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1. ($★$)钟表的分针匀速旋转一周需要$60$分钟,经过$20$分钟,分针旋转了
120
度.答案
$120$
解析
钟表的分针旋转一周是$360$度，需要$60$分钟，因此每分钟旋转的角度为$360 ÷ 60 = 6$度。经过$20$分钟，分针旋转的角度为$6 × 20 = 120$度。
2. ($★$)如图$23 - 1$,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$. $\triangle ABC按逆时针方向转动一个角度后得到\triangle ACD$,则图中点
A
是旋转中心,旋转角等于90
度,点$B$与点D
是对应点,点$C$与点C
是对应点,$\angle ACD$与∠ACB
是对应角,$AD$与AB
是对应边.答案
A；90；D；C；∠ACB；AB
解析
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，△ABC按逆时针方向转动后得到△ACD。因为旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，AB与AD、AC与AC是对应边，所以旋转中心是点A。旋转角为∠BAC或∠CAD，由于∠BAC=90°，所以旋转角等于90度。点B与点D是对应点，点C与点C是对应点（自身对应），∠ACD与∠ACB是对应角，AD与AB是对应边。
3. ($★$)在①线段,②角,③等边三角形,④平行四边形,⑤菱形,⑥圆,⑦正八边形这些图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是
①⑤⑥⑦
(填序号).答案
①⑤⑥⑦
解析
①线段：是轴对称图形（对称轴为线段垂直平分线和线段所在直线），也是中心对称图形（对称中心为线段中点）；②角：是轴对称图形（对称轴为角平分线所在直线），不是中心对称图形；③等边三角形：是轴对称图形（三条对称轴），不是中心对称图形；④平行四边形：不是轴对称图形，是中心对称图形（对称中心为对角线交点）；⑤菱形：是轴对称图形（两条对角线所在直线为对称轴），也是中心对称图形（对称中心为对角线交点）；⑥圆：是轴对称图形（无数条对称轴，过圆心的直线），也是中心对称图形（对称中心为圆心）；⑦正八边形：是轴对称图形（八条对称轴），也是中心对称图形（对称中心为中心）。综上，既是轴对称图形又是中心对称图形的是①⑤⑥⑦。
4. ($★$)如图$23 - 2$,$\triangle DEC与\triangle ABC关于点C$成中心对称,$AB = 3$,$AC = 1$,$\angle D = 90^{\circ}$,则线段$AE$的长是
√13
.答案
√13
解析
∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，∴AC=DC=1，AB=DE=3，∠A=∠D=90°，且C为AD中点。
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立坐标系：A(0,0)，B(3,0)，C(0,1)。
∵C为AD中点，∴D(0,2)；C为BE中点，设E(x,y)，则(3+x)/2=0，(0+y)/2=1，解得E(-3,2)。
∴AE=√[(-3-0)²+(2-0)²]=√13。
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立坐标系：A(0,0)，B(3,0)，C(0,1)。
∵C为AD中点，∴D(0,2)；C为BE中点，设E(x,y)，则(3+x)/2=0，(0+y)/2=1，解得E(-3,2)。
∴AE=√[(-3-0)²+(2-0)²]=√13。
5. ($★★$)如图$23 - 3$,在平面直角坐标系中,$OA = AB = 5$,点$B到y轴的距离为4$,将$\triangle OAB关于原点对称得到\triangle O'A'B'$,再将$\triangle O'A'B'向左平移5个单位长度得到\triangle O''A''B''$,则点$B''$的坐标为【
A.(-8，-8)
B.$(-8,-9)$
C.$(-9,-9)$
D.$(-9,-8)$
D
】A.(-8，-8)
B.$(-8,-9)$
C.$(-9,-9)$
D.$(-9,-8)$
答案
D
解析
设点B坐标为(4,y)（点B到y轴距离为4，横坐标为4）。点A在y轴上，OA=5，故A(0,5)。由AB=5，得√[(4-0)²+(y-5)²]=5，解得y=8，即B(4,8)。△OAB关于原点对称得B'(-4,-8)，再向左平移5个单位，B''横坐标为-4-5=-9，纵坐标不变，故B''(-9,-8)。
6. ($★★$)($2022·$河南)如图$23 - 4$,在平面直角坐标系中,边长为$2的正六边形ABCDEF的中心与原点O$重合,$AB// x$轴,交$y轴于点P$.将$\triangle OAP绕点O$顺时针旋转,每次旋转$90^{\circ}$,则第$2022$次旋转结束时,点$A$的坐标为【
A.$(\sqrt{3},-1)$
B.$(-1,-\sqrt{3})$
C.$(-\sqrt{3},-1)$
D.$(1,\sqrt{3})$
B
】A.$(\sqrt{3},-1)$
B.$(-1,-\sqrt{3})$
C.$(-\sqrt{3},-1)$
D.$(1,\sqrt{3})$
答案
B
解析
首先确定初始点A的坐标。正六边形中心在原点，边长为2，AB//x轴且交y轴于P。正六边形半径等于边长，故OA=2。AB中点P在y轴上，AP=1，由勾股定理得A的纵坐标为√(2²-1²)=√3，因此A(1, √3)。
将点A绕原点顺时针旋转90°，坐标变换公式为(x,y)→(y,-x)。
第1次旋转：(1, √3)→(√3, -1)
第2次旋转：(√3, -1)→(-1, -√3)
第3次旋转：(-1, -√3)→(-√3, 1)
第4次旋转：(-√3, 1)→(1, √3)，周期为4。
2022÷4=505余2，故第2022次旋转后坐标与第2次相同，为(-1, -√3)。
将点A绕原点顺时针旋转90°，坐标变换公式为(x,y)→(y,-x)。
第1次旋转：(1, √3)→(√3, -1)
第2次旋转：(√3, -1)→(-1, -√3)
第3次旋转：(-1, -√3)→(-√3, 1)
第4次旋转：(-√3, 1)→(1, √3)，周期为4。
2022÷4=505余2，故第2022次旋转后坐标与第2次相同，为(-1, -√3)。
7. ($★★$)如图$23 - 5$,已知正方形$ABCD的边长为3$,$E为CD$边上一点,$DE = 1$.以点$A$为中心,把$\triangle ADE顺时针旋转90^{\circ}$,得$\triangle ABE'$,连接$EE'$,求$EE'$的长.
答案
∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=3，∠DAB=90°，∠ADE=90°。
由旋转性质得：△ADE≌△ABE'，∴AE=AE'，∠DAE=∠BAE'，DE=BE'=1。
∵∠DAB=∠DAE+∠EAB=90°，∴∠BAE'+∠EAB=∠EAE'=90°。
在Rt△ADE中，AD=3，DE=1，由勾股定理得：AE=√(AD²+DE²)=√(3²+1²)=√10。
在△EAE'中，AE=AE'，∠EAE'=90°，由勾股定理得：EE'=√(AE²+AE'²)=√(10+10)=√20=2√5。
答：EE'的长为2√5。
由旋转性质得：△ADE≌△ABE'，∴AE=AE'，∠DAE=∠BAE'，DE=BE'=1。
∵∠DAB=∠DAE+∠EAB=90°，∴∠BAE'+∠EAB=∠EAE'=90°。
在Rt△ADE中，AD=3，DE=1，由勾股定理得：AE=√(AD²+DE²)=√(3²+1²)=√10。
在△EAE'中，AE=AE'，∠EAE'=90°，由勾股定理得：EE'=√(AE²+AE'²)=√(10+10)=√20=2√5。
答：EE'的长为2√5。
