1 如图，C 是线段 AB 上一点，AB＝20 cm，BC＝8 cm，点 P 从点 A 出发，以 2 cm/s 的速度沿 AB 向右运动，终点为 B；点 Q 从点 B 出发，以 1 cm/s 的速度沿 BA 向左运动，终点为 A。已知 P，Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设点 P 的运动时间为 x s.
(1) AC＝ cm.
(2) 当 x＝ 时，P，Q 两点重合.
(3) 是否存在某一时刻，使得 C，P，Q 这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的 x 的值；若不存在，请说明理由.

1. (1) 12 (2) $\frac{20}{3}$ (3) 存在 由题意知，$AP=2x\ \mathrm{cm},BQ=x\ \mathrm{cm}$. ① 当 C 是线段 PQ 的中点时，得 $12-2x=8-x$，解得 $x=4$；② 当 P 为线段 CQ 的中点时，得 $2x-12=\frac{1}{2}(8-x)$，解得 $x=\frac{32}{5}$；③ 当 Q 为线段 PC 的中点时，得 $2x+x-20=8-x$，解得 $x=7$. 综上所述，存在满足条件的时刻，且 x 的值为 4 或 $\frac{32}{5}$ 或 7

【分析】
(1) 线段AB由AC和BC两部分组成，因此用AB的总长度减去BC的长度，即可直接求出AC的长度；
(2) P、Q两点相向运动，重合时两者走过的路程之和恰好等于AB的总长度，结合P、Q的运动速度，设运动时间为x，根据“路程和=总路程”列一元一次方程求解即可；
(3) 题中未明确哪个点是另外两点连线的中点，因此需分三种情况讨论：①C为PQ的中点；②P为CQ的中点；③Q为PC的中点。每种情况先根据线段和差关系用含x的式子表示相关线段的长度，再结合中点“分得的两条线段长度相等”的性质列方程求解，最后验证解是否在运动的有效时间范围内即可。
【解析】
(1) 已知$AB=20\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，根据线段和差关系$AC=AB-BC$，代入得：
$AC=20-8=12\ \mathrm{cm}$
(2) 设运动时间为$x\ \mathrm{s}$时，P、Q两点重合。此时P走过的路程为$2x\ \mathrm{cm}$，Q走过的路程为$x\ \mathrm{cm}$，两点重合时路程和等于AB总长度，列方程：
$2x+x=20$
解得$x=\frac{20}{3}$
(3) 存在满足条件的时刻，理由如下：
由题意得，运动$x\ \mathrm{s}$时，$AP=2x\ \mathrm{cm}$，$BQ=x\ \mathrm{cm}$，P到达终点的时间为$20÷2=10\ \mathrm{s}$，因此x的取值范围为$0≤ x≤10$。
分三种情况讨论：
① 当C是线段PQ的中点时，$PC=CQ$。
其中$PC=AC-AP=12-2x$，$CQ=BC-BQ=8-x$，列方程：
$12-2x=8-x$
解得$x=4$，符合$0≤ x≤10$。
② 当P是线段CQ的中点时，$2CP=CQ$。
其中$CP=AP-AC=2x-12$，$CQ=BC-BQ=8-x$，列方程：
$2(2x-12)=8-x$
展开得$4x-24=8-x$，移项合并得$5x=32$
解得$x=\frac{32}{5}$，符合$0≤ x≤10$。
③ 当Q是线段PC的中点时，$PQ=CQ$。
其中$PQ=AP+BQ-AB=3x-20$，$CQ=BC-BQ=8-x$，列方程：
$3x-20=8-x$
移项合并得$4x=28$
解得$x=7$，符合$0≤ x≤10$。
【答案】
(1) $\boxed{12}$
(2) $\boxed{\frac{20}{3}}$
(3) 存在，满足条件的$x$的值为$\boxed{4}$或$\boxed{\frac{32}{5}}$或$\boxed{7}$
【知识点】
线段和差计算；线段中点的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是线段动态问题的典型考题，核心是将运动过程转化为线段长度的数量关系，解题的关键是分类讨论所有可能的中点情况，避免漏解，求出解后要注意验证是否符合运动的实际时间范围。
【难度系数】
0.6

2 如图，P是线段AB上任意一点，AB=12 cm，点C，D分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为2 cm/s，点D的运动速度为3 cm/s，运动的时间为t s.
(1) 若AP=8 cm.
① 运动1 s后，求CD的长；
② 当点D在线段PB上运动时，试说明AC=2CD.
(2) 如果当t=2时，CD=1 cm，试探索AP的长.

