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11 [2026启东期中]如果整式A与整式B的和为一个常数a，那么我们称A，B为常数a的“和谐整式”.例如，$x-6$与$-x+7$为数1的“和谐整式”.若关于$x$的整式$9x^2 - mx +6$与$-3(3x^2 -x +m)$为常数$k$的“和谐整式”(其中$m$为常数)，则$k$的值为 (
A.3
B.$-3$
C.5
D.15
B
)A.3
B.$-3$
C.5
D.15
答案
11.B
解析
【分析】
首先要理解“和谐整式”的定义：两个整式的和为常数，说明相加后所有含x的项的系数都为0。解题时先将两个整式相加，通过去括号、合并同类项化简和的表达式，再令x的一次项系数为0求出m的值，最后代入常数项即可算出k的值。
【解析】
根据“和谐整式”的定义，两个整式的和为常数k，列式计算如下：
$\begin{aligned}&(9x^2 - mx + 6) + [-3(3x^2 - x + m)]\\=&9x^2 - mx + 6 -9x^2 + 3x - 3m\\=&(9x^2-9x^2)+(-mx+3x)+(6-3m)\\=&(3-m)x + (6-3m)\end{aligned}$
因为和为常数k，所以含x的一次项系数必须为0，即：
$3-m=0$，解得$m=3$
将$m=3$代入常数项$6-3m$得：
$k=6-3×3=6-9=-3$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
整式的加减、合并同类项、新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查整式的加减运算，解题核心是准确理解新定义的要求，明确整式相加后含未知数的项系数需为0，重点考查学生的阅读理解能力和整式运算的基础能力。
【难度系数】
0.7
首先要理解“和谐整式”的定义：两个整式的和为常数，说明相加后所有含x的项的系数都为0。解题时先将两个整式相加，通过去括号、合并同类项化简和的表达式，再令x的一次项系数为0求出m的值，最后代入常数项即可算出k的值。
【解析】
根据“和谐整式”的定义，两个整式的和为常数k，列式计算如下：
$\begin{aligned}&(9x^2 - mx + 6) + [-3(3x^2 - x + m)]\\=&9x^2 - mx + 6 -9x^2 + 3x - 3m\\=&(9x^2-9x^2)+(-mx+3x)+(6-3m)\\=&(3-m)x + (6-3m)\end{aligned}$
因为和为常数k，所以含x的一次项系数必须为0，即：
$3-m=0$，解得$m=3$
将$m=3$代入常数项$6-3m$得：
$k=6-3×3=6-9=-3$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
整式的加减、合并同类项、新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查整式的加减运算，解题核心是准确理解新定义的要求，明确整式相加后含未知数的项系数需为0，重点考查学生的阅读理解能力和整式运算的基础能力。
【难度系数】
0.7
12 [2026 海安期中]已知 $ m - n = 100 $，$ x + y = -1 $，则代数式 $ (n + x) - (m - y) $ 的值是
-101
。答案
12.$-101$
解析
【分析】
本题要求代数式的值，观察已知条件给出的是$m-n$和$x+y$的整体值，不需要单独求出$m、n、x、y$的具体数值，解题思路如下：第一步先根据去括号法则去掉所求代数式的括号，第二步调整代数式中各项的位置，将含$m、n$的项和含$x、y$的项分别分组，第三步将分组后的式子转化为含$m-n$和$x+y$的形式，最后整体代入已知数值计算即可。
【解析】
首先化简代数式$(n + x) - (m - y)$：
1. 去括号：根据去括号法则，括号前是负号，去括号后括号内各项要变号，可得：
$\begin{aligned}(n + x) - (m - y) &= n + x - m + y\end{aligned}$
2. 重新分组整理：将同类特征的项合并，可得：
$\begin{aligned}n + x - m + y &= (n - m) + (x + y)\end{aligned}$
3. 变形为已知的整体形式：因为$n - m = -(m - n)$，代入已知$m - n = 100$，$x + y = -1$，得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= -(m - n) + (x + y)\\&= -100 + (-1)\\&= -101\end{aligned}$
【答案】
