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10 甲、乙两店分别购进一批无线耳机，甲店每副耳机的进价比乙店便宜10%，乙店的标价比甲店的标价高5.4元，这样甲、乙两店的利润率分别为20%和17%，乙店每副耳机的进价为
60
元。答案
10. 60
解析
【分析】
这是一道销售利润类的一元一次方程应用题，解题时可先设所求的乙店耳机进价为未知数，再根据题干给出的进价关系表示出甲店的进价；结合“售价=进价×(1+利润率)”的公式分别表示出甲、乙两店的标价；最后根据“乙店标价比甲店高5.4元”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
设乙店每副耳机的进价为$ x $元。
由题意得，甲店每副耳机的进价为$ (1-10\%)x = 0.9x $元。
根据利润率公式：标价（售价）=进价×(1+利润率)，可得：
甲店的标价为：$ 0.9x × (1+20\%) = 1.08x $元
乙店的标价为：$ x × (1+17\%) = 1.17x $元
根据乙店标价比甲店高5.4元，列方程：
$ 1.17x - 1.08x = 5.4 $
合并同类项得：$ 0.09x = 5.4 $
系数化为1得：$ x = 5.4 ÷ 0.09 = 60 $
【答案】
60
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 利润率计算
3. 百分数实际应用
【点评】
本题是销售类问题的常考题型，核心是明确进价、利润率、售价三者的数量关系，解题关键是找准题干给出的等量关系列方程，计算量较小，掌握基础公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是一道销售利润类的一元一次方程应用题，解题时可先设所求的乙店耳机进价为未知数，再根据题干给出的进价关系表示出甲店的进价；结合“售价=进价×(1+利润率)”的公式分别表示出甲、乙两店的标价；最后根据“乙店标价比甲店高5.4元”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
设乙店每副耳机的进价为$ x $元。
由题意得，甲店每副耳机的进价为$ (1-10\%)x = 0.9x $元。
根据利润率公式：标价（售价）=进价×(1+利润率)，可得：
甲店的标价为：$ 0.9x × (1+20\%) = 1.08x $元
乙店的标价为：$ x × (1+17\%) = 1.17x $元
根据乙店标价比甲店高5.4元，列方程：
$ 1.17x - 1.08x = 5.4 $
合并同类项得：$ 0.09x = 5.4 $
系数化为1得：$ x = 5.4 ÷ 0.09 = 60 $
【答案】
60
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 利润率计算
3. 百分数实际应用
【点评】
本题是销售类问题的常考题型，核心是明确进价、利润率、售价三者的数量关系，解题关键是找准题干给出的等量关系列方程，计算量较小，掌握基础公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
11 定义:若一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍,则称这个方程为“妙解方程”.如:方程$3x+9=0$中,$3-9=-6$,方程的解为$x=-3,-6=2×(-3)$,则方程$3x+9=0$为“妙解方程”.请根据上述定义解答:若关于$x$的一元一次方程$3(x-a)-2(1+x)=0$是“妙解方程”,则$a$的值为
$-\dfrac{1}{3}$
.答案
11. $-\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
首先我们需要先将给定的一元一次方程化简为标准形式$ax+b=0$，求出方程的解的表达式；再根据“妙解方程”的定义，即一次项系数与常数项的差等于方程解的2倍，列出关于$a$的方程，最后求解即可得到$a$的值。解题时要先正确化简原方程，准确对应一次项系数、常数项、方程的解和新定义的关系。
【解析】
1. 化简原方程并求方程的解
对$3(x-a)-2(1+x)=0$去括号，得：
$3x-3a-2-2x=0$
合并同类项，得：
$x-3a-2=0$
解得方程的解为$x=3a+2$。
2. 确定方程的一次项系数和常数项
整理后的标准一元一次方程为$x+(-3a-2)=0$，因此一次项系数为$1$，常数项为$-3a-2$。
3. 根据“妙解方程”的定义列方程并求解
根据定义可列等式：
$1-(-3a-2)=2×(3a+2)$
化简左边得：$1+3a+2=3a+3$
展开右边得：$6a+4$
移项计算：
$3a+3=6a+4$
$-3a=1$
$a=-\dfrac{1}{3}$
