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14. 如图所示，矩形OABC的顶点O,A,C的坐标分别是$(0,0),(3,0),(0,2)$，$□ OADE$与矩形OABC周长相等，$□ OADE$的面积是矩形OABC面积的一半，则点D的坐标为 （
A.$(3+\sqrt{3},1)$
B.$(3+\sqrt{2},\sqrt{2})$
C.$(5,1)$
D.$(3+\sqrt{3},\sqrt{3})$
A
）A.$(3+\sqrt{3},1)$
B.$(3+\sqrt{2},\sqrt{2})$
C.$(5,1)$
D.$(3+\sqrt{3},\sqrt{3})$
答案
14.A
解析
【分析】
解题时先根据矩形顶点坐标求出矩形的周长和面积，再结合平行四边形与矩形的周长、面积关系，先求出平行四边形的高（即点D的纵坐标），再求出平行四边形的短边长，用勾股定理算出点E的横坐标，最后根据平行四边形对边平行且相等的性质求出点D的坐标。
【解析】
1. 计算矩形OABC的周长和面积：
已知$O(0,0)$、$A(3,0)$、$C(0,2)$，则$OA=3$，$OC=2$，
矩形周长$=2×(OA+OC)=2×(3+2)=10$，矩形面积$=OA× OC=3×2=6$。
2. 求平行四边形$OADE$的参数：
因为平行四边形$OADE$周长与矩形相等，所以平行四边形周长$=10$，
平行四边形对边相等，故$2×(OA+OE)=10$，代入$OA=3$，解得$OE=2$。
又因为平行四边形面积是矩形面积的一半，所以平行四边形面积$=6÷2=3$，
平行四边形以$OA$为底，面积$=$底$×$高，即$3=3×$高，解得高$=1$，因此点$E$、$D$的纵坐标均为$1$。
3. 求点$E$的横坐标：
在直角三角形中，$OE=2$，纵坐标为$1$，由勾股定理得$E$点横坐标$=\sqrt{OE^2-1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，即$E(\sqrt{3},1)$。
4. 求点$D$的坐标：
平行四边形中$ED$平行且等于$OA=3$，$ED$沿水平方向向右，故$D$点横坐标$=\sqrt{3}+3$，纵坐标$=1$，即$D(3+\sqrt{3},1)$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题属于几何与坐标结合的基础综合题，解题的核心是先通过周长和面积的数量关系确定平行四边形的高和邻边长度，再结合勾股定理和平行四边形对边的性质推导点坐标。
【难度系数】
0.6
解题时先根据矩形顶点坐标求出矩形的周长和面积，再结合平行四边形与矩形的周长、面积关系，先求出平行四边形的高（即点D的纵坐标），再求出平行四边形的短边长，用勾股定理算出点E的横坐标，最后根据平行四边形对边平行且相等的性质求出点D的坐标。
【解析】
1. 计算矩形OABC的周长和面积：
已知$O(0,0)$、$A(3,0)$、$C(0,2)$，则$OA=3$，$OC=2$，
矩形周长$=2×(OA+OC)=2×(3+2)=10$，矩形面积$=OA× OC=3×2=6$。
2. 求平行四边形$OADE$的参数：
因为平行四边形$OADE$周长与矩形相等，所以平行四边形周长$=10$，
平行四边形对边相等，故$2×(OA+OE)=10$，代入$OA=3$，解得$OE=2$。
又因为平行四边形面积是矩形面积的一半，所以平行四边形面积$=6÷2=3$，
平行四边形以$OA$为底，面积$=$底$×$高，即$3=3×$高，解得高$=1$，因此点$E$、$D$的纵坐标均为$1$。
3. 求点$E$的横坐标：
在直角三角形中，$OE=2$，纵坐标为$1$，由勾股定理得$E$点横坐标$=\sqrt{OE^2-1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，即$E(\sqrt{3},1)$。
4. 求点$D$的坐标：
平行四边形中$ED$平行且等于$OA=3$，$ED$沿水平方向向右，故$D$点横坐标$=\sqrt{3}+3$，纵坐标$=1$，即$D(3+\sqrt{3},1)$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题属于几何与坐标结合的基础综合题，解题的核心是先通过周长和面积的数量关系确定平行四边形的高和邻边长度，再结合勾股定理和平行四边形对边的性质推导点坐标。
【难度系数】
0.6
15.如图所示，在菱形$ABCD$中，$AB=4\sqrt{5}$，对角线$BD$的长为16，$E$是$AD$的中点，$F$是$BD$上一点，连接$EF$.若$BF=3$，则$EF$的长为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