$-101$
【知识点】
去括号法则、整式加减运算、整体代入求值
【点评】
本题属于整式化简求值的基础题，解题核心是通过去括号、整理将所求代数式转化为与已知条件相关的形式，利用整体代入的方法简化计算，避免了单独求解未知数的繁琐。
【难度系数】
0.8
本题要求代数式的值，观察已知条件给出的是$m-n$和$x+y$的整体值，不需要单独求出$m、n、x、y$的具体数值，解题思路如下：第一步先根据去括号法则去掉所求代数式的括号，第二步调整代数式中各项的位置，将含$m、n$的项和含$x、y$的项分别分组，第三步将分组后的式子转化为含$m-n$和$x+y$的形式，最后整体代入已知数值计算即可。
【解析】
首先化简代数式$(n + x) - (m - y)$：
1. 去括号：根据去括号法则，括号前是负号，去括号后括号内各项要变号，可得：
$\begin{aligned}(n + x) - (m - y) &= n + x - m + y\end{aligned}$
2. 重新分组整理：将同类特征的项合并，可得：
$\begin{aligned}n + x - m + y &= (n - m) + (x + y)\end{aligned}$
3. 变形为已知的整体形式：因为$n - m = -(m - n)$，代入已知$m - n = 100$，$x + y = -1$，得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= -(m - n) + (x + y)\\&= -100 + (-1)\\&= -101\end{aligned}$
【答案】
$-101$
【知识点】
去括号法则、整式加减运算、整体代入求值
【点评】
本题属于整式化简求值的基础题，解题核心是通过去括号、整理将所求代数式转化为与已知条件相关的形式，利用整体代入的方法简化计算，避免了单独求解未知数的繁琐。
【难度系数】
0.8
13 若多项式$4x^2 - 3x + 7$与多项式$5x^3 + (m - 2)x^2 - 2x + 3$相减后，结果不含$x^2$项，则$m$的值为
6
。答案
13.6
解析
【分析】
解题时首先要明确“结果不含x²项”的含义：即两个多项式相减合并同类项后，x²项的系数等于0。解题步骤分为三步：第一步先根据题意列出两个多项式相减的算式；第二步去括号、合并同类项，整理出x²项的系数；第三步令x²项的系数为0，解一元一次方程即可求出m的值，计算时要注意去括号的符号变化。
【解析】
解：根据题意，列出两个多项式相减的算式：
$\begin{split}&(4x^2 - 3x + 7) - [5x^3 + (m - 2)x^2 - 2x + 3]\\=&4x^2 - 3x + 7 - 5x^3 - (m - 2)x^2 + 2x - 3\\=&-5x^3 + [4 - (m - 2)]x^2 + (-3x + 2x) + (7 - 3)\\=&-5x^3 + (6 - m)x^2 - x + 4\end{split}$
∵ 相减的结果不含$x^2$项，
∴ $x^2$项的系数为0，即：
$6 - m = 0$
解得：$m = 6$
【答案】
6
【知识点】
整式的加减运算；合并同类项；解一元一次方程
【点评】
本题是整式加减的常规题型，核心考点是“多项式不含某一项则该项系数为0”，解题易错点是去括号时符号处理错误，平时练习要注意养成规范运算的习惯。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确“结果不含x²项”的含义：即两个多项式相减合并同类项后，x²项的系数等于0。解题步骤分为三步：第一步先根据题意列出两个多项式相减的算式；第二步去括号、合并同类项，整理出x²项的系数；第三步令x²项的系数为0，解一元一次方程即可求出m的值，计算时要注意去括号的符号变化。
【解析】
解：根据题意，列出两个多项式相减的算式：
$\begin{split}&(4x^2 - 3x + 7) - [5x^3 + (m - 2)x^2 - 2x + 3]\\=&4x^2 - 3x + 7 - 5x^3 - (m - 2)x^2 + 2x - 3\\=&-5x^3 + [4 - (m - 2)]x^2 + (-3x + 2x) + (7 - 3)\\=&-5x^3 + (6 - m)x^2 - x + 4\end{split}$
∵ 相减的结果不含$x^2$项，
∴ $x^2$项的系数为0，即：
$6 - m = 0$
解得：$m = 6$
【答案】
6
【知识点】
整式的加减运算；合并同类项；解一元一次方程
【点评】
本题是整式加减的常规题型，核心考点是“多项式不含某一项则该项系数为0”，解题易错点是去括号时符号处理错误，平时练习要注意养成规范运算的习惯。
【难度系数】
0.7
