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15 某工厂有28名工人生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件18个或B零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套。工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元。
（1）该工厂分别有多少名工人生产A零件和B零件？
（2）因市场需求，该工厂每天要多生产一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元？
（1）该工厂分别有多少名工人生产A零件和B零件？
（2）因市场需求，该工厂每天要多生产一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元？
答案
15. (1) 设该工厂有 $x$ 名工人生产 A 零件,则有$(28-x)$名工人生产 B 零件. 根据题意,得 $2×18x=12(28-x)$,解得 $x=7$,则$28-x=21$. 所以该工厂有7名工人生产A零件,21名工人生产B零件
(2) 设从生产B零件的工人中调出 $y$ 名工人生产 A 零件. 根据题意,得 $10×18(7+y)+5×12(21-y)-(7×10×18+21×5×12)=600$,解得 $y=5$. 所以从生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件
(2) 设从生产B零件的工人中调出 $y$ 名工人生产 A 零件. 根据题意,得 $10×18(7+y)+5×12(21-y)-(7×10×18+21×5×12)=600$,解得 $y=5$. 所以从生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件
解析
【分析】
（1）本题属于配套类一元一次方程应用题，解题核心是找准配套的数量关系：1个A零件配2个B零件，即B零件总数量=2×A零件总数量。我们可以设生产A零件的工人数为x，那么生产B零件的工人数就是总人数减去x，再分别表示出A、B零件的总数量，根据配套等量关系列方程求解即可。
（2）本题属于利润类一元一次方程应用题，解题核心是找准利润的等量关系：调动后总利润 - 调动前总利润 = 600元。设调出y名工人去生产A零件，分别表示出调动后A、B零件的总数量，结合单个零件的利润算出调动后总利润，再减去调动前的总利润，列方程求解即可。
【解析】
（1）解：设该工厂有$x$名工人生产A零件，则有$(28-x)$名工人生产B零件。
根据配套关系可列方程：
$2×18x=12(28-x)$
展开得：$36x=336-12x$
移项合并同类项得：$48x=336$
解得：$x=7$
则生产B零件的工人数为$28-7=21$（名）
（2）解：设从生产B零件的工人中调出$y$名工人生产A零件。
调动前总利润为：$7×18×10+21×12×5=2520$（元）
调动后生产A零件的工人数为$(7+y)$名，生产B零件的工人数为$(21-y)$名，根据利润差值可列方程：
$10×18(7+y)+5×12(21-y)-2520=600$
化简得：$180(7+y)+60(21-y)=3120$
展开得：$1260+180y+1260-60y=3120$
合并同类项得：$2520+120y=3120$
移项得：$120y=600$
解得：$y=5$
【答案】
（1）该工厂有7名工人生产A零件，21名工人生产B零件；
（2）从生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件。
【知识点】
一元一次方程的应用；配套问题；利润问题
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的常规题型，第一问要注意不要把A、B零件的数量倍数关系写反，第二问要明确调动前后的工人数量变化，准确计算总利润差值，整体侧重考查对实际问题中等量关系的梳理能力，掌握基础等量关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
（1）本题属于配套类一元一次方程应用题，解题核心是找准配套的数量关系：1个A零件配2个B零件，即B零件总数量=2×A零件总数量。我们可以设生产A零件的工人数为x，那么生产B零件的工人数就是总人数减去x，再分别表示出A、B零件的总数量，根据配套等量关系列方程求解即可。
（2）本题属于利润类一元一次方程应用题，解题核心是找准利润的等量关系：调动后总利润 - 调动前总利润 = 600元。设调出y名工人去生产A零件，分别表示出调动后A、B零件的总数量，结合单个零件的利润算出调动后总利润，再减去调动前的总利润，列方程求解即可。