15.$\sqrt{85}$
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，因此可先连接AC交BD于点O，构造直角三角形AOB，用勾股定理算出AO的长度。为了方便计算EF的长度，我们可以以对角线交点O为原点建立平面直角坐标系，利用中点坐标公式得到E点坐标，再根据BF的长度确定F点坐标，最后结合勾股定理计算两点间距离即可得到EF的长度。
【解析】
解：连接AC，交BD于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，$BO=OD=\frac{1}{2}BD=8$，$OA=OC$。
在$Rt△ AOB$中，$AB=4\sqrt{5}$，$BO=8$，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-8^2}=\sqrt{80-64}=4$。
以O为原点，BD所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则各点坐标为：$B(-8,0)$，$D(8,0)$，$A(0,4)$。
∵E是AD的中点，
∴E点坐标为$(\frac{0+8}{2},\frac{4+0}{2})$，即$E(4,2)$。
∵$BF=3$，F在BD上，
∴F点横坐标为$-8+3=-5$，纵坐标为0，即$F(-5,0)$。
由勾股定理得EF的长度为：
$EF=\sqrt{(4-(-5))^2+(2-0)^2}=\sqrt{9^2+2^2}=\sqrt{81+4}=\sqrt{85}$。
【答案】
$\sqrt{85}$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，中点坐标公式
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，将菱形的性质和勾股定理结合考查，通过建立平面直角坐标系可把几何线段长度计算转化为代数坐标计算，降低解题难度，解题的核心是熟练应用菱形对角线互相垂直平分的性质。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，因此可先连接AC交BD于点O，构造直角三角形AOB，用勾股定理算出AO的长度。为了方便计算EF的长度，我们可以以对角线交点O为原点建立平面直角坐标系，利用中点坐标公式得到E点坐标，再根据BF的长度确定F点坐标，最后结合勾股定理计算两点间距离即可得到EF的长度。
【解析】
解：连接AC，交BD于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，$BO=OD=\frac{1}{2}BD=8$，$OA=OC$。
在$Rt△ AOB$中，$AB=4\sqrt{5}$，$BO=8$，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-8^2}=\sqrt{80-64}=4$。
以O为原点，BD所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则各点坐标为：$B(-8,0)$，$D(8,0)$，$A(0,4)$。
∵E是AD的中点，
∴E点坐标为$(\frac{0+8}{2},\frac{4+0}{2})$，即$E(4,2)$。
∵$BF=3$，F在BD上，
∴F点横坐标为$-8+3=-5$，纵坐标为0，即$F(-5,0)$。
由勾股定理得EF的长度为：
$EF=\sqrt{(4-(-5))^2+(2-0)^2}=\sqrt{9^2+2^2}=\sqrt{81+4}=\sqrt{85}$。
【答案】
$\sqrt{85}$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，中点坐标公式
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，将菱形的性质和勾股定理结合考查，通过建立平面直角坐标系可把几何线段长度计算转化为代数坐标计算，降低解题难度，解题的核心是熟练应用菱形对角线互相垂直平分的性质。
【难度系数】
0.6
16. 如图所示,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,线段AB的两个端点A，B都在格点(网格线的交点)上.
(1)在图(1)中画一个以AB为边的矩形ABCD(要求:另外两个顶点也在格点上)；
(2)在图(2)中画一个以AB为对角线的平行四边形ACBD(非正方形)(要求:另外两个顶点也在格点上).
(1)在图(1)中画一个以AB为边的矩形ABCD(要求:另外两个顶点也在格点上)；
(2)在图(2)中画一个以AB为对角线的平行四边形ACBD(非正方形)(要求:另外两个顶点也在格点上).
