一、填空题
1. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$是角平分线.若$BC=10\ \mathrm{cm}$,$BD:CD=3:2$,则点$D$到$AB$的距离为$\mathrm{cm}$.

1. 4

2. 如图,在$△ ABC$中,边$AC$的垂直平分线交$BC$于点$D$,交$AC$于点$E$.已知$△ ABC$与$△ ABD$的周长分别为 24 cm 和 18 cm,则线段$AE$的长为cm.

2. 3

3. 如图,$DF$垂直平分$AB$,$EG$垂直平分$AC$,若$∠ BAC=130°$,则$∠ DAE=$$°$.

3. 80

4. 如图,$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$,$DE ⊥ AB$于点$E$,$DF ⊥ BC$于点$F$,$AB=6$,$BC=8$. 若$S_{△ ABC}=$28,则$DE=$.

4. 4

5. 如图,$D,F$分别为$△ ABC$的边$AB,AC$的中点,$DE ⊥ AB$交$BC$于点$E$,$FG ⊥ AC$交$BC$于点$G$,$△ AGE$的周长为$15$,$BC=10$,则$EG$的长为.

5. $\frac{5}{2}$

二、解答题
6. 如图,$AD$是$△ ABC$的角平分线,$DE,DF$分别是$△ ABD$和$△ ACD$的高.
(1) 求证:$AD$垂直平分$EF$;
(2) 若$AB+AC=10$,$S_{△ ABC}=15$,$∠ EAF=60°$,求$AD$的长.

6. (1)
∵ AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,
∴ DE = DF. 在 Rt△AED 和 Rt△AFD 中,
$\begin{cases} AD=AD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴ Rt△AED≌Rt△AFD(HL).
∴ AE = AF.
∵ DE = DF,
∴ AD 垂直平分 EF
(2)
∵ DE = DF,
∴ $S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AB · ED+\frac{1}{2}AC · DF=\frac{1}{2}DE · (AB+AC)=15$.
∵ AB + AC = 10,
∴ $\frac{1}{2} × 10DE=15$.
∴ DE = 3.
∵ ∠EAF = 60°,AD 是△ABC 的角平分线,
∴ ∠DAF = ∠EAD = 30°.
∴ AD = 2DE = 6