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一、选择题
1. 食堂有200 kg大米，第一天用去20%，第二天用去剩下的20%，两天一共用去大米 （
A.72 kg
B.80 kg
C.125 kg
D.120 kg
1. 食堂有200 kg大米，第一天用去20%，第二天用去剩下的20%，两天一共用去大米 （
A
）A.72 kg
B.80 kg
C.125 kg
D.120 kg
答案
1.A
解析
【分析】
本题是百分数实际应用类题目，解题关键是明确两个20%对应的单位“1”不同：第一个20%的单位“1”是大米总质量200kg，第二个20%的单位“1”是第一天用完后剩下的大米质量。解题时先计算第一天的用米量，再求出第一天用完的剩余量，接着计算第二天的用米量，最后将两天的用米量相加即可得到结果。
【解析】
第一步：计算第一天用去的大米质量
第一天用去总质量的20%，则第一天用量为：$200×20\% = 40\,\mathrm{kg}$
第二步：计算第一天用完后剩余的大米质量
剩余质量 = 总质量 - 第一天用量，即：$200 - 40 = 160\,\mathrm{kg}$
第三步：计算第二天用去的大米质量
第二天用去剩余质量的20%，则第二天用量为：$160×20\% = 32\,\mathrm{kg}$
第四步：计算两天一共用去的大米质量
总用量 = 第一天用量 + 第二天用量，即：$40 + 32 = 72\,\mathrm{kg}$
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 百分数的实际应用
2. 单位“1”的判定
【点评】
本题是百分数应用的常见题型，易错点是忽略两个百分数对应的单位“1”不同，直接将两个百分数相加计算总用量，解题时需先明确每个百分率对应的基准量，再分步计算即可。
【难度系数】
0.7
本题是百分数实际应用类题目，解题关键是明确两个20%对应的单位“1”不同：第一个20%的单位“1”是大米总质量200kg，第二个20%的单位“1”是第一天用完后剩下的大米质量。解题时先计算第一天的用米量，再求出第一天用完的剩余量，接着计算第二天的用米量，最后将两天的用米量相加即可得到结果。
【解析】
第一步：计算第一天用去的大米质量
第一天用去总质量的20%，则第一天用量为：$200×20\% = 40\,\mathrm{kg}$
第二步：计算第一天用完后剩余的大米质量
剩余质量 = 总质量 - 第一天用量，即：$200 - 40 = 160\,\mathrm{kg}$
第三步：计算第二天用去的大米质量
第二天用去剩余质量的20%，则第二天用量为：$160×20\% = 32\,\mathrm{kg}$
第四步：计算两天一共用去的大米质量
总用量 = 第一天用量 + 第二天用量，即：$40 + 32 = 72\,\mathrm{kg}$
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 百分数的实际应用
2. 单位“1”的判定
【点评】
本题是百分数应用的常见题型，易错点是忽略两个百分数对应的单位“1”不同，直接将两个百分数相加计算总用量，解题时需先明确每个百分率对应的基准量，再分步计算即可。
【难度系数】
0.7
2. 某商品的标价为 300 元，打 8 折出售仍可获利 20%，该商品的进价为 （
A.240 元
B.220 元
C.200 元
D.180 元
C
）A.240 元
B.220 元
C.200 元
D.180 元
答案
2.C
解析
【分析】
解决这道题首先要明确销售问题中的基本数量关系：打几折就是按标价的百分之几十计算售价，获利20%指的是利润占进价的20%，即售价=进价×(1+利润率)。我们可以先算出商品打折后的实际售价，再结合售价和利润率的关系，通过设未知数列一元一次方程的方式求出进价。
【解析】
第一步：计算商品打8折后的实际售价
已知商品标价为300元，打8折出售，因此售价为：
$300×80\%=240$（元）
第二步：设进价并列方程求解
设该商品的进价为$x$元，打8折出售仍可获利20%，说明售价是进价的$(1+20\%)$，可列方程：
$(1+20\%)x=240$
化简得：$1.2x=240$
解得：$x=240÷1.2=200$
因此该商品的进价为200元。
【答案】
C