答案
16.解:(1)如图①所示,以AB为边的矩形ABCD即为所求(答案不唯一)
.(2)如图②所示,平行四边形ACBD即为所求(答案不唯一)
.解析
【分析】
(1) 要画以AB为边的矩形，需依据矩形“邻边互相垂直、对边平行且相等”的性质：先确定AB的走向，分别过A、B作AB的垂线，在垂线上选取格点作为D、C，保证AD与BC平行且相等，连接四点即可得到符合要求的矩形，答案不唯一。
(2) 要画以AB为对角线的平行四边形，需依据平行四边形“对角线互相平分”的性质：先找到AB的中点，再选取两个格点C、D，使得该中点也是线段CD的中点，同时保证所得四边形不是正方形，连接四点即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 先观察线段AB的格点走向，过点A作AB的垂线，在垂线上取格点D，过点B作AB的垂线，在垂线上取格点C，使得AD//BC且AD=BC，连接CD，此时四边形ABCD四个顶点都在格点上，且满足矩形的判定条件，即为所求。
(2) 先确定线段AB的中点位置，找过该中点的线段CD，使中点同时平分CD，且C、D均为格点，依次连接A、C、B、D，验证所得四边形不是正方形，即得到符合要求的平行四边形ACBD。
【答案】
(1) 如图①所示,以AB为边的矩形ABCD即为所求(答案不唯一)。
(2) 如图②所示,平行四边形ACBD即为所求(答案不唯一)。
【知识点】
矩形的判定、平行四边形的性质、格点作图
【点评】
本题属于开放性网格作图题，考查特殊四边形的性质与判定的应用，解题时紧扣图形的性质特征即可快速找到符合要求的格点，解题思路灵活多样。
【难度系数】
0.8
(1) 要画以AB为边的矩形，需依据矩形“邻边互相垂直、对边平行且相等”的性质：先确定AB的走向，分别过A、B作AB的垂线，在垂线上选取格点作为D、C，保证AD与BC平行且相等，连接四点即可得到符合要求的矩形，答案不唯一。
(2) 要画以AB为对角线的平行四边形，需依据平行四边形“对角线互相平分”的性质：先找到AB的中点，再选取两个格点C、D，使得该中点也是线段CD的中点，同时保证所得四边形不是正方形，连接四点即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 先观察线段AB的格点走向，过点A作AB的垂线，在垂线上取格点D，过点B作AB的垂线，在垂线上取格点C，使得AD//BC且AD=BC，连接CD，此时四边形ABCD四个顶点都在格点上，且满足矩形的判定条件，即为所求。
(2) 先确定线段AB的中点位置，找过该中点的线段CD，使中点同时平分CD，且C、D均为格点，依次连接A、C、B、D，验证所得四边形不是正方形，即得到符合要求的平行四边形ACBD。
【答案】
(1) 如图①所示,以AB为边的矩形ABCD即为所求(答案不唯一)
。(2) 如图②所示,平行四边形ACBD即为所求(答案不唯一)
。【知识点】
矩形的判定、平行四边形的性质、格点作图
【点评】
本题属于开放性网格作图题，考查特殊四边形的性质与判定的应用，解题时紧扣图形的性质特征即可快速找到符合要求的格点，解题思路灵活多样。
【难度系数】
0.8
17.已知小桐家、实验学校和博物馆依次在一条笔直的道路上.小桐从家骑自行车出发,途经学校,在学校停留一段时间后,按原来的速度继续骑车去博物馆.在博物馆停留一段时间后,又骑车返回家中.这一过程中小桐离家的距离y(单位:m)与所经过的时间x(单位:min)之间的函数关系如图所示.请根据相关信息,回答下列问题.
(1)填表:
(2)填空:小桐在博物馆停留的时间为
(3)当21≤x≤64时,请直接写出小桐离家的距离y关于时间x的函数解析式.
(1)填表:
(2)填空:小桐在博物馆停留的时间为
25
min;(3)当21≤x≤64时,请直接写出小桐离家的距离y关于时间x的函数解析式.
答案
17.(1)200 2 200 2 600
(2)25
(3)解:当$21≤ x≤29$时,由(1),可知函数解析式为$y=200x-2~000$;
当$29＜x＜54$时,函数解析式为$y=3~800$;
当$54≤ x≤64$时,设函数解析式为$y=mx+n$,
则$\begin{cases}3~800=54m+n,\\0=64m+n,\end{cases}$解得$\begin{cases}n=24~320,\\m=-380,\end{cases}$
$\therefore$函数解析式为$y=-380x+24~320$.
$\therefore$当$21≤ x≤64$时,小桐离家的距离y关于时间x的函数解析式为
$y=\begin{cases}200x-2~000(21≤ x≤29),\\3~800(29＜x＜54),\\-380x+24~320(54≤ x≤64).\end{cases}$
(2)25
(3)解:当$21≤ x≤29$时,由(1),可知函数解析式为$y=200x-2~000$;
当$29＜x＜54$时,函数解析式为$y=3~800$;
当$54≤ x≤64$时,设函数解析式为$y=mx+n$,
则$\begin{cases}3~800=54m+n,\\0=64m+n,\end{cases}$解得$\begin{cases}n=24~320,\\m=-380,\end{cases}$
$\therefore$函数解析式为$y=-380x+24~320$.