【解析】
（1）解：设该工厂有$x$名工人生产A零件，则有$(28-x)$名工人生产B零件。
根据配套关系可列方程：
$2×18x=12(28-x)$
展开得：$36x=336-12x$
移项合并同类项得：$48x=336$
解得：$x=7$
则生产B零件的工人数为$28-7=21$（名）
（2）解：设从生产B零件的工人中调出$y$名工人生产A零件。
调动前总利润为：$7×18×10+21×12×5=2520$（元）
调动后生产A零件的工人数为$(7+y)$名，生产B零件的工人数为$(21-y)$名，根据利润差值可列方程：
$10×18(7+y)+5×12(21-y)-2520=600$
化简得：$180(7+y)+60(21-y)=3120$
展开得：$1260+180y+1260-60y=3120$
合并同类项得：$2520+120y=3120$
移项得：$120y=600$
解得：$y=5$
【答案】
（1）该工厂有7名工人生产A零件，21名工人生产B零件；
（2）从生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件。
【知识点】
一元一次方程的应用；配套问题；利润问题
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的常规题型，第一问要注意不要把A、B零件的数量倍数关系写反，第二问要明确调动前后的工人数量变化，准确计算总利润差值，整体侧重考查对实际问题中等量关系的梳理能力，掌握基础等量关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
16 [2026崇川段测]为鼓励节约能源，某电力公司特别出台的新用电收费标准如下表：
(1) 小林家4月用电160 kW·h，则小林家4月应付的电费为多少元？
(2) 小林家6月用电$x(x＞200)$kW·h，请你用含$x$的代数式表示小林家6月应付的电费。
(3) 小林家11月交付电费156元，请利用方程的知识，求出小林家11月的用电量。
(1) 小林家4月用电160 kW·h，则小林家4月应付的电费为多少元？
(2) 小林家6月用电$x(x＞200)$kW·h，请你用含$x$的代数式表示小林家6月应付的电费。
(3) 小林家11月交付电费156元，请利用方程的知识，求出小林家11月的用电量。
答案
16. (1) $160×0.5=80$(元),所以小林家4月应付的电费为80元
(2) 当$x＞200$时,小林家6月应付的电费为$200×0.5+0.8(x-200)=(0.8x-60)$元
(3) 因为$200×0.5=100$(元),$100＜156$,所以小林家11月的用电量超过200 kW·h. 设11月的用电量为$a$ kW·h$(a＞200)$. 根据题意,得 $0.8a-60=156$,解得 $a=270$. 所以小林家11月的用电量为270 kW·h
(2) 当$x＞200$时,小林家6月应付的电费为$200×0.5+0.8(x-200)=(0.8x-60)$元
(3) 因为$200×0.5=100$(元),$100＜156$,所以小林家11月的用电量超过200 kW·h. 设11月的用电量为$a$ kW·h$(a＞200)$. 根据题意,得 $0.8a-60=156$,解得 $a=270$. 所以小林家11月的用电量为270 kW·h
解析
【分析】
(1) 首先判断小林家4月用电量160kW·h小于200kW·h，属于不超过200kW·h的收费区间，直接用用电量乘以对应单价即可计算电费。
(2) 当用电量x＞200时，电费需分两部分计算：200kW·h以内的部分按0.5元/(kW·h)收费，超出200kW·h的部分按0.8元/(kW·h)收费，两部分费用相加后化简代数式即可。
(3) 先计算用电量刚好200kW·h时的电费为100元，对比实际交付电费156元，可知11月用电量超过200kW·h，代入第二问得到的电费表达式列一元一次方程，求解即可得到用电量。
【解析】
(1) 因160kW·h ＜ 200kW·h，按0.5元/(kW·h)计费：
$160×0.5=80$（元）
(2) 当$x＞200$时，总电费为两部分之和：
$200×0.5 + 0.8(x-200) = 100 + 0.8x - 160 = (0.8x-60)$元
(3) 首先计算200kW·h的电费：$200×0.5=100$（元）
因$100＜156$，说明11月用电量超过200kW·h。设11月用电量为$a$kW·h$(a＞200)$，列方程得：
$0.8a - 60 = 156$
解得$0.8a=216$，$a=270$
【答案】
(1) 小林家4月应付电费80元
(2) 小林家6月应付电费为$(0.8x-60)$元
(3) 小林家11月的用电量为270kW·h
【知识点】
