【典例1】在$△ ABC$中，$∠ A - ∠ B = 30°$，$∠ C = 4∠ B$，求$∠ C$的度数.

解:$∠ A=30°+∠ B$,
设$∠ B=x$,则 $30°+x+4x+x=180°$,
$x=25°,∠ C=100°.$

【分析】
要计算△ABC中∠C的度数，首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°。题目给出了∠A与∠B的差、∠C与∠B的倍数关系，三个角均与∠B相关，因此可以将∠A、∠C都用∠B表示，设∠B的度数为x，即可将三个角转化为含x的代数式，代入内角和公式列方程求解，最后根据∠C与∠B的倍数关系算出∠C的度数。
【解析】
解：由∠A - ∠B = 30°，可得∠A = ∠B + 30°。
设∠B = x，则∠A = x + 30°，∠C = 4x。
根据三角形内角和为180°，可列方程：
$x + 30° + x + 4x = 180°$
合并同类项得：$6x + 30° = 180°$
移项计算得：$6x = 150°$，解得$x = 25°$
所以∠C = 4x = 4×25° = 100°
【答案】
100°
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 方程思想求角度
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，核心是利用三角形内角和定理，结合已知的角度数量关系，将多个未知量统一用同一个未知量表示后列方程求解，掌握这种角度转化的思路是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8

变式1.在$△ ABC$中，$∠ B=∠ A-10°$，$∠ C=∠ B+20°$，求$∠ A$的度数。

解:设$∠ B=x$,
$\because ∠ B=∠ A-10°,∠ C=∠ B+20°,$
$\therefore ∠ A=∠ B+10°=x+10°,∠ C=x+20°.$
$\because ∠ A+∠ B+∠ C=180°,$
$\therefore x+10°+x+x+20°=180°,$
解得 $x=50°,\therefore ∠ A=60°.$

【分析】
本题是三角形内角计算类题目，解题思路如下：首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°。观察题目给出的角度关系，∠A、∠C都和∠B直接相关，因此可采用方程思想，先设∠B为未知数x，将∠A、∠C都用含x的代数式表示，再代入三角形内角和公式列出一元一次方程，求解出x后就能计算得到∠A的度数。
【解析】
解：设$∠ B=x$，
$\because ∠ B=∠ A-10°$，$∠ C=∠ B+20°$，
$\therefore ∠ A=∠ B+10°=x+10°$，$∠ C=x+20°$，
根据三角形内角和定理可得：$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，
代入得：$x+10°+x+x+20°=180°$，
整理得$3x+30°=180°$，
解得 $x=50°$，
$\therefore ∠ A=x+10°=50°+10°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，核心是将三角形三个内角通过统一的未知数表示，结合三角形内角和定理建立方程求解，熟练掌握基础定理和方程思想就能快速解答。
【难度系数】
0.8

变式2.如图，在$△ ABC$中，$D$为$BC$上一点，$BE ⊥ AC$于点$E$，交$AD$于点$F$，$∠ ABD = ∠ ADB$，$∠ DAC = ∠ C = 2∠ BAD$.求$∠ AFE$的度数.

解:设$∠ BAD=x$,
则$∠ DAC=∠ C=2∠ BAD=2x$,
$∠ ABD=∠ ADB=4x,$
$\because ∠ ABD+∠ ADB+∠ BAD=180°,$
$\therefore 4x+4x+x=180°,$
解得 $x=20°,$
$\therefore ∠ DAC=2x=40°,$
$\because BE⊥ AC,\therefore ∠ AEF=90°,$
$\therefore ∠ AFE=90°-∠ DAC=90°-40°=50°.$