$\therefore$当$21≤ x≤64$时,小桐离家的距离y关于时间x的函数解析式为
$y=\begin{cases}200x-2~000(21≤ x≤29),\\3~800(29＜x＜54),\\-380x+24~320(54≤ x≤64).\end{cases}$
解析
【分析】
本题是一次函数结合行程问题的实际应用题，解题思路如下：1. 先提取图像中0~10min的路程和时间数据，求出小桐骑车的速度，再结合行程公式即可完成填表；2. 找到小桐到达博物馆、离开博物馆对应的时间，二者作差就是在博物馆的停留时间；3. 把21≤x≤64的区间按行程状态分为前往博物馆、博物馆停留、返回家三段，分别利用行程公式或待定系数法求出每段的函数解析式即可。
【解析】
(1) 由图像可知，小桐0~10min骑行了2000m，因此骑行速度为$2000÷10=200\mathrm{m/min}$。根据速度、路程、时间的关系，计算可得表中空依次为200、2、200、2、600。
(2) 由图像可得，小桐到达博物馆的时间为29min，离开博物馆的时间为54min，因此停留时间为$54-29=25\mathrm{min}$。
(3) 分三段讨论：
① 当$21≤ x≤29$时，小桐以200m/min的速度从学校前往博物馆，结合行程关系可得解析式为$y=200x-2000$；
② 当$29＜x＜54$时，小桐在博物馆停留，离家距离不变，因此解析式为$y=3800$；
③ 当$54≤ x≤64$时，设函数解析式为$y=mx+n$，将点$(54,3800)$、$(64,0)$代入得：
$\begin{cases}3800=54m+n\\0=64m+n\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-380\\n=24320\end{cases}$，因此解析式为$y=-380x+24320$。
综上可得21≤x≤64时的分段函数解析式。
【答案】
(1)200 2 200 2 600
(2)25
(3)$y=\begin{cases}200x-2000(21≤ x≤29)\\3800(29＜x＜54)\\-380x+24320(54≤ x≤64)\end{cases}$
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合生活中的出行场景考查一次函数的实际应用，解题核心是读懂函数图像的含义，明确每一段图像对应的运动状态，再结合行程数量关系或待定系数法求解即可。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数结合行程问题的实际应用题，解题思路如下：1. 先提取图像中0~10min的路程和时间数据，求出小桐骑车的速度，再结合行程公式即可完成填表；2. 找到小桐到达博物馆、离开博物馆对应的时间，二者作差就是在博物馆的停留时间；3. 把21≤x≤64的区间按行程状态分为前往博物馆、博物馆停留、返回家三段，分别利用行程公式或待定系数法求出每段的函数解析式即可。
【解析】
(1) 由图像可知，小桐0~10min骑行了2000m，因此骑行速度为$2000÷10=200\mathrm{m/min}$。根据速度、路程、时间的关系，计算可得表中空依次为200、2、200、2、600。
(2) 由图像可得，小桐到达博物馆的时间为29min，离开博物馆的时间为54min，因此停留时间为$54-29=25\mathrm{min}$。
(3) 分三段讨论：
① 当$21≤ x≤29$时，小桐以200m/min的速度从学校前往博物馆，结合行程关系可得解析式为$y=200x-2000$；
② 当$29＜x＜54$时，小桐在博物馆停留，离家距离不变，因此解析式为$y=3800$；
③ 当$54≤ x≤64$时，设函数解析式为$y=mx+n$，将点$(54,3800)$、$(64,0)$代入得：
$\begin{cases}3800=54m+n\\0=64m+n\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-380\\n=24320\end{cases}$，因此解析式为$y=-380x+24320$。
综上可得21≤x≤64时的分段函数解析式。
【答案】
(1)200 2 200 2 600
(2)25
(3)$y=\begin{cases}200x-2000(21≤ x≤29)\\3800(29＜x＜54)\\-380x+24320(54≤ x≤64)\end{cases}$
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合生活中的出行场景考查一次函数的实际应用，解题核心是读懂函数图像的含义，明确每一段图像对应的运动状态，再结合行程数量关系或待定系数法求解即可。
【难度系数】
0.7
