10. (★) 如图 22.1 - 1, 用一段长为 $ 30 \, m $ 的篱笆围成一个一边靠墙 (墙的长度不限) 的矩形菜园 $ ABCD $, 设 $ AB $ 边长为 $ x \, m $, 则菜园的面积 $ y $ (单位: $ m^2 $ ) 与 $ x $ (单位: $ m $ ) 的函数关系式为. (不要求写出自变量 $ x $ 的取值范围)

$ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 1 5 x $

设 $ AB $ 边长为 $ x $ 米，且矩形的对边相等，所以 $ CD $ 的长度也为 $ x $ 米。
由于一边靠墙，所以只需要用篱笆围三边，即 $ AD $、$ AB $、$ BC $，其中 $ AD = BC $。
篱笆的总长为 $ 30 $ 米，所以有：
$ AD + AB + BC = 30 $，
由于 $ AD = BC $，设 $ AD $ 的长度为 $ l $，则：
$ l + x + l = 30 $，
$ 2l + x = 30 $，
$ 2l = 30 - x $，
$ l = \frac{30 - x}{2} $。
矩形菜园的面积 $ y $ 为 $ AB $ 和 $ AD $ 的乘积，即：
$ y = x × l $，
$ y = x × \frac{30 - x}{2} $，
$ y = -\frac{1}{2}x^2 + 15x $。
所以，菜园的面积 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式为：
$ y = -\frac{1}{2}x^2 + 15x $。

11. (★) 某校九 (1) 班共有 $ x $ 名学生, 在毕业典礼上每两名同学都握一次手, 共握手 $ y $ 次, 则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为.

$y = \frac{1}{2}x(x - 1)$

设共有$x$名学生，每两名同学都握一次手，因此每名学生需要与其他$x - 1$名学生握手。但这样每次握手会被计算两次（A与B握手和B与A握手是同一次握手），所以总的握手次数为$\frac{x(x - 1)}{2}$。
因此，$y$与$x$之间的函数关系式为$y = \frac{1}{2}x(x - 1)$。

12. (★★) 某商店经营一种成本为每千克 $ 40 $ 元的水产品, 据市场调查分析, 若按每千克 $ 50 $ 元销售, 一个月能售出 $ 500 $ 千克, 销售单价每涨 $ 1 $ 元, 月销售量就减少 $ 10 $ 千克. 针对这种水产品的销售情况, 解答下列问题:
(1) 当销售单价定为每千克 $ 55 $ 元时, 计算月销售量和月销售利润;
(2) 设涨价后的销售单价为每千克 $ x(x ＞ 50) $ 元, 月销售利润为 $ y $ 元, 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式.

(1)
月销售量：
原销售量为$500$千克，销售单价从$50$元涨到$55$元，涨了$5$元。
根据条件，月销售量减少$10 × 5 = 50$千克。
所以月销售量为$500 - 50 = 450$千克。
月销售利润：
每千克利润为$55 - 40 = 15$元。
月销售利润为$15 × 450 = 6750$元。
(2)
销售单价为$x$元，比$50$元涨了$x - 50$元。
月销售量减少$10(x - 50)$千克。
月销售量为$500 - 10(x - 50) = 500 - 10x + 500 = 1000 - 10x$千克。
每千克利润为$x - 40$元。
月销售利润$y = (x - 40)(1000 - 10x)$
$y = 1000x - 10x^{2} - 40000 + 400x$
$y = -10x^{2} + 1400x - 40000$
综上，$y$与$x$的函数关系式为$y = - 10x^{2} + 1400x - 40000$。

13. (★) 已知二次函数 $ y = x^2 + 2x - 7 $.
(1) 当 $ x = -1 $ 时, 求函数 $ y $ 的值.
(2) 当 $ x $ 取何值时, 函数 $ y $ 的值为 $ 8 $?

(1)
当$x = -1$时，将$x=-1$代入二次函数$y = x^{2}+2x - 7$中：
$y=(-1)^{2}+2×(-1)-7$
$=1 - 2 - 7$
$=-8$
(2)
当$y = 8$时，可得方程$x^{2}+2x - 7 = 8$，移项化为标准的一元二次方程形式：
$x^{2}+2x-15 = 0$
分解因式得$(x - 3)(x+5)=0$
则$x - 3 = 0$或$x + 5 = 0$
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-5$
答：(1)当$x = -1$时，$y$的值为$-8$；(2)当$x = 3$或$x=-5$时，函数$y$的值为$8$。

1. (★)(1)一次函数的图象是一条.
(2)一般地,二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象叫做.

(1)直线；(2)抛物线

(1)根据一次函数的定义和性质，一次函数的图象是一条直线。
(2)由二次函数的基本概念可知，二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象叫做抛物线。

2. (★)一般地,抛物线$y = ax^{2}$的对称轴是,顶点是.当$a ＞ 0$时,抛物线的开口,顶点是抛物线的；当$a ＜ 0$时,抛物线的开口,顶点是抛物线的.对于抛物线$y = ax^{2}$,$\vert a\vert$越大,抛物线的开口越.

$y$轴（或$x = 0$）；原点（或$(0,0)$）；向上；最低点；向下；最高点；窄。

本题可根据二次函数$y = ax^{2}$的图象性质来填空。
对于二次函数$y = ax^{2}$，其图象是一条抛物线，对称轴为$y$轴（即$x = 0$），顶点坐标为$(0,0)$。
当$a\gt0$时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当$a\lt0$时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。
对于抛物线$y = ax^{2}$，$\vert a\vert$越大，抛物线的开口越窄。

3. (★)已知二次函数$y = x^{2}$,当$x ＞ 0$时,$y随x$的增大而(填“增大”或“减小”).

增大

对于二次函数$y = x^{2}$，其二次项系数$a = 1\gt 0$，所以该函数的图象开口向上，对称轴为$y$轴（即$x = 0$）。
当$x\gt 0$时，函数$y$随$x$的增大而增大。

4. (★★)抛物线$y= \frac{1}{2}x^{2}$,$y = x^{2}$,$y = -x^{2}$的共同性质是：①都是开口向上；②都以点$(0,0)$为顶点；③都以$y$轴为对称轴；④都关于$x$轴对称.其中正确的个数为【】
A.1
B.2
C.3
D.4

B

1. 对于开口方向：
$y = \frac{1}{2}x^{2}$ 和 $y = x^{2}$ 开口向上，$y = -x^{2}$ 开口向下，所以①错误。
2. 对于顶点：
三条抛物线的顶点坐标都是 $(0, 0)$，所以②正确。
3. 对于对称轴：
三条抛物线的对称轴都是 $y$ 轴（即 $x = 0$），所以③正确。
4. 对于关于 $x$ 轴对称：
三条抛物线都不关于 $x$ 轴对称（它们关于 $y$ 轴对称），所以④错误。
正确的有②和③，共2个。