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
一元一次方程求解；新定义应用
【点评】
本题是新定义类题型，解题关键是把新定义的规则转化为常规的等量关系，运算过程中要注意去括号、移项的符号规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
首先我们需要先将给定的一元一次方程化简为标准形式$ax+b=0$，求出方程的解的表达式；再根据“妙解方程”的定义，即一次项系数与常数项的差等于方程解的2倍，列出关于$a$的方程，最后求解即可得到$a$的值。解题时要先正确化简原方程，准确对应一次项系数、常数项、方程的解和新定义的关系。
【解析】
1. 化简原方程并求方程的解
对$3(x-a)-2(1+x)=0$去括号，得：
$3x-3a-2-2x=0$
合并同类项，得：
$x-3a-2=0$
解得方程的解为$x=3a+2$。
2. 确定方程的一次项系数和常数项
整理后的标准一元一次方程为$x+(-3a-2)=0$，因此一次项系数为$1$，常数项为$-3a-2$。
3. 根据“妙解方程”的定义列方程并求解
根据定义可列等式：
$1-(-3a-2)=2×(3a+2)$
化简左边得：$1+3a+2=3a+3$
展开右边得：$6a+4$
移项计算：
$3a+3=6a+4$
$-3a=1$
$a=-\dfrac{1}{3}$
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
一元一次方程求解；新定义应用
【点评】
本题是新定义类题型，解题关键是把新定义的规则转化为常规的等量关系，运算过程中要注意去括号、移项的符号规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
12 解下列方程：
(1) $y-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}y-2$；
(2) $10-4(x+3)=2(x-1)$；
(3) $\frac{2x-1}{3}-1=\frac{x+1}{4}$；
(4) $\frac{1.5x-1}{3}$
$\frac{x}{0.5}=0.5$。
(1) $y-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}y-2$；
(2) $10-4(x+3)=2(x-1)$；
(3) $\frac{2x-1}{3}-1=\frac{x+1}{4}$；
(4) $\frac{1.5x-1}{3}$
$\frac{x}{0.5}=0.5$。答案
12. (1) $y=-3$ (2) $x=0$ (3) $x=\dfrac{19}{5}$ (4) $x=-\dfrac{5}{9}$
解析
【分析】
解一元一次方程遵循通用步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。若遇到分母为小数的情况，先利用分数的基本性质将分母化为整数再计算，每一步要注意符号变化，去分母时不要漏乘不含分母的项，避免计算错误。
【解析】
(1) $y-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}y-2$
移项，得：$y-\frac{1}{2}y=-2+\frac{1}{2}$
合并同类项，得：$\frac{1}{2}y=-\frac{3}{2}$
系数化为1，得：$y=-3$
(2) $10-4(x+3)=2(x-1)$
去括号，得：$10-4x-12=2x-2$
移项，得：$-4x-2x=-2-10+12$
合并同类项，得：$-6x=0$
系数化为1，得：$x=0$
(3) $\frac{2x-1}{3}-1=\frac{x+1}{4}$
两边同乘12去分母，得：$4(2x-1)-12=3(x+1)$
去括号，得：$8x-4-12=3x+3$
移项，得：$8x-3x=3+4+12$
合并同类项，得：$5x=19$
系数化为1，得：$x=\frac{19}{5}$
(4) $\frac{1.5x-1}{3}-\frac{x}{0.5}=0.5$
先利用分数性质化去小数分母：$\frac{x}{0.5}=2x$，原方程变形为$\frac{1.5x-1}{3}-2x=0.5$
两边同乘3去分母，得：$1.5x-1-6x=1.5$
移项，得：$1.5x-6x=1.5+1$
合并同类项，得：$-4.5x=2.5$，即$-\frac{9}{2}x=\frac{5}{2}$
系数化为1，得：$x=-\frac{5}{9}$
【答案】
(1) $y=-3$ (2) $x=0$ (3) $x=\dfrac{19}{5}$ (4) $x=-\dfrac{5}{9}$
【知识点】
一元一次方程解法，去括号法则，分数基本性质
【点评】
