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18. 如图，在$□ ABCD$中，点$E$是$AD$上一点，延长$CE$到点$F$，使$\angle FBC = \angle DCE$.
(1) 求证$\angle D = \angle F$.
(2) 用直尺和圆规在$AD$上作出一点$P$，使$\triangle BPC \backsim \triangle CDP$(保留作图的痕迹，不写作法).
(1) 求证$\angle D = \angle F$.
(2) 用直尺和圆规在$AD$上作出一点$P$，使$\triangle BPC \backsim \triangle CDP$(保留作图的痕迹，不写作法).
答案
证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD//BC
∴∠DEC=∠FCB
∵∠FBC=∠DCE
∴∠D=∠F
(2)如图,点P为所作.(提示:利用圆周角定理作∠BPC = ∠F.)
19. 如图，在$ Rt \triangle ABC$中，$\angle BAC = 90°$，点$D$是$AC$上一点，$\angle ABD = \angle C$，直线$EF$过点$D$，与$BA$的延长线相交于点$F$，且$EF \perp BC$，垂足为$E$.
(1) 写出图中所有与$\triangle ABD$相似的三角形.
(2) 探索：设$\frac{AC}{AB} = t$，是否存在这样的$t$值，使得$\triangle ADF \backsim \triangle EDB$？说明理由.
(1) 写出图中所有与$\triangle ABD$相似的三角形.
(2) 探索：设$\frac{AC}{AB} = t$，是否存在这样的$t$值，使得$\triangle ADF \backsim \triangle EDB$？说明理由.
答案
解：$(1)△ACB，$$△EFB，$$△AFD，$$△ECD$都与$△ABD$相似
$(2)t=\sqrt {3}$时，$△ADF∽△EDB，$理由如下：
∵$\frac {AC}{AB}=\sqrt {3}$∴$AB=\frac 12BC$
∴$∠C=30°$
∵$∠ABD=∠C=30°$∴$∠DBE=30°$
∵$∠ADF=∠CDE$∴$∠F=∠C=30°$
∴$∠F=∠DBE$
又∵$∠DAF=∠DEB=90°$∴$△ADF∽△EDB$
$(2)t=\sqrt {3}$时，$△ADF∽△EDB，$理由如下：
∵$\frac {AC}{AB}=\sqrt {3}$∴$AB=\frac 12BC$
∴$∠C=30°$
∵$∠ABD=∠C=30°$∴$∠DBE=30°$
∵$∠ADF=∠CDE$∴$∠F=∠C=30°$
∴$∠F=∠DBE$
又∵$∠DAF=∠DEB=90°$∴$△ADF∽△EDB$
20. 如图，在锐角三角形纸片$ABC$中，$AC ＞ BC$，点$D$，$E$，$F$分别在边$AB$，$BC$，$CA$上，且$DE // AC$，$DF // BC$.
(1) 判断：四边形$DECF$一定是什么形状的四边形？
(2) 探索：当$AC = 24 cm$，$BC = 20 cm$，$\angle ACB = 45°$时，如何剪四边形$DECF$，使它的面积最大？证明你的结论.
(1) 判断：四边形$DECF$一定是什么形状的四边形？
(2) 探索：当$AC = 24 cm$，$BC = 20 cm$，$\angle ACB = 45°$时，如何剪四边形$DECF$，使它的面积最大？证明你的结论.
答案
解：$(1)$∵$DE//AC，$$DF//BC$
∴四边形$DECF$一定是平行四边形
$(2)$∵$DF//BC$
∴$△ADF∽△ABC$
∴$\frac {S_{△ADF}}{S_{△ABC}}={(\frac {AF}{AC})}^{2}$
∴$S_{△ADF}=\frac {{AF}^{2}}{{AC}^{2}}S_{△ABC}$
同理可得，
$S_{△BDE}=\frac {{DE}^{2}}{{AC}^{2}}·S_{△ABC}$
∵四边形$DECF$为平行四边形
∴$DE=CF$
∴$S_{△BDE}=\frac {{CF}^{2}}{{AC}^{2}}·S_{△ABC}$
∴$S_{△ADF}+S_{△BDE}=\frac {{AF}^{2}+{CF}^{2}}{{AC}^{2}}·S_{△ABC}$
设$AF=x cm，$则$CF=(24-x) cm，$
${AF}^{2}+{CF}^{2}={x}^{2}+{(24-x)}^{2}$
$=2{x}^{2}-48x+576$
当$x=12，$即$F$是$AC$的中点时，
$S_{△ADF}+S_{△BDE}$最小，
四边形$DECF$的面积最大