14 教材P101例8变式 先化简,再求值:$4mn - [6(mn - m^2) - 4(2mn - m^2)]$,其中$m=-3,n=\frac{1}{2}.$
答案
14. 原式=$6mn+2m^2$.当$m=-3,n=\frac{1}{2}$时,原式=$6×(-3)×\frac{1}{2}+2×(-3)^2=9$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分两步走：第一步先化简整式，首先根据乘法分配律去掉小括号，注意不要漏乘括号里的项，再合并中括号内的同类项，之后去掉中括号，去括号时如果括号前是负号，括号内每一项都要变号，最后合并同类项得到最简整式；第二步将已知的m、n的值代入最简整式计算结果，先化简再代入能减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：先化简整式：
$\begin{aligned}原式&=4mn - [6mn - 6m^2 - 8mn + 4m^2]\\&=4mn - [(-2mn) - 2m^2]\\&=4mn + 2mn + 2m^2\\&=6mn + 2m^2\end{aligned}$
再代入$m=-3,n=\frac{1}{2}$计算：
$\begin{aligned}原式&=6×(-3)×\frac{1}{2} + 2×(-3)^2\\&=-9 + 2×9\\&=-9 + 18\\&=9\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$6mn+2m^2$，求值结果为$\boxed{9}$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题是整式加减的常规基础题，核心考查去括号时的符号处理以及乘法分配律的正确应用，解题时需注意去括号不要漏乘括号内的项，化简后再代入数值计算能有效提高计算效率和准确率。
【难度系数】
0.75
这是一道整式化简求值题，解题思路分两步走：第一步先化简整式，首先根据乘法分配律去掉小括号，注意不要漏乘括号里的项，再合并中括号内的同类项，之后去掉中括号，去括号时如果括号前是负号，括号内每一项都要变号，最后合并同类项得到最简整式；第二步将已知的m、n的值代入最简整式计算结果，先化简再代入能减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：先化简整式：
$\begin{aligned}原式&=4mn - [6mn - 6m^2 - 8mn + 4m^2]\\&=4mn - [(-2mn) - 2m^2]\\&=4mn + 2mn + 2m^2\\&=6mn + 2m^2\end{aligned}$
再代入$m=-3,n=\frac{1}{2}$计算：
$\begin{aligned}原式&=6×(-3)×\frac{1}{2} + 2×(-3)^2\\&=-9 + 2×9\\&=-9 + 18\\&=9\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$6mn+2m^2$，求值结果为$\boxed{9}$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题是整式加减的常规基础题，核心考查去括号时的符号处理以及乘法分配律的正确应用，解题时需注意去括号不要漏乘括号内的项，化简后再代入数值计算能有效提高计算效率和准确率。
【难度系数】
0.75
15 甲、乙、丙三个车间加工一批零件，甲车间加工了$x$个，乙车间加工的比甲车间加工的2倍少35个，丙车间加工的比甲车间加工的$\frac{1}{2}x$多36个。问：这三个车间共加工了多少个零件？
答案
15. 因为$x+(2x-35)+(\frac{1}{2}x+36)=\frac{7}{2}x+1$,所以这三个车间共加工了$(\frac{7}{2}x+1)$个零件
解析
【分析】
要求三个车间共加工的零件总数，只需将三个车间各自加工的零件数量相加即可。首先根据题目给出的数量关系，分别写出乙、丙车间加工零件的代数式，再列出三个代数式相加的式子，最后通过合并同类项化简式子就能得到结果。
【解析】
解：已知甲车间加工了$x$个零件，
根据题意得，乙车间加工的零件数为：$2x - 35$个，
丙车间加工的零件数为：$\frac{1}{2}x + 36$个，
三个车间共加工的零件数为三个车间加工数之和，即：
$\begin{aligned}&x + (2x - 35) + (\frac{1}{2}x + 36)\\=&x + 2x - 35 + \frac{1}{2}x + 36\\=&(x + 2x + \frac{1}{2}x) + (-35 + 36)\\=&\frac{7}{2}x + 1\end{aligned}$
【答案】
这三个车间共加工了$(\frac{7}{2}x + 1)$个零件