【知识点】
折扣问题，一元一次方程应用，利润率计算
【点评】
本题是销售类基础应用题，核心是理清售价、进价、利润率三者之间的等量关系，找准数量关系列算式或方程即可快速求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确销售问题中的基本数量关系：打几折就是按标价的百分之几十计算售价，获利20%指的是利润占进价的20%，即售价=进价×(1+利润率)。我们可以先算出商品打折后的实际售价，再结合售价和利润率的关系，通过设未知数列一元一次方程的方式求出进价。
【解析】
第一步：计算商品打8折后的实际售价
已知商品标价为300元，打8折出售，因此售价为：
$300×80\%=240$（元）
第二步：设进价并列方程求解
设该商品的进价为$x$元，打8折出售仍可获利20%，说明售价是进价的$(1+20\%)$，可列方程：
$(1+20\%)x=240$
化简得：$1.2x=240$
解得：$x=240÷1.2=200$
因此该商品的进价为200元。
【答案】
C
【知识点】
折扣问题，一元一次方程应用，利润率计算
【点评】
本题是销售类基础应用题，核心是理清售价、进价、利润率三者之间的等量关系，找准数量关系列算式或方程即可快速求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 乡村旅游越来越受广大市民的喜爱，某县为发展乡村旅游，对某村基础设施进行升级改造，若甲工程队单独施工，5个月完成，乙工程队单独施工，10个月完成，政府决定先由甲工程队单独施工2个月，再由甲、乙两队共同完成剩下的部分，则完成这项工程共需（
A.6个月
B.4个月
C.5个月
D.3个月
B
）A.6个月
B.4个月
C.5个月
D.3个月
答案
3.B
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题时首先把总工作量看作单位“1”，先分别求出甲、乙工程队的工作效率（工作效率=总工作量÷单独完成的时间）。第一步先计算甲队单独施工2个月完成的工作量，第二步求出剩余的工作量，第三步计算甲乙两队合作的工作效率，用剩余工作量除以合作效率得到合作需要的时间，最后把甲单独施工的时间和合作时间相加就是总工期，也可以通过设总时间为未知数，列一元一次方程求解。
【解析】
方法一：算术法
把这项工程的总工作量看作单位“1”。
甲工程队的工作效率：$1÷5=\frac{1}{5}$/月
乙工程队的工作效率：$1÷10=\frac{1}{10}$/月
甲队单独施工2个月完成的工作量：$2×\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$
剩余工作量：$1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$
甲乙两队合作的工作效率：$\frac{1}{5}+\frac{1}{10}=\frac{3}{10}$/月
两队合作完成剩余工程需要的时间：$\frac{3}{5}÷\frac{3}{10}=2$（个月）
完成这项工程总时间：$2+2=4$（个月）
方法二：方程法
设完成这项工程共需$x$个月，则甲队工作了$x$个月，乙队工作了$(x-2)$个月。
根据总工作量为1列方程：
$\frac{1}{5}x + \frac{1}{10}(x-2) = 1$
去分母得：$2x + x - 2 = 10$
合并同类项得：$3x = 12$
解得：$x=4$
【答案】
B
【知识点】
工程问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程问题的基础考法，解题核心是将总工作量设为单位“1”，灵活运用“工作量=工作效率×工作时间”的基本关系，既可以通过分步算术计算求解，也可以通过列一元一次方程解答，逻辑清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类应用题，解题时首先把总工作量看作单位“1”，先分别求出甲、乙工程队的工作效率（工作效率=总工作量÷单独完成的时间）。第一步先计算甲队单独施工2个月完成的工作量，第二步求出剩余的工作量，第三步计算甲乙两队合作的工作效率，用剩余工作量除以合作效率得到合作需要的时间，最后把甲单独施工的时间和合作时间相加就是总工期，也可以通过设总时间为未知数，列一元一次方程求解。