本题属于一元一次方程的基础计算题型，覆盖了一元一次方程的常见考查形式，解题时注意规避漏乘常数项、符号出错等常见失误，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解一元一次方程遵循通用步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。若遇到分母为小数的情况，先利用分数的基本性质将分母化为整数再计算，每一步要注意符号变化，去分母时不要漏乘不含分母的项，避免计算错误。
【解析】
(1) $y-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}y-2$
移项，得：$y-\frac{1}{2}y=-2+\frac{1}{2}$
合并同类项，得：$\frac{1}{2}y=-\frac{3}{2}$
系数化为1，得：$y=-3$
(2) $10-4(x+3)=2(x-1)$
去括号，得：$10-4x-12=2x-2$
移项，得：$-4x-2x=-2-10+12$
合并同类项，得：$-6x=0$
系数化为1，得：$x=0$
(3) $\frac{2x-1}{3}-1=\frac{x+1}{4}$
两边同乘12去分母，得：$4(2x-1)-12=3(x+1)$
去括号，得：$8x-4-12=3x+3$
移项，得：$8x-3x=3+4+12$
合并同类项，得：$5x=19$
系数化为1，得：$x=\frac{19}{5}$
(4) $\frac{1.5x-1}{3}-\frac{x}{0.5}=0.5$
先利用分数性质化去小数分母：$\frac{x}{0.5}=2x$，原方程变形为$\frac{1.5x-1}{3}-2x=0.5$
两边同乘3去分母，得：$1.5x-1-6x=1.5$
移项，得：$1.5x-6x=1.5+1$
合并同类项，得：$-4.5x=2.5$，即$-\frac{9}{2}x=\frac{5}{2}$
系数化为1，得：$x=-\frac{5}{9}$
【答案】
(1) $y=-3$ (2) $x=0$ (3) $x=\dfrac{19}{5}$ (4) $x=-\dfrac{5}{9}$
【知识点】
一元一次方程解法，去括号法则，分数基本性质
【点评】
本题属于一元一次方程的基础计算题型，覆盖了一元一次方程的常见考查形式，解题时注意规避漏乘常数项、符号出错等常见失误，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
13[2025崇川期末]规定：$m\Delta n=3m-2n$，等号右边是常规的四则运算.例如，$-2\Delta7=3×(-2)-2×7=-20$.
（1）化简：$(2a-5)\Delta(b+6)$；
（2）已知$x\Delta(8\Delta4)=40$，求$x$的值.
（1）化简：$(2a-5)\Delta(b+6)$；
（2）已知$x\Delta(8\Delta4)=40$，求$x$的值.
答案
13. (1) $(2a-5)\Delta(b+6)=3(2a-5)-2(b+6)=6a-15-2b-12=6a-2b-27$
(2) 因为 $8\Delta4=3×8-2×4=24-8=16$,所以 $x\Delta(8\Delta4)=x\Delta16=3x-2×16=40$,解得 $x=24$
(2) 因为 $8\Delta4=3×8-2×4=24-8=16$,所以 $x\Delta(8\Delta4)=x\Delta16=3x-2×16=40$,解得 $x=24$
解析
【分析】
本题是新定义运算题型，解题核心是先明确运算规则$m\Delta n=3m-2n$，即运算结果等于Δ前面的数乘3减去Δ后面的数乘2。（1）问只需将$m=2a-5$、$n=b+6$代入运算规则，再按整式去括号、合并同类项的法则化简即可；（2）问含有嵌套的新运算，需遵循“有括号先算括号内”的顺序，先算出$8\Delta4$的结果，再将结果代入$x\Delta(\mathrm{结果})$，得到关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
（1）根据新定义运算规则可得：
$(2a-5)\Delta(b+6)=3(2a-5)-2(b+6)$
去括号得：$=6a-15-2b-12$
合并同类项得：$=6a-2b-27$
（2）先计算括号内的$8\Delta4$：
$8\Delta4=3×8 - 2×4=24-8=16$
则$x\Delta(8\Delta4)=x\Delta16=40$，代入新运算规则得：
$3x - 2×16=40$
即$3x-32=40$
移项得$3x=40+32=72$
系数化为1得$x=24$
【答案】
（1）$6a-2b-27$；（2）$x=24$
【知识点】
