10. (★★)如图28.1-32,一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的影子CD的长为1米,太阳光线与地面的夹角∠ACD = 60°,则AB的长为【】

A.$\frac{1}{2}$米
B.$\sqrt{3}$米
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$米

D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$米
]

B

过点D作DE//AC交AB于点E，由题意得四边形ACDE为平行四边形，所以AE=CD=1米，∠BED=∠ACD=60°。在Rt△BED中，tan∠BED=BD/ED，由于ED=AC，而AB=AE+EB，EB=ED·tan60°=1×√3=√3米，故AB=√3米。

11. (★★)如图28.1-33,某建筑物直立于水平地面,BC = 9米,∠ABC = 30°,要建造楼梯,使每级台阶高度不超过20厘米,那么此楼梯至少要建级。(最后一级不足20厘米按一级计算。参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.732$)

26

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，BC=9米，tan∠ABC=AC/BC，所以AC=BC·tan30°=9×(√3/3)=3√3≈3×1.732=5.196米=519.6厘米。每级台阶高度不超过20厘米，519.6÷20=25.98，故至少要建26级。

12. (★★)先化简,再求代数式$\frac{a - b}{a} ÷ (a - \frac{2ab - b^{2}}{a})$的值,其中a = 3tan30° + 1,b = $\sqrt{2}$cos45°。

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

化简过程：
$\begin{aligned}&\frac{a - b}{a} ÷ \left(a - \frac{2ab - b^{2}}{a}\right)\\=&\frac{a - b}{a} ÷ \left(\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a}\right)\\=&\frac{a - b}{a} ÷ \frac{(a - b)^2}{a}\\=&\frac{a - b}{a} × \frac{a}{(a - b)^2}\\=&\frac{1}{a - b}\end{aligned}$
计算$a$、$b$的值：
$a = 3\tan30° + 1 = 3×\frac{\sqrt{3}}{3} + 1 = \sqrt{3} + 1$
$b = \sqrt{2}\cos45° = \sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2} = 1$
代入求值：
$\frac{1}{a - b} = \frac{1}{(\sqrt{3} + 1) - 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

13. (★★)已知α为锐角,且tanα是方程$x^{2} + 2x - 3 = 0$的一个根,求2sin^2α + cos^2α - $\sqrt{3}$tan(α + 15°)的值。

1. 解方程$x^2 + 2x - 3 = 0$，因式分解得$(x + 3)(x - 1) = 0$，解得$x = -3$或$x = 1$。
2. 因为$\alpha$为锐角，$\tan\alpha ＞ 0$，所以$\tan\alpha = 1$。
3. 由$\tan\alpha = 1$且$\alpha$为锐角，得$\alpha = 45°$。
4. 计算原式：
$\sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin^245° = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}$；
$\cos45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos^245° = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}$；
$\alpha + 15° = 60°$，$\tan60° = \sqrt{3}$。
5. 代入得：$2×\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{3}×\sqrt{3} = 1 + \frac{1}{2} - 3 = -\frac{3}{2}$。
$-\frac{3}{2}$

14. (★)已知α是锐角,2cos(α + 45°) = 1,则α的值是【】
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°

A

已知 $2\cos(\alpha + 45°) = 1$，则 $\cos(\alpha + 45°) = \frac{1}{2}$。
因为 $\alpha$ 是锐角，所以 $0° ＜ \alpha ＜ 90°$，进而 $45° ＜ \alpha + 45° ＜ 135°$。
在 $45° ＜ \alpha + 45° ＜ 135°$ 范围内，$\cos 60° = \frac{1}{2}$，所以 $\alpha + 45° = 60°$，解得 $\alpha = 15°$。