【分析】
本题给出了多个角之间的倍数关系，以及垂直、等角的条件，适合用方程思想求解。首先找到最小的角∠BAD，将其设为未知数x，再根据题目给出的倍数关系、三角形外角的性质，把其余相关角都用含x的式子表示，接着利用△ABD的内角和为180°列方程求出x的值，得到∠DAC的度数，最后在直角△AEF中利用两锐角互余即可求出∠AFE的度数。
【解析】
设$∠ BAD=x$，
由题意得$∠ DAC=∠ C=2∠ BAD=2x$，
∵$∠ ADB$是$△ ADC$的外角，
∴$∠ ADB=∠ DAC+∠ C=2x+2x=4x$，
又
∵$∠ ABD=∠ ADB$，
∴$∠ ABD=4x$，
在$△ ABD$中，$∠ ABD+∠ ADB+∠ BAD=180°$，
代入得：$4x+4x+x=180°$，
解得 $x=20°$，
∴$∠ DAC=2x=2×20°=40°$，
∵$BE⊥ AC$，
∴$∠ AEF=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$∠ AFE+∠ DAC=90°$，
∴$∠ AFE=90°-∠ DAC=90°-40°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，核心是运用方程思想梳理角度间的数量关系，解题时要准确识别外角、直角等特殊条件，结合三角形的相关性质逐步推导，计算难度较低，侧重对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7

【典例2】如图，$△ ABC$中，D是BC上一点，$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$，$∠ BAC=63°$，求$∠ DAC$的度数。

解:设$∠ 2=x$,则$∠ 1=x$,
$\therefore ∠ 4=∠ 3=∠ 1+∠ 2=2x,$
在$△ ABC$ 中,$\because ∠ BAC=63°,$
$\therefore 2x+x+63°=180°,$
$\therefore x=39°.$
$\therefore ∠ DAC=63°-39°=24°.$

【分析】
解题时先观察角的位置关系：∠3是△ABD的外角，根据三角形外角性质可得到∠3与∠1、∠2的数量关系；结合已知∠1=∠2、∠3=∠4，可将图中∠1、∠2、∠3、∠4用同一个未知数表示；再利用△ABC内角和为180°，结合已知∠BAC=63°列方程求出未知数，最后用∠BAC减去∠1即可得到∠DAC的度数。
【解析】
设$∠ 2=x$，则$∠ 1=x$，
$\therefore ∠ 4=∠ 3=∠ 1+∠ 2=2x$，
在$△ ABC$中，$\because ∠ BAC=63°$，根据三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠ 2+∠ 4+∠ BAC=180°$，即$2x+x+63°=180°$，
解得$x=39°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ BAC-∠ 1=63°-39°=24°$。
【答案】
$24°$
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和定理；方程思想
【点评】
本题是角度计算的典型习题，解题关键是梳理清楚不同角之间的等量关系，将方程思想运用到几何计算中，能简化角度关系的推导，大幅降低解题难度，该方法在几何角度计算类问题中应用十分广泛。
【难度系数】
0.7

变式.(2026·四川)如图,在△ABC中$,∠ACB=∠ABC=\frac{1}{4}∠BAC,CD$是AB边上的高,求∠DCA的度数.

解:设$∠ ABC=∠ ACB=x$,则$∠ BAC=4x$,
$\therefore x+x+4x=180°,\therefore x=30°,$
$\therefore ∠ DCB=90°-∠ B=60°,$
$\therefore ∠ DCA=∠ DCB-∠ ACB=60°-30°=30°.$

【分析】
本题可分三步求解：第一步，利用△ABC三个内角的数量关系，结合三角形内角和为180°的性质，通过设未知数列方程求出△ABC各内角的度数；第二步，根据CD是AB边上的高，可知△CDB为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠DCB的度数；第三步，结合图形中角的和差关系，用∠DCB减去∠ACB即可得到∠DCA的度数。
【解析】
设$∠ ABC=∠ ACB=x$，则$∠ BAC=4x$，
根据三角形内角和定理得：$x+x+4x=180°$，
解得$x=30°$，即$∠ACB=30°，∠ABC=30°$。
∵CD是AB边上的高，
∴$∠D=90°$，在$Rt△ CDB$中，$∠DCB=90°-∠B=90°-30°=60°$，
∴$∠DCA=∠DCB-∠ACB=60°-30°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；角度和差计算
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，主要考查方程思想在几何角度求解中的应用，解题的关键是先根据已知角的数量关系求出△ABC的内角度数，再结合直角三角形的性质进行角度转化，熟练掌握相关基础性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.7