【知识点】
列代数式；合并同类项；整式的加减运算
【点评】
本题是整式加减的实际应用类题目，解题核心是准确根据数量关系列出各部分对应的代数式，再按照整式加减的运算法则化简即可，解题时要注意同类项的合并规则。
【难度系数】
0.8
要求三个车间共加工的零件总数，只需将三个车间各自加工的零件数量相加即可。首先根据题目给出的数量关系，分别写出乙、丙车间加工零件的代数式，再列出三个代数式相加的式子，最后通过合并同类项化简式子就能得到结果。
【解析】
解：已知甲车间加工了$x$个零件，
根据题意得，乙车间加工的零件数为：$2x - 35$个，
丙车间加工的零件数为：$\frac{1}{2}x + 36$个，
三个车间共加工的零件数为三个车间加工数之和，即：
$\begin{aligned}&x + (2x - 35) + (\frac{1}{2}x + 36)\\=&x + 2x - 35 + \frac{1}{2}x + 36\\=&(x + 2x + \frac{1}{2}x) + (-35 + 36)\\=&\frac{7}{2}x + 1\end{aligned}$
【答案】
这三个车间共加工了$(\frac{7}{2}x + 1)$个零件
【知识点】
列代数式；合并同类项；整式的加减运算
【点评】
本题是整式加减的实际应用类题目，解题核心是准确根据数量关系列出各部分对应的代数式，再按照整式加减的运算法则化简即可，解题时要注意同类项的合并规则。
【难度系数】
0.8
16 有这样一道题:已知 $ A=2a^2 + 2b^2 - 3c^2 $，$ B=3a^2 - b^2 - 2c^2 $，$ C=c^2 + 2a^2 - 3b^2 $，当 $ a=1, b=2, c=3 $ 时，求 $ A - B + C $ 的值。小刚说:“题目中给出的 $ b=2, c=3 $ 是多余条件。”他的说法正确吗？为什么？
答案
16. 他的说法正确 因为$A-B+C$的化简结果为$a^2$,所以所求整式的值与$b,c$的取值无关.所以题目中给出的$b=2,c=3$是多余条件
解析
【分析】
要判断题目给出的$b=2$、$c=3$是不是多余条件，本质是看$A-B+C$的化简结果中是否含有字母$b$和$c$。解题时首先将$A$、$B$、$C$的表达式代入$A-B+C$中，再按照整式加减的运算规则，先去括号，再合并同类项，观察最终化简结果的字母组成：如果结果中不含$b$和$c$，说明代数式的值和$b$、$c$的取值无关，对应条件就是多余的，否则条件就有用。
【解析】
将$A=2a^2 + 2b^2 - 3c^2$，$B=3a^2 - b^2 - 2c^2$，$C=c^2 + 2a^2 - 3b^2$代入$A-B+C$，得：
$\begin{aligned}A-B+C&=(2a^2 + 2b^2 - 3c^2)-(3a^2 - b^2 - 2c^2)+(c^2 + 2a^2 - 3b^2)\\&=2a^2 + 2b^2 - 3c^2 - 3a^2 + b^2 + 2c^2 + c^2 + 2a^2 - 3b^2\\&=(2a^2 - 3a^2 + 2a^2)+(2b^2 + b^2 - 3b^2)+(-3c^2 + 2c^2 + c^2)\\&=a^2+0+0\\&=a^2\end{aligned}$
化简后结果为$a^2$，仅含字母$a$，说明$A-B+C$的值只和$a$的取值有关，与$b$、$c$的取值无关，因此题目给出的$b=2,c=3$是多余条件，小刚的说法正确。
【答案】
他的说法正确 因为$A-B+C$的化简结果为$a^2$,所以所求整式的值与$b,c$的取值无关.所以题目中给出的$b=2,c=3$是多余条件
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题重点考查整式加减的运算应用，判断代数式的值是否与某个字母相关，核心是将代数式化简后观察是否含有对应字母，是整式加减模块的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
要判断题目给出的$b=2$、$c=3$是不是多余条件，本质是看$A-B+C$的化简结果中是否含有字母$b$和$c$。解题时首先将$A$、$B$、$C$的表达式代入$A-B+C$中，再按照整式加减的运算规则，先去括号，再合并同类项，观察最终化简结果的字母组成：如果结果中不含$b$和$c$，说明代数式的值和$b$、$c$的取值无关，对应条件就是多余的，否则条件就有用。
【解析】
将$A=2a^2 + 2b^2 - 3c^2$，$B=3a^2 - b^2 - 2c^2$，$C=c^2 + 2a^2 - 3b^2$代入$A-B+C$，得：