分段计费问题，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的电费收费场景，考查分段计费的计算逻辑，需先判断用量所属收费区间再计算，第三问需先判定区间再列方程求解，是贴近生活的实际应用题型，侧重分类讨论思想和方程应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 首先判断小林家4月用电量160kW·h小于200kW·h，属于不超过200kW·h的收费区间，直接用用电量乘以对应单价即可计算电费。
(2) 当用电量x＞200时，电费需分两部分计算：200kW·h以内的部分按0.5元/(kW·h)收费，超出200kW·h的部分按0.8元/(kW·h)收费，两部分费用相加后化简代数式即可。
(3) 先计算用电量刚好200kW·h时的电费为100元，对比实际交付电费156元，可知11月用电量超过200kW·h，代入第二问得到的电费表达式列一元一次方程，求解即可得到用电量。
【解析】
(1) 因160kW·h ＜ 200kW·h，按0.5元/(kW·h)计费：
$160×0.5=80$（元）
(2) 当$x＞200$时，总电费为两部分之和：
$200×0.5 + 0.8(x-200) = 100 + 0.8x - 160 = (0.8x-60)$元
(3) 首先计算200kW·h的电费：$200×0.5=100$（元）
因$100＜156$，说明11月用电量超过200kW·h。设11月用电量为$a$kW·h$(a＞200)$，列方程得：
$0.8a - 60 = 156$
解得$0.8a=216$，$a=270$
【答案】
(1) 小林家4月应付电费80元
(2) 小林家6月应付电费为$(0.8x-60)$元
(3) 小林家11月的用电量为270kW·h
【知识点】
分段计费问题，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的电费收费场景，考查分段计费的计算逻辑，需先判断用量所属收费区间再计算，第三问需先判定区间再列方程求解，是贴近生活的实际应用题型，侧重分类讨论思想和方程应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
17 如图,在数轴上,点A表示的数是a,点B表示的数是b,且$|a+8|+(b-2)^2=0$.点P从点A出发以3个单位长度/s的速度向右匀速运动,同时,点Q从点B出发、点R从原点O出发分别以1个单位长度/s、2个单位长度/s的速度向左匀速运动,M为PQ的中点,设点P运动的时间为t s.
(1) 根据题意,可得$a=$
(2) 若$OM=1$,求$t$的值;
(3) 求$OM+\frac{1}{2}AR$的最小值.
(1) 根据题意,可得$a=$
-8
,$b=$2
;(2) 若$OM=1$,求$t$的值;
(3) 求$OM+\frac{1}{2}AR$的最小值.
答案
17. (1) $-8$ $2$
(2) 由题意,得点 P 表示的数为$-8+3t$,点 Q 表示的数为$2-t$. 因为 M 为 PQ 的中点,所以易得当点 M 表示的数为$t-3$. 因为$OM=1$,所以$|t-3|=1$,即$t-3=1$或$t-3=-1$,解得$t=4$或$t=2$
(3) 由题意,得点 R 表示的数为$-2t$,所以$OM+\frac{1}{2}AR=|t-3|+\frac{1}{2}|-8-(-2t)|=|t-3|+|t-4|$. 因为$|t-3|+|t-4|$表示$t$对应的点到3对应的点和4对应的点的距离之和,所以易得当$t$大于或等于3且小于或等于4时,$|t-3|+|t-4|$取最小值,为$4-3=1$. 所以当$t$大于或等于3且小于或等于4时,$OM+\frac{1}{2}AR$的值最小,为1
(2) 由题意,得点 P 表示的数为$-8+3t$,点 Q 表示的数为$2-t$. 因为 M 为 PQ 的中点,所以易得当点 M 表示的数为$t-3$. 因为$OM=1$,所以$|t-3|=1$,即$t-3=1$或$t-3=-1$,解得$t=4$或$t=2$
(3) 由题意,得点 R 表示的数为$-2t$,所以$OM+\frac{1}{2}AR=|t-3|+\frac{1}{2}|-8-(-2t)|=|t-3|+|t-4|$. 因为$|t-3|+|t-4|$表示$t$对应的点到3对应的点和4对应的点的距离之和,所以易得当$t$大于或等于3且小于或等于4时,$|t-3|+|t-4|$取最小值,为$4-3=1$. 所以当$t$大于或等于3且小于或等于4时,$OM+\frac{1}{2}AR$的值最小,为1
解析
【分析】
(1) 绝对值和平方数都具有非负性，两个非负数的和为0，说明每个非负数都等于0，据此列等式即可求出a、b的值；
