【典例1】如图，在$△ ABC$中，$AD$是高，$AE$为角平分线，$∠ B - ∠ C = 20°$，则$∠ DAE$的度数为.

解:设$∠ B=α,∠ C=α-20°$,
则$∠ BAC=200°-2α$,
$\therefore ∠ BAE=100°-α$,
$\therefore ∠ DAE=100°-α-(90°-α)=10°$.

【分析】
题目仅给出∠B与∠C的差值，未给出具体角度，可采用参数法表示角简化计算：首先用参数分别表示∠B和∠C，结合三角形内角和定理表示出∠BAC；再根据角平分线的性质求出∠BAE的度数；接着利用AD是高，由直角三角形两锐角互余得到∠BAD的度数；最后根据角的和差关系∠DAE=∠BAE-∠BAD，代入化简消去参数即可求出结果。
【解析】
设$∠ B=α$，
$\because ∠ B - ∠ C = 20°$，$\therefore ∠ C=α - 20°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BAC=180° - ∠ B - ∠ C=180° - α - (α - 20°)=200° - 2α$，
$\because AE$为角平分线，$\therefore ∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×(200° - 2α)=100° - α$，
$\because AD$是高，$\therefore AD⊥ BC$，$∠ ADB=90°$，
在$Rt△ ABD$中，$∠ BAD=90° - ∠ B=90° - α$，
$\therefore ∠ DAE=∠ BAE - ∠ BAD=(100° - α)-(90° - α)=10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，运用参数思想可避免求解单个角的具体数值，大幅简化计算过程，解题的核心是理清图中各角之间的和差关系，熟练运用三角形相关线段的性质。
【难度系数】
0.7

变式.如图，△ABC中，∠BAC外角平分线交直线BC于D点，∠2－∠1＝52°，求∠ADB的度数.

解:设$∠ CAD=α,∠ ADB=β$,
$\therefore ∠ 1=α-β,∠ 2=α+β$,
$\therefore ∠ 2-∠ 1=2β=52°$,
$\therefore β=26°,\therefore ∠ ADB=26°$.

【分析】
解题时首先利用角平分线的性质得到∠EAD=∠CAD，再结合三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，分别推导出∠1、∠2与∠CAD、∠ADB的数量关系，将两个关系代入已知的∠2-∠1=52°中，即可消去∠CAD这个未知量，求出∠ADB的度数，也可通过设参数的方式简化计算过程。
【解析】
∵AD是∠BAC的外角∠EAC的平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
设∠CAD=α，∠ADB=β，
在△ABD中，∠EAD是外角，由三角形外角性质得：
∠EAD=∠1+∠ADB，即α=∠1+β，
∴∠1=α-β；
在△ACD中，∠2是外角，由三角形外角性质得：
∠2=∠CAD+∠ADB=α+β；
已知∠2-∠1=52°，代入上述两式得：
(α+β)-(α-β)=52°，
化简得2β=52°，
解得β=26°，即∠ADB=26°。
【答案】
26°
【知识点】
三角形外角性质；角平分线的定义；角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的典型题型，解题核心是利用三角形外角性质完成角的转化，通过设参数的方法可快速消去中间未知量，降低计算难度，解题时要注意准确识别外角对应的不相邻内角，避免角的关系推导错误。
【难度系数】
0.7

【典例2】如图，在$△ ABC$中，$BD$，$CE$为两条角平分线，若$∠ BDC=∠ AEC$，求$∠ A$的度数。

解:BD,CE是$△ ABC$的角平分线,
设$∠ ABD=x,∠ ACE=y$,
$\because ∠ BDC=∠ AEC$,
$\therefore 180°-x-2y=2x+y$,
$x+y=60°$,
$\therefore ∠ A=180°-2x-2y=60°$.

【分析】
遇到含角平分线的角度计算问题，可先利用参数法设角平分线分出的相等小角为未知数，将相关角用参数表示；再结合题目给出的等角条件，利用三角形内角和或外角性质列出关于参数的等式；最后推导待求角∠A与参数的关系，整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵BD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，∠ACE=∠BCE，
设∠ABD=x，∠ACE=y，则∠ABC=2x，∠ACB=2y。
根据三角形外角性质，∠AEC是△BCE的外角，因此∠AEC=∠ABC+∠BCE=2x+y；
根据三角形内角和定理，在△BDC中，∠BDC=180°-∠CBD-∠ACB=180°-x-2y。
已知∠BDC=∠AEC，代入得：
$180° -x-2y=2x+y$
整理得$3x+3y=180°$，即$x+y=60°$。
在△ABC中，由内角和定理得：
$∠A=180° -∠ABC-∠ACB=180° -2x-2y=180° -2(x+y)$
将$x+y=60°$代入，得$∠A=180° -2×60°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
1.角平分线的定义 2.三角形内角和定理 3.三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的典型题型，通过设参数将零散的角度关系整合，利用等角条件建立方程，无需单独求解每个参数，通过整体代入即可求出结果，侧重考查参数思想和整体代入思想在几何计算中的运用。
【难度系数】
0.6

变式.如图，AD⊥BC于D点，AE平分∠CAD，∠B=∠BAC，求∠BAE的度数.

解:设$∠ DAE=α$,
$∠ BAD=β$,
$2α+β=90°-β$,
$\therefore α+β=45°$,
$\therefore ∠ BAE=45°$.