$\begin{aligned}A-B+C&=(2a^2 + 2b^2 - 3c^2)-(3a^2 - b^2 - 2c^2)+(c^2 + 2a^2 - 3b^2)\\&=2a^2 + 2b^2 - 3c^2 - 3a^2 + b^2 + 2c^2 + c^2 + 2a^2 - 3b^2\\&=(2a^2 - 3a^2 + 2a^2)+(2b^2 + b^2 - 3b^2)+(-3c^2 + 2c^2 + c^2)\\&=a^2+0+0\\&=a^2\end{aligned}$
化简后结果为$a^2$，仅含字母$a$，说明$A-B+C$的值只和$a$的取值有关，与$b$、$c$的取值无关，因此题目给出的$b=2,c=3$是多余条件，小刚的说法正确。
【答案】
他的说法正确 因为$A-B+C$的化简结果为$a^2$,所以所求整式的值与$b,c$的取值无关.所以题目中给出的$b=2,c=3$是多余条件
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题重点考查整式加减的运算应用，判断代数式的值是否与某个字母相关，核心是将代数式化简后观察是否含有对应字母，是整式加减模块的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
17 [2025 通州模拟改编]已知多项式$-2x^2+4xy+3(y≠0)$，当$x=y$时，多项式的值为$p$；当$x=3y$时，多项式的值为$q$，请说明无论$y$取何值，总有$p＞q$。
答案
17. 当$x=y$时,$p=-2x^2+4xy+3=-2y^2+4y^2+3=2y^2+3$;当$x=3y$时,$q=-2x^2+4xy+3=-2×(3y)^2+4×3y· y+3=-6y^2+3$,所以$p-q=2y^2+3-(-6y^2+3)=8y^2$.因为$y≠0$,所以$8y^2＞0$.所以$p-q＞0$,即$p＞q$
解析
【分析】
要证明无论y≠0时总有p＞q，可采用作差法比较大小，具体思路如下：首先分别将x=y、x=3y代入给定的多项式，化简得到p、q仅含y的代数式；再计算p与q的差并化简；最后结合y≠0的条件，判断差的正负性，若差为正，则可得出p＞q的结论。
【解析】
当$x=y$时，代入多项式得：
$p=-2x^2+4xy+3=-2y^2+4y· y+3=2y^2+3$
当$x=3y$时，代入多项式得：
$q=-2x^2+4xy+3=-2×(3y)^2+4×3y· y+3=-18y^2+12y^2+3=-6y^2+3$
计算$p-q$：
$p-q=(2y^2+3)-(-6y^2+3)=2y^2+3+6y^2-3=8y^2$
因为$y≠0$，所以$y^2＞0$，因此$8y^2＞0$，即$p-q＞0$，故$p＞q$。
【答案】
当$x=y$时,$p=-2x^2+4xy+3=-2y^2+4y^2+3=2y^2+3$;当$x=3y$时,$q=-2x^2+4xy+3=-2×(3y)^2+4×3y· y+3=-6y^2+3$,所以$p-q=2y^2+3-(-6y^2+3)=8y^2$.因为$y≠0$,所以$8y^2＞0$.所以$p-q＞0$,即$p＞q$
【知识点】
代数式求值；整式的加减；平方的非负性
【点评】
本题考查整式的代入求值与作差法比较大小，解题关键是正确代入化简代数式，结合平方的非负性判断差的正负，是整式加减应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
要证明无论y≠0时总有p＞q，可采用作差法比较大小，具体思路如下：首先分别将x=y、x=3y代入给定的多项式，化简得到p、q仅含y的代数式；再计算p与q的差并化简；最后结合y≠0的条件，判断差的正负性，若差为正，则可得出p＞q的结论。
【解析】
当$x=y$时，代入多项式得：
$p=-2x^2+4xy+3=-2y^2+4y· y+3=2y^2+3$
当$x=3y$时，代入多项式得：
$q=-2x^2+4xy+3=-2×(3y)^2+4×3y· y+3=-18y^2+12y^2+3=-6y^2+3$
计算$p-q$：
$p-q=(2y^2+3)-(-6y^2+3)=2y^2+3+6y^2-3=8y^2$
因为$y≠0$，所以$y^2＞0$，因此$8y^2＞0$，即$p-q＞0$，故$p＞q$。
【答案】
当$x=y$时,$p=-2x^2+4xy+3=-2y^2+4y^2+3=2y^2+3$;当$x=3y$时,$q=-2x^2+4xy+3=-2×(3y)^2+4×3y· y+3=-6y^2+3$,所以$p-q=2y^2+3-(-6y^2+3)=8y^2$.因为$y≠0$,所以$8y^2＞0$.所以$p-q＞0$,即$p＞q$
【知识点】
代数式求值；整式的加减；平方的非负性
【点评】
本题考查整式的代入求值与作差法比较大小，解题关键是正确代入化简代数式，结合平方的非负性判断差的正负，是整式加减应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
