC$的面积为$\mathrm{cm^2}$.

3. 3

二、解答题
4. 如图,点 B , E , C , F 在同一条直线上.若$AB=DE$,$AC=DF$,$BF=CE$,AC 与 DF 交于点 O.
(1) 求证:$△ ABC ≌ △ DEF$;
(2) 若$∠ D=65°$,$∠ E=40°$,求$∠ COF$的度数.

(1) $\because BF=CE,\therefore BF+FC=FC+CE$,即$BC=EF$.又$\because AB=DE,AC=DF,\therefore △ ABC≌ △ DEF(\mathrm{SSS})$
(2) $\because △ ABC≌ △ DEF,∠ D=65°,∠ E=40°$,
$\therefore ∠ ACB=∠ DFE=180°-∠ D-∠ E=75°$.
$\therefore ∠ COF=180°-∠ ACB-∠ DFE=30°$

5. 如图,在$△ ABC$中,$D$为$BC$的中点,$BE ⊥ AD$于点$E$,$CF ⊥ AD$,交$AD$的延长线于点$F$,$G$是$DA$延长线上一点,连接$BG$.
(1) 一题多解 求证:$BE=CF$;
(2) 若$BG=CA$,$DF=1$,求$GA$的长.

(1) 解法一 $\because D$是$BC$的中点,$\therefore BD=CD$.$\because BE⊥ AD,CF⊥ AD,\therefore BE// CF$.$\therefore ∠ EBD=∠ FCD$.
在$△ BED$和$△ CFD$中,$\begin{cases}∠ EBD=∠ FCD,\\BD=CD,\\∠ BDE=∠ CDF,\end{cases}$ $\therefore △ BED≌ △ CFD(\mathrm{ASA}).\therefore BE=CF$.
解法二 $\because D$是$BC$的中点,$\therefore BD=CD$.$\because BE⊥ AD,CF⊥ AD,\therefore ∠ BED=∠ F=90°$.
在$△ BED$和$△ CFD$中,$\begin{cases}∠ BED=∠ F,\\∠ BDE=∠ CDF,\\BD=CD,\end{cases}$ $\therefore △ BED≌ △ CFD(\mathrm{AAS}).\therefore BE=CF$.
(2) $\because BE⊥ AD,\therefore ∠ BEG=90°$.在$\mathrm{Rt}△ BGE$和$\mathrm{Rt}△ CAF$中,$\begin{cases}BG=CA,\\BE=CF,\end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ BGE≌ \mathrm{Rt}△ CAF(\mathrm{HL})$.
$\therefore GE=AF.\therefore AG=EF.\because △ BED≌ △ CFD,\therefore DE=DF.\therefore GA=2DF=2$