2. (1) ① 由题意，得 $CP=2×1=2(\mathrm{cm}),BD=3×1=3(\mathrm{cm})$. 因为 $AP=8\ \mathrm{cm},AB=12\ \mathrm{cm}$，所以 $PB=AB-AP=4\ \mathrm{cm}$. 所以 $CD=CP+PB-DB=2+4-3=3(\mathrm{cm})$ ② 根据题意，得 $CP=2t\ \mathrm{cm},BD=3t\ \mathrm{cm}$. 因为 $AP=8\ \mathrm{cm},AB=12\ \mathrm{cm}$，所以 $BP=4\ \mathrm{cm},AC=(8-2t)\mathrm{cm}$. 所以 $DP=BP-DB=(4-3t)\mathrm{cm}$. 所以 $CD=DP+CP=4-3t+2t=(4-t)\mathrm{cm}$. 所以 $AC=2CD$
(2) 当 $t=2$ 时，$CP=2×2=4(\mathrm{cm}),DB=3×2=6(\mathrm{cm})$. ① 当点 D 在点 C 的右边时，如图①，因为 $CD=1\ \mathrm{cm}$，所以 $CB=CD+DB=7\ \mathrm{cm}$. 所以 $AC=AB-CB=5\ \mathrm{cm}$. 所以 $AP=AC+CP=9\ \mathrm{cm}$. ② 当点 D 在点 C 的左边时，如图②，则有 $AD=AB-DB=6\ \mathrm{cm}$，所以 $AP=AD+CD+CP=11\ \mathrm{cm}$. 综上所述，$AP=9\ \mathrm{cm}$ 或 $AP=11\ \mathrm{cm}$

【分析】
本题是线段上的动点问题，解题思路如下：(1)①先根据运动速度、时间计算CP、BD的长度，再结合已知AB、AP的长度求出PB，通过线段和差关系即可求出CD的长度；②用含t的代数式分别表示AC、CD的长度，推导验证两者的2倍关系即可。(2)t=2时先算出CP、DB的长度，由于C、D的相对位置存在两种可能，需分类讨论：点D在C右侧、点D在C左侧，分别结合线段和差关系计算AP的长度即可。
【解析】
(1) ① 由运动的速度和时间可得：
$CP=2×1=2(\mathrm{cm}),BD=3×1=3(\mathrm{cm})$
已知$AP=8\ \mathrm{cm},AB=12\ \mathrm{cm}$，因此$PB=AB-AP=12-8=4\ \mathrm{cm}$
根据线段的和差关系：$CD=CP+PB-BD=2+4-3=3(\mathrm{cm})$
② 运动时间为$t\ \mathrm{s}$时，$CP=2t\ \mathrm{cm},BD=3t\ \mathrm{cm}$
由$AP=8\ \mathrm{cm},AB=12\ \mathrm{cm}$，得$BP=AB-AP=4\ \mathrm{cm}$，$AC=AP-CP=(8-2t)\mathrm{cm}$
点D在线段PB上，因此$DP=BP-BD=(4-3t)\mathrm{cm}$
则$CD=CP+DP=2t+(4-3t)=(4-t)\mathrm{cm}$
可得$2CD=2×(4-t)=8-2t$，因此$AC=2CD$，等式成立。
(2) 当$t=2$时，$CP=2×2=4(\mathrm{cm}),DB=3×2=6(\mathrm{cm})$，分两种情况讨论：
① 当点D在点C的右边时，如图①：
$\because CD=1\ \mathrm{cm}$，$\therefore CB=CD+DB=1+6=7\ \mathrm{cm}$
$\therefore AC=AB-CB=12-7=5\ \mathrm{cm}$，$\therefore AP=AC+CP=5+4=9\ \mathrm{cm}$
② 当点D在点C的左边时，如图②：
可得$AD=AB-DB=12-6=6\ \mathrm{cm}$，$\therefore AP=AD+CD+CP=6+1+4=11\ \mathrm{cm}$
综上所述，AP的长为9 cm或11 cm。
【答案】
(1) ① $\boxed{3\ \mathrm{cm}}$；② $AC=2CD$，证明见解析；
(2) $\boxed{AP=9\ \mathrm{cm}}$或$\boxed{AP=11\ \mathrm{cm}}$

【知识点】
线段和差计算，动点问题，分类讨论
【点评】
本题是线段动态计算的典型习题，既考查了线段和差的基础运算能力，也要求学生结合动点运动特征分析多种位置情况，能够有效锻炼逻辑思维的严谨性和分类讨论的意识。
【难度系数】
0.6