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6. (2025 昭通期末)如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90° $，$ DE \perp AB $ 于点 $ E $，且 $ AE = AC $. 若 $ BC = 7 $，则 $ DE + BD $ 的值为().
A.14
B.12
C.9
D.7
A.14
B.12
C.9
D.7
答案
D
解析
连接AD。
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠AED=∠C=90°。
在Rt△AED和Rt△ACD中，
∵AE=AC，AD=AD，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL）。
∴DE=DC。
∵BC=7，
∴DE+BD=DC+BD=BC=7。
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠AED=∠C=90°。
在Rt△AED和Rt△ACD中，
∵AE=AC，AD=AD，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL）。
∴DE=DC。
∵BC=7，
∴DE+BD=DC+BD=BC=7。
7. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB \perp BC $ 于点 $ B $，$ BE \perp AC $ 于点 $ E $，$ \angle 1 = \angle 2 $，$ AD = AB $，则下列结论中不正确的是().
A.$ BF = DF $
B.$ \angle 1 = \angle EFD $
C.$ BF ＞ EF $
D.$ FD // BC $
A.$ BF = DF $
B.$ \angle 1 = \angle EFD $
C.$ BF ＞ EF $
D.$ FD // BC $
答案
B
解析
∵∠1=∠2，AD=AB，AF=AF，∴△ABF≌△ADF（SAS），∴BF=DF（A正确），∠ABF=∠ADF.
∵AB⊥BC，BE⊥AC，∴∠ABF+∠BAC=90°，∠ACB+∠BAC=90°，∴∠ABF=∠ACB，∴∠ADF=∠ACB，∴FD//BC（D正确）.
∵FD//BC，∴∠EFD=∠EBC（内错角相等）.
∵BF=DF，且在Rt△DEF中DF＞EF（斜边大于直角边），∴BF＞EF（C正确）.
∵∠EFD=∠EBC=90°-∠ACB=90°-∠ABF，而∠ABF=90°-2∠1（由△ABF内角和得），∴∠EFD=2∠1≠∠1（B错误）.
8. (易错题)如图，在 $ 5 × 5 $ 的正方形网格中，$ \triangle ABC $ 的三个顶点都在格点上，则与 $ \triangle ABC $ 有一条公共边且全等(不与 $ \triangle ABC $ 重合)的格点三角形(顶点都在格点上的三角形)共有( ).
A.5 个
B.6 个
C.7 个
D.8 个
A.5 个
B.6 个
C.7 个
D.8 个
答案
B
9. 如图，在 $ \triangle AOB $ 与 $ \triangle COD $ 中，$ \angle A = \angle C $，请添加一个条件：，使得 $ \triangle AOB \cong \triangle COD $.
答案
AO=CO（答案不唯一）
解析
已知∠A=∠C，∠AOB=∠COD（对顶角相等），根据AAS或ASA可添加条件。若添加AO=CO，则由ASA可得△AOB≌△COD；若添加BO=DO或AB=CD，由AAS也可证全等。
10. 在如图的 $ 3 × 3 $ 的正方形网格中，$ \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 $ 的度数为.
答案
135°
解析
在3×3正方形网格中，设每个小正方形边长为1。
∠3所在三角形两直角边均为2（横向2格，纵向2格），是等腰直角三角形，故∠3=45°。
∠1与∠2所在三角形分别为直角边1和2的直角三角形，通过全等或角度关系可证∠1+∠2=90°（tan∠1=1/2，tan∠2=2，二者互为余角）。
因此，∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°。
∠3所在三角形两直角边均为2（横向2格，纵向2格），是等腰直角三角形，故∠3=45°。
∠1与∠2所在三角形分别为直角边1和2的直角三角形，通过全等或角度关系可证∠1+∠2=90°（tan∠1=1/2，tan∠2=2，二者互为余角）。
因此，∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°。
11. 如图，点 $ O $ 在 $ \triangle ABC $ 内，且到三边的距离相等. 若 $ \angle BOC = 3\angle A $，则 $ \angle A = $.
答案
36°
解析
∵点O到△ABC三边距离相等，∴O为△ABC内心，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB。设∠A=x，则∠BOC=3x。在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-x，∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)/2=(180°-x)/2=90°-x/2。在△BOC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(90°-x/2)=90°+x/2。∵∠BOC=3x，∴3x=90°+x/2，解得x=36°，即∠A=36°。
12. 如图，$ \angle A = \angle B = 90° $，$ AB = 80 $，点 $ E $ 和点 $ F $ 分别为线段 $ AB $ 和射线 $ BD $ 上的一点. 若点 $ E $ 从点 $ B $ 出发向点 $ A $ 运动，同时，点 $ F $ 从点 $ B $ 出发沿 $ BD $ 运动，点 $ E $ 和点 $ F $ 的运动速度之比为 $ 2:3 $，运动到某时刻，点 $ E $ 和点 $ F $ 同时停止运动，在射线 $ AC $ 上取一点 $ G $，使 $ \triangle AEG $ 与 $ \triangle BEF $ 全等，则 $ AG $ 的长为.
答案
32或60
解析
设点$E$的运动速度为$2x$，则点$F$的运动速度为$3x$。
假设$\triangle AEG\cong\triangle BEF$，则$AE = BE$，$AG = BF$，
因为$AE+BE=AB = 80$，
所以$AE = BE=40$，
此时$AE = 80 - 2xt=40$，
解得$xt = 20$，
则$BF = 3xt = 60$，
所以$AG = 60$；
假设$\triangle AEG\cong\triangle BFE$，则$AE = BF$，$AG = BE$，
设运动时间为$t$，则$BE = 2xt$，$BF = 3xt$，
所以$AG = 2xt$，$AE = 80 - 2xt$，
因为$AE = BF$，
所以$80 - 2xt = 3xt$，
$5xt = 80$，
解得$xt = 16$，
所以$AG = BE = 2xt = 32$。
假设$\triangle AEG\cong\triangle BEF$，则$AE = BE$，$AG = BF$，
因为$AE+BE=AB = 80$，
所以$AE = BE=40$，
此时$AE = 80 - 2xt=40$，
解得$xt = 20$，
则$BF = 3xt = 60$，
所以$AG = 60$；
假设$\triangle AEG\cong\triangle BFE$，则$AE = BF$，$AG = BE$，
设运动时间为$t$，则$BE = 2xt$，$BF = 3xt$，
所以$AG = 2xt$，$AE = 80 - 2xt$，
因为$AE = BF$，
所以$80 - 2xt = 3xt$，
$5xt = 80$，
解得$xt = 16$，
所以$AG = BE = 2xt = 32$。
13. 如图，$ \angle BAC = 90° $，$ AD $ 是 $ \angle BAC $ 内部的一条射线，若 $ AB = AC $，$ BE \perp AD $ 于点 $ E $，$ CF \perp AD $ 于点 $ F $. 求证：$ AF = BE $.
答案
证明：
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE + ∠CAF = 90°。
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠CFA=90°，
∴∠BAE + ∠ABE = 90°，
∴∠ABE=∠CAF。
在△ABE和△CAF中，
∠AEB=∠CFA，
∠ABE=∠CAF，
AB=AC，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AF=BE。
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE + ∠CAF = 90°。
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠CFA=90°，
∴∠BAE + ∠ABE = 90°，
∴∠ABE=∠CAF。
在△ABE和△CAF中，
∠AEB=∠CFA，
∠ABE=∠CAF，
AB=AC，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AF=BE。