【解析】
方法一：算术法
把这项工程的总工作量看作单位“1”。
甲工程队的工作效率：$1÷5=\frac{1}{5}$/月
乙工程队的工作效率：$1÷10=\frac{1}{10}$/月
甲队单独施工2个月完成的工作量：$2×\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$
剩余工作量：$1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$
甲乙两队合作的工作效率：$\frac{1}{5}+\frac{1}{10}=\frac{3}{10}$/月
两队合作完成剩余工程需要的时间：$\frac{3}{5}÷\frac{3}{10}=2$（个月）
完成这项工程总时间：$2+2=4$（个月）
方法二：方程法
设完成这项工程共需$x$个月，则甲队工作了$x$个月，乙队工作了$(x-2)$个月。
根据总工作量为1列方程：
$\frac{1}{5}x + \frac{1}{10}(x-2) = 1$
去分母得：$2x + x - 2 = 10$
合并同类项得：$3x = 12$
解得：$x=4$
【答案】
B
【知识点】
工程问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程问题的基础考法，解题核心是将总工作量设为单位“1”，灵活运用“工作量=工作效率×工作时间”的基本关系，既可以通过分步算术计算求解，也可以通过列一元一次方程解答，逻辑清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
4. 有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图①，测得其底面半径为$a$，高为$h$，其内装蓝色液体若干. 若如图②放置时，测得液面高为$\frac{1}{2}h$；若如图③放置时，测得液面高为$\frac{2}{3}h$. 则该玻璃密封容器的容积(圆柱容积=底面积×高)是 (
A.$\frac{5π}{24}a^2h$
B.$\frac{5π}{6}a^2h$
C.$\frac{5}{6}a^2h$
D.$\frac{5}{3}ah$
B
)A.$\frac{5π}{24}a^2h$
B.$\frac{5π}{6}a^2h$
C.$\frac{5}{6}a^2h$
D.$\frac{5}{3}ah$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时要抓住密封容器的两个不变量：容器内液体的体积不变、容器中空余部分的体积不变。首先根据图②正放的情况计算出液体的体积，再根据图③倒放的情况计算出空余部分的体积，最后将两部分体积相加就能得到容器的总容积。
【解析】
首先计算圆柱的底面积：$S=π a^2$
1. 计算液体体积：
图②正放时，液面高度为$\frac{1}{2}h$，液体为规则圆柱体，因此液体体积：
$V_{液}=S× \frac{1}{2}h=π a^2 × \frac{1}{2}h=\frac{1}{2}π a^2 h$
2. 计算空余部分体积：
图③倒放时，液面高度为$\frac{2}{3}h$，此时空余部分为规则圆柱体，空余部分的高度为：
$h-\frac{2}{3}h=\frac{1}{3}h$
因此空余部分体积：
$V_{空}=S× \frac{1}{3}h=π a^2 × \frac{1}{3}h=\frac{1}{3}π a^2 h$
3. 计算容器总容积：
容器容积等于液体体积加空余部分体积：
$V=V_{液}+V_{空}=\frac{1}{2}π a^2 h + \frac{1}{3}π a^2 h=\frac{3π a^2 h + 2π a^2 h}{6}=\frac{5}{6}π a^2 h$
【答案】
B
【知识点】
圆柱体积计算；体积不变性质
【点评】
本题的核心是利用不变量转化问题，不需要分析容器不规则的残缺部分，仅通过两种放置方式下规则部分的体积计算就能得出结果，是典型的用转化思想解决的几何体问题。
【难度系数】
0.7
解题时要抓住密封容器的两个不变量：容器内液体的体积不变、容器中空余部分的体积不变。首先根据图②正放的情况计算出液体的体积，再根据图③倒放的情况计算出空余部分的体积，最后将两部分体积相加就能得到容器的总容积。