新定义运算，整式化简，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查对新定义运算规则的理解与应用，解题的关键是严格按照给定的运算规则、遵循运算顺序计算，嵌套运算注意先算括号内的部分，属于常规基础题型，需要熟练掌握整式运算、一元一次方程解法相关知识。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算题型，解题核心是先明确运算规则$m\Delta n=3m-2n$，即运算结果等于Δ前面的数乘3减去Δ后面的数乘2。（1）问只需将$m=2a-5$、$n=b+6$代入运算规则，再按整式去括号、合并同类项的法则化简即可；（2）问含有嵌套的新运算，需遵循“有括号先算括号内”的顺序，先算出$8\Delta4$的结果，再将结果代入$x\Delta(\mathrm{结果})$，得到关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
（1）根据新定义运算规则可得：
$(2a-5)\Delta(b+6)=3(2a-5)-2(b+6)$
去括号得：$=6a-15-2b-12$
合并同类项得：$=6a-2b-27$
（2）先计算括号内的$8\Delta4$：
$8\Delta4=3×8 - 2×4=24-8=16$
则$x\Delta(8\Delta4)=x\Delta16=40$，代入新运算规则得：
$3x - 2×16=40$
即$3x-32=40$
移项得$3x=40+32=72$
系数化为1得$x=24$
【答案】
（1）$6a-2b-27$；（2）$x=24$
【知识点】
新定义运算，整式化简，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查对新定义运算规则的理解与应用，解题的关键是严格按照给定的运算规则、遵循运算顺序计算，嵌套运算注意先算括号内的部分，属于常规基础题型，需要熟练掌握整式运算、一元一次方程解法相关知识。
【难度系数】
0.8
14 [2025海门期末]如图，甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向峰顶进发，甲队从距大本营1 km的一号营地出发，每小时行进1.2 km；乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km。多长时间后，甲队在途中追上乙队？
答案
14. 设 $x$ h后，甲队在途中追上乙队. 根据题意,得 $1.2x-0.8x=3-1$,解得 $x=5$. 所以5 h后,甲队在途中追上乙队
解析
【分析】
这是一道行程类追及问题，解题思路如下：首先明确两队的初始距离：乙队初始位置比甲队距离大本营远$3-1=2\mathrm{km}$，即追及开始时乙在甲前方2km处；追及问题的核心等量关系为：追上时，速度快的队伍比速度慢的队伍多走的路程=初始的距离差。我们设追及时间为x小时，分别表示出x小时甲、乙两队走的路程，根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设$x$ h后，甲队在途中追上乙队。
x小时内甲队行进的路程为$1.2x$ km，乙队行进的路程为$0.8x$ km。
追上时甲队比乙队多走的路程等于两队初始的距离差，据此列方程：
$1.2x - 0.8x = 3 - 1$
合并同类项，得：$0.4x = 2$
系数化为1，得：$x = 5$
经检验，$x=5$符合实际题意。
【答案】
5 h后，甲队在途中追上乙队
【知识点】
一元一次方程的应用；追及问题
【点评】
本题是典型的行程追及应用题，解题的关键是准确找到追及过程中的路程差等量关系，结合速度、时间、路程的基本关系列方程求解即可，属于基础类应用题，掌握追及问题的核心规律即可快速作答。
【难度系数】
0.8
这是一道行程类追及问题，解题思路如下：首先明确两队的初始距离：乙队初始位置比甲队距离大本营远$3-1=2\mathrm{km}$，即追及开始时乙在甲前方2km处；追及问题的核心等量关系为：追上时，速度快的队伍比速度慢的队伍多走的路程=初始的距离差。我们设追及时间为x小时，分别表示出x小时甲、乙两队走的路程，根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设$x$ h后，甲队在途中追上乙队。
x小时内甲队行进的路程为$1.2x$ km，乙队行进的路程为$0.8x$ km。
追上时甲队比乙队多走的路程等于两队初始的距离差，据此列方程：
$1.2x - 0.8x = 3 - 1$
合并同类项，得：$0.4x = 2$
系数化为1，得：$x = 5$
经检验，$x=5$符合实际题意。
【答案】
5 h后，甲队在途中追上乙队
【知识点】
一元一次方程的应用；追及问题
【点评】
本题是典型的行程追及应用题，解题的关键是准确找到追及过程中的路程差等量关系，结合速度、时间、路程的基本关系列方程求解即可，属于基础类应用题，掌握追及问题的核心规律即可快速作答。
【难度系数】
0.8
