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三、解答题
1. 填空并回答下列各题.
(1) $(x-y)^2 = \_\_\_\_\_\_$；$x^2 -2xy + y^2 = \_\_\_\_\_\_$.
(2) 由(1)的结论计算：
① $a^2 -2ab + b^2$，其中 $a=10.3, b=1.3$；
② $4x^2 -4xy + y^2$，其中 $x=\frac{1}{2}, y=1$.
1. 填空并回答下列各题.
(1) $(x-y)^2 = \_\_\_\_\_\_$；$x^2 -2xy + y^2 = \_\_\_\_\_\_$.
(2) 由(1)的结论计算：
① $a^2 -2ab + b^2$，其中 $a=10.3, b=1.3$；
② $4x^2 -4xy + y^2$，其中 $x=\frac{1}{2}, y=1$.
答案
1.(1)$x^2 - 2xy + y^2$；$(x-y)^2$
(2)①$a^2 - 2ab + b^2 = 81$
②$4x^2 -4xy + y^2 = 0$
(2)①$a^2 - 2ab + b^2 = 81$
②$4x^2 -4xy + y^2 = 0$
解析
【分析】
本题考查完全平方差公式的正逆运用及代数式的简便求值。
(1) 直接根据完全平方差公式的正向展开、逆向因式分解即可得出结果，需牢记完全平方差公式的结构特征：两数差的平方等于两数平方和减去两数乘积的2倍，反之满足该结构的二次三项式可写成两数差的平方形式。
(2) ① 观察式子结构，符合完全平方差公式的逆用形式，先将式子变形为$(a-b)^2$，再代入$a$、$b$的值计算，比直接代入原式计算更简便；② 先将原式变形为符合完全平方差公式的结构：$4x^2$是$(2x)$的平方，$-4xy$是$2$乘$2x$乘$y$的相反数，因此可逆用公式写成$(2x-y)^2$，再代入数值计算即可。
【解析】
(1) 根据完全平方差公式：
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$；
逆用完全平方差公式因式分解可得：
$x^2 -2xy + y^2 = (x-y)^2$。
(2) ① 逆用完全平方差公式对式子变形：
$a^2 -2ab + b^2 = (a-b)^2$
将$a=10.3, b=1.3$代入得：
原式$=(10.3 - 1.3)^2 = 9^2 = 81$。
② 先将原式整理为完全平方差的结构：
$4x^2 -4xy + y^2 = (2x)^2 - 2· 2x· y + y^2$
逆用完全平方差公式得：
原式$=(2x - y)^2$
将$x=\frac{1}{2}, y=1$代入得：
原式$=(2×\frac{1}{2} - 1)^2 = (1-1)^2 = 0^2 = 0$。
【答案】
(1)$x^2 - 2xy + y^2$；$(x-y)^2$
(2)①$81$；②$0$
【知识点】
完全平方差公式，代数式求值，因式分解的应用
【点评】
本题侧重考查乘法公式的灵活运用，通过逆用完全平方差公式对代数式变形，可大幅简化求值计算，避免直接代入计算的繁琐和出错，熟练掌握乘法公式的结构特征是解题核心。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方差公式的正逆运用及代数式的简便求值。
(1) 直接根据完全平方差公式的正向展开、逆向因式分解即可得出结果，需牢记完全平方差公式的结构特征：两数差的平方等于两数平方和减去两数乘积的2倍，反之满足该结构的二次三项式可写成两数差的平方形式。
(2) ① 观察式子结构，符合完全平方差公式的逆用形式，先将式子变形为$(a-b)^2$，再代入$a$、$b$的值计算，比直接代入原式计算更简便；② 先将原式变形为符合完全平方差公式的结构：$4x^2$是$(2x)$的平方，$-4xy$是$2$乘$2x$乘$y$的相反数，因此可逆用公式写成$(2x-y)^2$，再代入数值计算即可。
【解析】
(1) 根据完全平方差公式：
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$；
逆用完全平方差公式因式分解可得：
$x^2 -2xy + y^2 = (x-y)^2$。
(2) ① 逆用完全平方差公式对式子变形：
$a^2 -2ab + b^2 = (a-b)^2$
将$a=10.3, b=1.3$代入得：
原式$=(10.3 - 1.3)^2 = 9^2 = 81$。
② 先将原式整理为完全平方差的结构：
$4x^2 -4xy + y^2 = (2x)^2 - 2· 2x· y + y^2$
逆用完全平方差公式得：
原式$=(2x - y)^2$
将$x=\frac{1}{2}, y=1$代入得：
原式$=(2×\frac{1}{2} - 1)^2 = (1-1)^2 = 0^2 = 0$。
【答案】
(1)$x^2 - 2xy + y^2$；$(x-y)^2$
(2)①$81$；②$0$
【知识点】
完全平方差公式，代数式求值，因式分解的应用
【点评】
本题侧重考查乘法公式的灵活运用，通过逆用完全平方差公式对代数式变形，可大幅简化求值计算，避免直接代入计算的繁琐和出错，熟练掌握乘法公式的结构特征是解题核心。
【难度系数】
0.9
2. 阅读下面的例题,并解答问题.
例题:已知二次三项式$x^2 -4x + m$有一个因式是$x +3$,求另一个因式以及$m$的值.