【解析】
首先计算圆柱的底面积：$S=π a^2$
1. 计算液体体积：
图②正放时，液面高度为$\frac{1}{2}h$，液体为规则圆柱体，因此液体体积：
$V_{液}=S× \frac{1}{2}h=π a^2 × \frac{1}{2}h=\frac{1}{2}π a^2 h$
2. 计算空余部分体积：
图③倒放时，液面高度为$\frac{2}{3}h$，此时空余部分为规则圆柱体，空余部分的高度为：
$h-\frac{2}{3}h=\frac{1}{3}h$
因此空余部分体积：
$V_{空}=S× \frac{1}{3}h=π a^2 × \frac{1}{3}h=\frac{1}{3}π a^2 h$
3. 计算容器总容积：
容器容积等于液体体积加空余部分体积：
$V=V_{液}+V_{空}=\frac{1}{2}π a^2 h + \frac{1}{3}π a^2 h=\frac{3π a^2 h + 2π a^2 h}{6}=\frac{5}{6}π a^2 h$
【答案】
B
【知识点】
圆柱体积计算；体积不变性质
【点评】
本题的核心是利用不变量转化问题，不需要分析容器不规则的残缺部分，仅通过两种放置方式下规则部分的体积计算就能得出结果，是典型的用转化思想解决的几何体问题。
【难度系数】
0.7
5. 如图是2025年1月的月历表，用“U”形框框中5个数(如阴影部分所示)，移动“U”形框，当框中的五个数的和是126时，则框中的五个数中，最小的数是 (
A.15
B.19
C.20
D.22
C
) A.15
B.19
C.20
D.22
答案
5.C
解析
【分析】
首先观察月历的数字规律：月历中同一行相邻两个数相差1，同一列上下两个数相差7。再观察“U”形框中5个数的位置关系，可知最小的数是U形左上角的数，我们可以设这个最小的数为x，根据数字规律把其余4个数用含x的式子表示出来，再根据5个数的和为126列方程求解即可。
【解析】
设框中最小的数为x，根据月历数字规律和U形框的位置特征：
与x同一行、U形右上角的数比x大2，为$x+2$；
x正下方的数比x大7，为$x+7$；
$x+7$右侧相邻的数为$x+8$，再右侧相邻的数为$x+9$。
根据五个数的和是126，列方程：
$x + (x+2) + (x+7) + (x+8) + (x+9) = 126$
合并同类项得：$5x + 26 = 126$
移项计算：$5x = 126 - 26 = 100$
解得：$x = 20$
验证：当x=20时，五个数分别为20、22、27、28、29，均在月历表中，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1. 月历数字规律
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是数字规律类应用题，解题的核心是结合月历的数字特征，找准框内数字的数量关系，通过设未知数列方程即可快速求解，掌握规律后难度不大。
【难度系数】
0.7
首先观察月历的数字规律：月历中同一行相邻两个数相差1，同一列上下两个数相差7。再观察“U”形框中5个数的位置关系，可知最小的数是U形左上角的数，我们可以设这个最小的数为x，根据数字规律把其余4个数用含x的式子表示出来，再根据5个数的和为126列方程求解即可。
【解析】
设框中最小的数为x，根据月历数字规律和U形框的位置特征：
与x同一行、U形右上角的数比x大2，为$x+2$；
x正下方的数比x大7，为$x+7$；
$x+7$右侧相邻的数为$x+8$，再右侧相邻的数为$x+9$。
根据五个数的和是126，列方程：
$x + (x+2) + (x+7) + (x+8) + (x+9) = 126$
合并同类项得：$5x + 26 = 126$
移项计算：$5x = 126 - 26 = 100$
解得：$x = 20$
验证：当x=20时，五个数分别为20、22、27、28、29，均在月历表中，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1. 月历数字规律
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是数字规律类应用题，解题的核心是结合月历的数字特征，找准框内数字的数量关系，通过设未知数列方程即可快速求解，掌握规律后难度不大。
【难度系数】
0.7
