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8. ($★★$)如图$23 - 6$,在正方形网格中,$\triangle ABC$的三个顶点都在格点上,点$A$,$B$,$C的坐标分别为(-2,4)$,$(-2,0)$,$(-4,1)$,结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)画出$\triangle ABC关于原点O对称的\triangle A_1B_1C_1$；
(2)平移$\triangle ABC$,使点$A移动到点A_2(0,2)$,画出平移后的$\triangle A_2B_2C_2$,并写出点$B_2$,$C_2$的坐标；
(3)在$\triangle ABC$,$\triangle A_1B_1C_1$,$\triangle A_2B_2C_2$中,$\triangle A_2B_2C_2$与______成中心对称,其对称中心的坐标为______.
(1) 图略
(2) $B_2(0,-2)$，$C_2(-2,-1)$，图略
(3) $\triangle A_1B_1C_1$；$(1,-1)$
(1)画出$\triangle ABC关于原点O对称的\triangle A_1B_1C_1$；
(2)平移$\triangle ABC$,使点$A移动到点A_2(0,2)$,画出平移后的$\triangle A_2B_2C_2$,并写出点$B_2$,$C_2$的坐标；
(3)在$\triangle ABC$,$\triangle A_1B_1C_1$,$\triangle A_2B_2C_2$中,$\triangle A_2B_2C_2$与______成中心对称,其对称中心的坐标为______.
(1) 图略
(2) $B_2(0,-2)$，$C_2(-2,-1)$，图略
(3) $\triangle A_1B_1C_1$；$(1,-1)$
答案
(1) 如图所示
(2) $B_2(0,-2)$，$C_2(-2,-1)$，如图
(3) $\triangle A_1B_1C_1$；$(1,-1)$
9. ($★$)如图$23 - 7$,正方形$OABC绕着点O逆时针旋转40^{\circ}得到正方形ODEF$,则$\angle DOC$的度数是【
A.$25^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
C
】A.$25^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案
C
解析
∵正方形OABC中，∠AOC=90°，
正方形OABC绕点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，
∴∠AOD=40°，
∴∠DOC=∠AOC - ∠AOD=90° - 40°=50°。
C
10. ($★$)如图$23 - 8$,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC$顶点的横、纵坐标都是整数.若将$\triangle ABC$以某点为旋转中心,顺时针旋转$90^{\circ}得到\triangle DEF$,其中点$A$,$B$,$C分别和点D$,$E$,$F$对应,则旋转中心的坐标是【
A.$A(0,0)$
B.$(1,0)$
C.$(1,-1)$
D.$(0.5,0.5)$
B
】A.$A(0,0)$
B.$(1,0)$
C.$(1,-1)$
D.$(0.5,0.5)$
答案
B
解析
设旋转中心为$O(x,y)$，根据平面直角坐标系中图形旋转的性质，旋转中心到对应点的距离相等，且对应点连线的垂直平分线交于旋转中心。选取两组对应点，如$A$与$D$、$B$与$E$，分别作其连线的垂直平分线，交点即为旋转中心。
假设$A(1,2)$对应$D(3,0)$，$B(2,3)$对应$E(4,1)$，$C(0,0)$对应$F(1,1)$。
对于$A(1,2)$和$D(3,0)$，中点为$(2,1)$，连线斜率为$\frac{0-2}{3-1}=-1$，垂直平分线斜率为$1$，方程：$y - 1 = x - 2$，即$y = x - 1$。
对于$C(0,0)$和$F(1,1)$，中点为$(0.5,0.5)$，连线斜率为$\frac{1-0}{1-0}=1$，垂直平分线斜率为$-1$，方程：$y - 0.5 = - (x - 0.5)$，即$y = -x + 1$。
联立两垂直平分线方程$\begin{cases}y = x - 1 \\ y = -x + 1\end{cases}$，解得$x = 1$，$y = 0$。
故旋转中心坐标为$(1,0)$。
假设$A(1,2)$对应$D(3,0)$，$B(2,3)$对应$E(4,1)$，$C(0,0)$对应$F(1,1)$。
对于$A(1,2)$和$D(3,0)$，中点为$(2,1)$，连线斜率为$\frac{0-2}{3-1}=-1$，垂直平分线斜率为$1$，方程：$y - 1 = x - 2$，即$y = x - 1$。
对于$C(0,0)$和$F(1,1)$，中点为$(0.5,0.5)$，连线斜率为$\frac{1-0}{1-0}=1$，垂直平分线斜率为$-1$，方程：$y - 0.5 = - (x - 0.5)$，即$y = -x + 1$。
联立两垂直平分线方程$\begin{cases}y = x - 1 \\ y = -x + 1\end{cases}$，解得$x = 1$，$y = 0$。
故旋转中心坐标为$(1,0)$。
11. ($★★$)如图$23 - 9$,$P是正方形ABCD$内一点,将$\triangle ABP绕点B顺时针方向旋转后与\triangle CBP'$重合,若$PB = 3$,则$\angle BP'P$的度数为______,$PP' = $______.
45°
,$3\sqrt{2}$
答案
$ \angle BP'P $的度数为$45°$，$ PP' = 3\sqrt{2} $
填：$45°$, $3\sqrt{2}$（若分开填则第一个填$45°$，第二个填$3\sqrt{2}$）
填：$45°$, $3\sqrt{2}$（若分开填则第一个填$45°$，第二个填$3\sqrt{2}$）
解析
连接$ PP' $。
根据旋转的性质，$ BP = BP' $，$\angle PBP' = 90° $。
$ \triangle PBP' $为等腰直角三角形，所以$ \angle BP'P = 45° $。
根据等腰直角三角形的性质，$ PP' = \sqrt{PB^2 + BP'^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $。
根据旋转的性质，$ BP = BP' $，$\angle PBP' = 90° $。
$ \triangle PBP' $为等腰直角三角形，所以$ \angle BP'P = 45° $。
根据等腰直角三角形的性质，$ PP' = \sqrt{PB^2 + BP'^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $。
12. ($★★★$)通过类比联想,引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例,请补充完整.
