一、填空题
1. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$是边$BC$上的高,$E,F$是$AD$的三等分点.若$△ ABC$的面积为$12$,则图中阴影部分的面积是.

1. 6

2. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的. 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角,这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA,OB 组成,两根棒在点 O 相连并可绕点 O 转动,点 C 固定,$OC=CD=DE$,点 D,E 可在槽中滑动. 若$∠ O=25°$,则$∠ ODE$的度数是.

2. 105°

3. 易错题 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$70^{\circ }$,则等腰三角形的底角度数为.

3. 80°或10°

4. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$为$△ ABC$的中线,以点$A$为圆心,$AD$的长为半径画弧,交$AC$于点$E$,连接$DE$. 若$∠ BAC=80°$,则$∠ CDE=$$°$.

4. 20

5. 易错题 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ B=50°$,点$D$在线段$BC$上运动(不与点$B$,$C$重合),连接$AD$,作$∠ ADE=50°$,$DE$交线段$AC$于点$E$. 当$△ ADE$是等腰三角形时,$∠ BAD$的度数为.

5. 30°或15°

二、解答题
6. 如图,在锐角三角形 $ABC$ 中,$E$ 是 $AB$ 边上一点,$BE=CE,AD ⊥ BC$ 于点 $D$,$AD$ 与 $EC$ 交于点 $G$.
(1) 求证:$△ AEG$ 为等腰三角形;
(2) 若 $GD=5$,$G$ 为 $CE$ 的中点,求 $AG$ 的长.

6. (1) $\because AD ⊥ BC,\therefore ∠ ADB = ∠ GDC = 90°$.
$\because BE = CE, \therefore ∠ B = ∠ GCD. \therefore$ 易得 $∠ BAG = ∠ CGD = ∠ AGE. \therefore AE = GE. \therefore △ AEG$ 为等腰三角形
(2) 过点 $E$ 作 $EH ⊥ AD$,垂足为 $H$,则 $∠ EHG = 90°. \because G$ 为 $CE$ 的中点, $\therefore EG = CG$. 在 $△ EHG$ 和 $△ CDG$ 中, $\begin{cases} ∠ EHG = ∠ CDG = 90°, \\ ∠ EGH = ∠ CGD, \\ EG = CG, \end{cases}$ $\therefore △ EHG ≌ △ CDG(\mathrm{AAS}). \therefore HG = DG. \because AE = EG, EH ⊥ AD, \therefore AH = HG = DG = 5. \therefore AG = AH + HG = 10$