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14. 如图，在$\triangle ABC$中，$G$是$BC$的中点，$E$是$AG$的中点，$CE$的延长线交$AB$于点$D$，则$EC:DE =$
3:1
.答案
14.3:1
解析
证明：过点$G$作$GF // AB$交$CD$于点$F$。
因为$G$是$BC$的中点，$GF // AB$，所以$F$是$CD$的中点，即$CF = FD$。
因为$E$是$AG$的中点，$GF // AD$，所以$\triangle ADE \cong \triangle GFE$（AAS），则$DE = EF$。
设$DE = EF = x$，则$CF = FD = DE + EF = 2x$，所以$EC = EF + FC = x + 2x = 3x$。
因此，$EC:DE = 3x:x = 3:1$。
3:1
因为$G$是$BC$的中点，$GF // AB$，所以$F$是$CD$的中点，即$CF = FD$。
因为$E$是$AG$的中点，$GF // AD$，所以$\triangle ADE \cong \triangle GFE$（AAS），则$DE = EF$。
设$DE = EF = x$，则$CF = FD = DE + EF = 2x$，所以$EC = EF + FC = x + 2x = 3x$。
因此，$EC:DE = 3x:x = 3:1$。
3:1
15. 如图，$\triangle ABC$中有一正方形$DEFG$，其中点$D$在$AC$上，点$E$，$F$在$AB$上，直线$AG$分别交$DE$，$BC$于点$M$，$N$.若$\angle B = 90°$，$AB = 4$，$BC = 3$，$EF = 1$，则$BN$的长度为
$\frac{12}{7}$
.答案
15.$\frac{12}{7}$
解析
解：设正方形$DEFG$的边长为$x$，因为$EF = 1$，且四边形$DEFG$是正方形，所以$DE = EF = FG = GD = x = 1$，$DE\perp AB$，$GF\perp AB$。
设$AE = a$，则$AF = AE + EF = a + 1$。
因为$\angle B = 90^{\circ}$，$DE\perp AB$，所以$DE// BC$，$\triangle ADE\sim\triangle ACB$。
$\triangle ADE$中，$DE = 1$，$AE = a$；$\triangle ACB$中，$BC = 3$，$AB = 4$。
由相似三角形性质得：$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{1}{3}=\frac{a}{4}$，解得$a=\frac{4}{3}$，所以$AE=\frac{4}{3}$，$AF = \frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}$。
因为$GF\perp AB$，$\angle B = 90^{\circ}$，所以$GF// BC$，$\triangle AGF\sim\triangle ANB$。
$\triangle AGF$中，$GF = 1$，$AF=\frac{7}{3}$；$\triangle ANB$中，$BN = y$（设$BN = y$），$AB = 4$。
由相似三角形性质得：$\frac{GF}{BN}=\frac{AF}{AB}$，即$\frac{1}{y}=\frac{\frac{7}{3}}{4}$，解得$y = \frac{12}{7}$。
$\therefore BN=\frac{12}{7}$。
设$AE = a$，则$AF = AE + EF = a + 1$。
因为$\angle B = 90^{\circ}$，$DE\perp AB$，所以$DE// BC$，$\triangle ADE\sim\triangle ACB$。
$\triangle ADE$中，$DE = 1$，$AE = a$；$\triangle ACB$中，$BC = 3$，$AB = 4$。
由相似三角形性质得：$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{1}{3}=\frac{a}{4}$，解得$a=\frac{4}{3}$，所以$AE=\frac{4}{3}$，$AF = \frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}$。
因为$GF\perp AB$，$\angle B = 90^{\circ}$，所以$GF// BC$，$\triangle AGF\sim\triangle ANB$。
$\triangle AGF$中，$GF = 1$，$AF=\frac{7}{3}$；$\triangle ANB$中，$BN = y$（设$BN = y$），$AB = 4$。
由相似三角形性质得：$\frac{GF}{BN}=\frac{AF}{AB}$，即$\frac{1}{y}=\frac{\frac{7}{3}}{4}$，解得$y = \frac{12}{7}$。
$\therefore BN=\frac{12}{7}$。
16. 如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$CE$平分$\angle BCD$交$AB$于点$E$，交$BD$于点$F$，且$\angle ABC = 60°$，$AB = 2BC$，连接$OE$.有下列结论：
①$EO \perp AC$；
②$S_{\triangle AOD} = 4S_{\triangle OCF}$；
③$AC:BD = \sqrt{21}:7$；
④$FB^2 = OF · DF$.
其中正确的结论有
①$EO \perp AC$；
②$S_{\triangle AOD} = 4S_{\triangle OCF}$；
③$AC:BD = \sqrt{21}:7$；
④$FB^2 = OF · DF$.
其中正确的结论有
①③④
(填写所有正确结论的序号).答案
16.①③④
17. 一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯$D$的高度.如图，当李明走到点$A$处时，张龙测得李明直立时身高$AM$与其影子长$AE$正好相等；接着李明沿$AC$方向继续向前走，走到点$B$处时，李明直立时身高$BN$的影子恰好是线段$AB$，测得$AB = 1.25 m$.已知李明直立时的身高为$1.75 m$，求路灯的高$CD$(结果精确到$0.1 m$).
答案
17.路灯的高CD约为6.1 m.
解析
解：设路灯的高$CD = x\ m$，$AC = y\ m$。
因为$AM \perp EC$，$CD \perp EC$，且$AM = AE = 1.75\ m$，所以$\triangle EAM \sim \triangle ECD$，则$\frac{AM}{CD} = \frac{AE}{EC}$，即$\frac{1.75}{x} = \frac{1.75}{1.75 + y}$，化简得$x = 1.75 + y$。
又因为$BN \perp EC$，$BN = 1.75\ m$，$AB = 1.25\ m$，所以$\triangle ABN \sim \triangle ACD$，则$\frac{BN}{CD} = \frac{AB}{AC}$，即$\frac{1.75}{x} = \frac{1.25}{y}$。
将$x = 1.75 + y$代入$\frac{1.75}{x} = \frac{1.25}{y}$，得$\frac{1.75}{1.75 + y} = \frac{1.25}{y}$，解得$y = \frac{1.75 × 1.25}{1.75 - 1.25} = 4.375$。
所以$x = 1.75 + 4.375 = 6.125 \approx 6.1$。
答：路灯的高$CD$约为$6.1\ m$。
因为$AM \perp EC$，$CD \perp EC$，且$AM = AE = 1.75\ m$，所以$\triangle EAM \sim \triangle ECD$，则$\frac{AM}{CD} = \frac{AE}{EC}$，即$\frac{1.75}{x} = \frac{1.75}{1.75 + y}$，化简得$x = 1.75 + y$。
又因为$BN \perp EC$，$BN = 1.75\ m$，$AB = 1.25\ m$，所以$\triangle ABN \sim \triangle ACD$，则$\frac{BN}{CD} = \frac{AB}{AC}$，即$\frac{1.75}{x} = \frac{1.25}{y}$。
将$x = 1.75 + y$代入$\frac{1.75}{x} = \frac{1.25}{y}$，得$\frac{1.75}{1.75 + y} = \frac{1.25}{y}$，解得$y = \frac{1.75 × 1.25}{1.75 - 1.25} = 4.375$。
所以$x = 1.75 + 4.375 = 6.125 \approx 6.1$。
答：路灯的高$CD$约为$6.1\ m$。