【分析】
拿到这道题我们可以这样思考：首先从已知条件出发，AD⊥BC说明△ABD是直角三角形，两个锐角∠B和∠BAD的和为90°；AE平分∠CAD，意味着∠CAD被分成两个相等的角；另外已知∠B=∠BAC。我们可以设∠DAE=α，∠BAD=β，用α和β表示出∠B和∠BAC，再代入直角三角形的角度关系中，就可以求出α+β的值，而∠BAE恰好就是α+β，即可得到结果。
【解析】
解：设$∠ DAE=α$，$∠ BAD=β$，
∵AE平分$∠ CAD$，根据角平分线的定义可得$∠ CAE=∠ DAE=α$，
∴$∠ BAC=∠ BAD + ∠ DAE + ∠ CAE = β + 2α$，
又
∵$∠ B=∠ BAC$，
∴$∠ B = β + 2α$，
∵AD⊥BC，
∴$∠ ADB=90°$，在Rt△ABD中，根据直角三角形两锐角互余可得$∠ B + ∠ BAD = 90°$，
将对应角代入得：$(β + 2α) + β = 90°$，
整理得$2α + 2β = 90°$，两边同时除以2得$α + β = 45°$，
∵$∠ BAE = ∠ BAD + ∠ DAE = β + α$，
∴$∠ BAE = 45°$。
【答案】

$∠ BAE=45°$
【知识点】
角平分线定义；直角三角形性质；角度和差计算
【点评】
本题考查角度的计算，核心是运用参数思想简化推导过程，通过设参数表示未知角，结合几何性质建立等量关系，消去参数即可得到所求角度，是角度计算中非常实用的方法。
【难度系数】
0.7

【典例3】如图,在$△ ABC$中,$∠ B=2∠ C$,AE平分$∠ BAC$交BC于E.若$EF⊥ AE$交AC于F,求证:$∠ C=2∠ FEC$.

解:设$∠ B=2x,∠ C=x$,
则$∠ BAC=180°-3x$,
$∠ EAF=90°-1.5x$,
$∠ AFE=1.5x,∠ FEC=0.5x$,
$\therefore ∠ C=2∠ FEC$.

【分析】
遇到角度存在倍数关系的证明题，可采用参数思想简化计算：首先设较小的∠C为x，将∠B用含x的式子表示，再结合三角形内角和定理求出∠BAC的度数；接着利用角平分线的定义求出∠EAC的度数，结合EF⊥AE的垂直关系，利用直角三角形两锐角互余求出∠AFE的度数；最后根据三角形外角的性质建立∠AFE与∠C、∠FEC的关系，推导即可得出结论。
【解析】
证明：设$∠ C=x$，则$∠ B=2x$，
在$△ ABC$中，由三角形内角和定理可得：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-2x-x=180°-3x$，
$\because$AE平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(180°-3x)=90°-1.5x$，
$\because EF⊥ AE$，$\therefore ∠ AEF=90°$，
在$Rt△ AEF$中，$∠ AFE=90°-∠ EAF=90°-(90°-1.5x)=1.5x$，
$\because ∠ AFE$是$△ EFC$的外角，
$\therefore ∠ AFE=∠ C+∠ FEC$，
$\therefore ∠ FEC=∠ AFE-∠ C=1.5x-x=0.5x$，
$\therefore ∠ C=x=2×0.5x=2∠ FEC$。
【答案】
$∠ C=2∠ FEC$，证明成立。
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题通过引入参数表示角度，将几何角度的推导转化为代数式的运算，简化了角度关系的梳理，是处理角度倍数类证明题的常用技巧，解题时要注意结合三角形相关的角度性质逐步推导。
【难度系数】
0.6

变式.如图,在$△ ABC$中,D是BC上一点,E是AC上一点,$∠ B=∠ C$,$∠ ADE=∠ AED$,问$∠ BAD$与$∠ CDE$之间存在怎样的数量关系.

解:设$∠ ADE=∠ AED=α,∠ B=∠ C=β$,
在$△ DEC$中,$∠ EDC=α-β$,
在$△ ABD$中,
$∠ BAD=∠ ADC-β=α+α-β-β=2α-2β$,
$\therefore ∠ BAD=2∠ EDC$.

【分析】
要推导∠BAD和∠CDE的数量关系，题干给出两组相等的角，我们可以用参数法设出相等的角降低推导难度，再结合三角形外角性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）完成角度转化：第一步设已知相等的角为参数，第二步利用△DEC的外角∠AED表示出∠CDE，第三步利用△ABD的外角∠ADC，结合角的和差关系表示出∠BAD，最后消去参数即可得到两个角的数量关系。
【解析】
设$∠ ADE=∠ AED=α$，$∠ B=∠ C=β$。
在$△ DEC$中，$∠ AED$是外角，根据三角形外角性质可得：$∠ AED=∠ C+∠ CDE$，因此$∠ CDE=∠ AED-∠ C=α-β$。
在$△ ABD$中，$∠ ADC$是外角，根据三角形外角性质可得：$∠ ADC=∠ B+∠ BAD$，即$∠ BAD=∠ ADC-∠ B$。
又因为$∠ ADC=∠ ADE+∠ CDE=α+(α-β)=2α-β$，代入上式得：
$∠ BAD=(2α-β)-β=2α-2β=2(α-β)$。
结合$∠ CDE=α-β$，可得$∠ BAD=2∠ CDE$。
【答案】
$∠ BAD=2∠ CDE$
【知识点】
三角形外角性质；角度和差计算；参数思想
【点评】
本题是角度等量关系推导的典型题型，通过参数表示相等的未知角，结合外角性质转化角度，可快速消去中间参数得到结论，能有效锻炼角度转化的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7