原题：如图$23 - 10$①,点$E$,$F分别在正方形ABCD的边BC$,$CD$上,$\angle EAF = 45^{\circ}$,连接$EF$,试猜想$EF$,$BE$,$DF$之间的数量关系.
(1)思路梳理：把$\triangle ABE绕点A逆时针旋转90^{\circ}至\triangle ADG$,可使$AB与AD$重合,由$\angle ADG = \angle B = 90^{\circ}$,得$\angle FDG = 180^{\circ}$,即点$F$,$D$,$G$共线,易证$\triangle AFG\cong$
(2)类比引申：如图$23 - 10$②,点$E$,$F分别在正方形ABCD的边CB$,$DC$的延长线上,$\angle EAF = 45^{\circ}$.连接$EF$,试猜想$EF$,$BE$,$DF$之间的数量关系,并给出证明.
EF=DF-BE.
证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABF'，则△ADF≌△ABF'，
∴∠ADF=∠ABF'=90°，DF=BF'，AF=AF'，∠DAF=∠BAF'.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，点E在CB延长线上，
∴∠ABE=180°-∠ABC=90°，
∴∠ABF'=∠ABE=90°，故点F'在EB的延长线上.
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=45°，
又∠DAF=∠BAF'，
∴∠BAF'+∠BAE=45°，即∠EAF'=45°，
∴∠EAF=∠EAF'.
在△AEF和△AEF'中，
$\left\{\begin{array}{l}AF=AF'\\ \angle EAF=\angle EAF'\\ AE=AE\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEF'（SAS），
∴EF=EF'.
∵EF'=BF'-BE，BF'=DF，
∴EF=DF-BE.
原题：如图$23 - 10$①,点$E$,$F分别在正方形ABCD的边BC$,$CD$上,$\angle EAF = 45^{\circ}$,连接$EF$,试猜想$EF$,$BE$,$DF$之间的数量关系.
(1)思路梳理：把$\triangle ABE绕点A逆时针旋转90^{\circ}至\triangle ADG$,可使$AB与AD$重合,由$\angle ADG = \angle B = 90^{\circ}$,得$\angle FDG = 180^{\circ}$,即点$F$,$D$,$G$共线,易证$\triangle AFG\cong$
△AFE
,故$EF$,$BE$,$DF$之间的数量关系为EF=BE+DF
.(2)类比引申：如图$23 - 10$②,点$E$,$F分别在正方形ABCD的边CB$,$DC$的延长线上,$\angle EAF = 45^{\circ}$.连接$EF$,试猜想$EF$,$BE$,$DF$之间的数量关系,并给出证明.
EF=DF-BE.
证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABF'，则△ADF≌△ABF'，
∴∠ADF=∠ABF'=90°，DF=BF'，AF=AF'，∠DAF=∠BAF'.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，点E在CB延长线上，
∴∠ABE=180°-∠ABC=90°，
∴∠ABF'=∠ABE=90°，故点F'在EB的延长线上.
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=45°，
又∠DAF=∠BAF'，
∴∠BAF'+∠BAE=45°，即∠EAF'=45°，
∴∠EAF=∠EAF'.
在△AEF和△AEF'中，
$\left\{\begin{array}{l}AF=AF'\\ \angle EAF=\angle EAF'\\ AE=AE\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEF'（SAS），
∴EF=EF'.
∵EF'=BF'-BE，BF'=DF，
∴EF=DF-BE.
答案
（1）△AFE；EF=BE+DF
（2）EF=DF-BE.
证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABF'，则△ADF≌△ABF'，
∴∠ADF=∠ABF'=90°，DF=BF'，AF=AF'，∠DAF=∠BAF'.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，点E在CB延长线上，
∴∠ABE=180°-∠ABC=90°，
∴∠ABF'=∠ABE=90°，故点F'在EB的延长线上.
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=45°，
又∠DAF=∠BAF'，
∴∠BAF'+∠BAE=45°，即∠EAF'=45°，
∴∠EAF=∠EAF'.
在△AEF和△AEF'中，
$\left\{\begin{array}{l}AF=AF'\\ \angle EAF=\angle EAF'\\ AE=AE\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEF'（SAS），
∴EF=EF'.
∵EF'=BF'-BE，BF'=DF，
∴EF=DF-BE.
（2）EF=DF-BE.
证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABF'，则△ADF≌△ABF'，
∴∠ADF=∠ABF'=90°，DF=BF'，AF=AF'，∠DAF=∠BAF'.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，点E在CB延长线上，
∴∠ABE=180°-∠ABC=90°，
∴∠ABF'=∠ABE=90°，故点F'在EB的延长线上.
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=45°，
又∠DAF=∠BAF'，
∴∠BAF'+∠BAE=45°，即∠EAF'=45°，
∴∠EAF=∠EAF'.
在△AEF和△AEF'中，
$\left\{\begin{array}{l}AF=AF'\\ \angle EAF=\angle EAF'\\ AE=AE\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEF'（SAS），
∴EF=EF'.
∵EF'=BF'-BE，BF'=DF，
∴EF=DF-BE.