(2) 处理数轴动点问题，首先根据运动方向和速度，用含t的代数式分别表示出t秒后点P、点Q对应的数，再根据中点坐标公式（两点对应数的平均数为中点对应数）求出点M对应的数，OM的长度是点M对应数的绝对值，令其等于1，解绝对值方程即可得到t的值；
(3) 先表示出t秒后点R对应的数，再根据数轴上两点距离等于两数差的绝对值求出AR的长度，代入式子化简后得到两个绝对值相加的形式，结合绝对值的几何意义（|x-m|表示数轴上x对应的点到m对应点的距离），即可求出最小值。
【解析】
(1) 因为$|a+8|≥0$，$(b-2)^2≥0$，且$|a+8|+(b-2)^2=0$，所以$a+8=0$，$b-2=0$，解得$a=-8$，$b=2$。
(2) 由题意得，t秒后，点P表示的数为$-8+3t$，点Q表示的数为$2-t$。
因为M是PQ的中点，所以点M表示的数为$\frac{(-8+3t)+(2-t)}{2}=t-3$。
因为$OM=1$，即点M到原点的距离为1，所以$|t-3|=1$。
分两种情况：①$t-3=1$，解得$t=4$；②$t-3=-1$，解得$t=2$。
综上，$t$的值为2或4。
(3) 由题意得，t秒后点R表示的数为$-2t$。
则$AR=|-8-(-2t)|=|2t-8|$，所以$\frac{1}{2}AR=\frac{1}{2}|2t-8|=|t-4|$。
结合(2)中$OM=|t-3|$，可得$OM+\frac{1}{2}AR=|t-3|+|t-4|$。
$|t-3|+|t-4|$的几何意义是数轴上t对应的点到3对应点和4对应点的距离之和，当t在3和4之间（含3和4）时，距离之和最小，最小值为$4-3=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-8}$，$\boldsymbol{2}$
(2) $\boldsymbol{t=2}$或$\boldsymbol{t=4}$
(3) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
非负数的性质；数轴动点问题；绝对值的意义
【点评】
本题综合了非负数性质、数轴动点、绝对值化简等知识，解题核心是用含t的代数式准确表示动点对应的数，将线段长度问题转化为绝对值问题，既考查了代数运算能力，也体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
(1) 绝对值和平方数都具有非负性，两个非负数的和为0，说明每个非负数都等于0，据此列等式即可求出a、b的值；
(2) 处理数轴动点问题，首先根据运动方向和速度，用含t的代数式分别表示出t秒后点P、点Q对应的数，再根据中点坐标公式（两点对应数的平均数为中点对应数）求出点M对应的数，OM的长度是点M对应数的绝对值，令其等于1，解绝对值方程即可得到t的值；
(3) 先表示出t秒后点R对应的数，再根据数轴上两点距离等于两数差的绝对值求出AR的长度，代入式子化简后得到两个绝对值相加的形式，结合绝对值的几何意义（|x-m|表示数轴上x对应的点到m对应点的距离），即可求出最小值。
【解析】
(1) 因为$|a+8|≥0$，$(b-2)^2≥0$，且$|a+8|+(b-2)^2=0$，所以$a+8=0$，$b-2=0$，解得$a=-8$，$b=2$。
(2) 由题意得，t秒后，点P表示的数为$-8+3t$，点Q表示的数为$2-t$。
因为M是PQ的中点，所以点M表示的数为$\frac{(-8+3t)+(2-t)}{2}=t-3$。
因为$OM=1$，即点M到原点的距离为1，所以$|t-3|=1$。
分两种情况：①$t-3=1$，解得$t=4$；②$t-3=-1$，解得$t=2$。
综上，$t$的值为2或4。
(3) 由题意得，t秒后点R表示的数为$-2t$。
则$AR=|-8-(-2t)|=|2t-8|$，所以$\frac{1}{2}AR=\frac{1}{2}|2t-8|=|t-4|$。
结合(2)中$OM=|t-3|$，可得$OM+\frac{1}{2}AR=|t-3|+|t-4|$。
$|t-3|+|t-4|$的几何意义是数轴上t对应的点到3对应点和4对应点的距离之和，当t在3和4之间（含3和4）时，距离之和最小，最小值为$4-3=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-8}$，$\boldsymbol{2}$
(2) $\boldsymbol{t=2}$或$\boldsymbol{t=4}$
(3) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
非负数的性质；数轴动点问题；绝对值的意义
【点评】
本题综合了非负数性质、数轴动点、绝对值化简等知识，解题核心是用含t的代数式准确表示动点对应的数，将线段长度问题转化为绝对值问题，既考查了代数运算能力，也体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