解:设另一个因式为$x +n$,则$x^2 -4x + m=(x +3)·(x +n)$,
$\therefore x^2 -4x + m =x^2 + (n +3)x +3n$,
$\therefore n +3 = -4, m=3n$,解得$n=-7, m=-21$,
$\therefore$另一个因式为$x -7, m$的值为$-21$.
(1)若二次三项式$x^2 -5x +6$可分解为$(x -2)·(x +a)$,则$a=$.
(2)若二次三项式$2x^2 +bx -5$可分解为$(2x -1)·(x +5)$,则$b=$.
(3)依照以上方法解答问题:已知二次三项式$2x^2 +5x -k$有一个因式是$2x -3$,求另一个因式以及$k$的值.
例题:已知二次三项式$x^2 -4x + m$有一个因式是$x +3$,求另一个因式以及$m$的值.
解:设另一个因式为$x +n$,则$x^2 -4x + m=(x +3)·(x +n)$,
$\therefore x^2 -4x + m =x^2 + (n +3)x +3n$,
$\therefore n +3 = -4, m=3n$,解得$n=-7, m=-21$,
$\therefore$另一个因式为$x -7, m$的值为$-21$.
(1)若二次三项式$x^2 -5x +6$可分解为$(x -2)·(x +a)$,则$a=$.
(2)若二次三项式$2x^2 +bx -5$可分解为$(2x -1)·(x +5)$,则$b=$.
(3)依照以上方法解答问题:已知二次三项式$2x^2 +5x -k$有一个因式是$2x -3$,求另一个因式以及$k$的值.
答案
2.(1) -3
(2)9
(3)x +4 12
(2)9
(3)x +4 12
解析
【分析】
本题可利用多项式恒等的性质解题：若两个多项式相等，则它们对应同类项的系数完全相等。解题时先将等式右侧的因式乘积按多项式乘法法则展开，再将展开式与左侧二次三项式的对应项系数对比，列方程求解未知量即可。
(1)将右侧乘积展开后，对比一次项或常数项系数即可求a；
(2)将右侧乘积展开后，对比一次项系数即可求b；
(3)参照例题方法，先设另一个因式为x+n，将两个因式相乘展开后，对比对应项系数列方程，即可求出n和k的值。
【解析】
(1) 展开右侧因式：
$(x-2)(x+a)=x^2 +ax -2x -2a =x^2 +(a-2)x -2a$
与左侧$x^2 -5x +6$对比常数项，可得$-2a=6$，解得$a=-3$。
(2) 展开右侧因式：
$(2x-1)(x+5)=2x^2 +10x -x -5 =2x^2 +9x -5$
与左侧$2x^2 +bx -5$对比一次项系数，可得$b=9$。
(3) 设另一个因式为$x+n$，则：
$2x^2 +5x -k=(2x-3)(x+n)$
展开右侧得：$2x^2 +2nx -3x -3n =2x^2 +(2n-3)x -3n$
对比左右两侧对应项系数，可得方程组：
$\begin{cases}2n-3=5\\-k=-3n\end{cases}$
解第一个方程：$2n=8$，得$n=4$。
将$n=4$代入第二个方程：$-k=-3×4=-12$，得$k=12$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$
(2) $\boldsymbol{9}$
(3) 另一个因式为$\boldsymbol{x+4}$，$k$的值为$\boldsymbol{12}$
【知识点】
多项式乘多项式，待定系数法，因式分解的意义
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，核心解题思路是利用多项式恒等时对应项系数相等的性质列方程求解，掌握待定系数法的应用逻辑就能轻松解决同类问题。
【难度系数】
0.8
本题可利用多项式恒等的性质解题：若两个多项式相等，则它们对应同类项的系数完全相等。解题时先将等式右侧的因式乘积按多项式乘法法则展开，再将展开式与左侧二次三项式的对应项系数对比，列方程求解未知量即可。
(1)将右侧乘积展开后，对比一次项或常数项系数即可求a；
(2)将右侧乘积展开后，对比一次项系数即可求b；
(3)参照例题方法，先设另一个因式为x+n，将两个因式相乘展开后，对比对应项系数列方程，即可求出n和k的值。
【解析】
(1) 展开右侧因式：
$(x-2)(x+a)=x^2 +ax -2x -2a =x^2 +(a-2)x -2a$
与左侧$x^2 -5x +6$对比常数项，可得$-2a=6$，解得$a=-3$。
(2) 展开右侧因式：
$(2x-1)(x+5)=2x^2 +10x -x -5 =2x^2 +9x -5$
与左侧$2x^2 +bx -5$对比一次项系数，可得$b=9$。
(3) 设另一个因式为$x+n$，则：
$2x^2 +5x -k=(2x-3)(x+n)$
展开右侧得：$2x^2 +2nx -3x -3n =2x^2 +(2n-3)x -3n$
对比左右两侧对应项系数，可得方程组：
$\begin{cases}2n-3=5\\-k=-3n\end{cases}$
解第一个方程：$2n=8$，得$n=4$。
将$n=4$代入第二个方程：$-k=-3×4=-12$，得$k=12$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$
(2) $\boldsymbol{9}$
(3) 另一个因式为$\boldsymbol{x+4}$，$k$的值为$\boldsymbol{12}$
【知识点】
多项式乘多项式，待定系数法，因式分解的意义
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，核心解题思路是利用多项式恒等时对应项系数相等的性质列方程求解，掌握待定系数法的应用逻辑就能轻松解决同类问题。
【难度系数】
0.8
