1. (★)完成下面表格：
|三角函数|锐角α|
| -- | -- |
| |30°|45°|60°|
|sinα||||
|cosα||||
|tanα||||

|三角函数|锐角α|
| -- | -- |
| |30°|45°|60°|
|sinα|$\frac{1}{2}$|$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$\frac{\sqrt{3}}{2}$|
|cosα|$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$\frac{1}{2}$|
|tanα|$\frac{\sqrt{3}}{3}$|$1$|$\sqrt{3}$|

根据三角函数的定义和特殊角的三角函数值：
$\sin 30° = \frac{1}{2}$，$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
$\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos 60° = \frac{1}{2}$。
$\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan 45° = 1$，$\tan 60° = \sqrt{3}$。
将这些值填入表格。

$2. (★)sin^230°= $；$cos^245°= $_________；$tan^260°= $_________。

$\frac{1}{4}$；$\frac{1}{2}$；$3$

$sin30°=\frac{1}{2}$，$sin^230°=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$；$cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$cos^245°=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}$；$tan60°=\sqrt{3}$，$tan^260°=(\sqrt{3})^2=3$

3. (★★)在△ABC中,tanA = 1,cosB = $\frac{1}{2}$,则△ABC的形状【】
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.无法确定

A

在$\triangle ABC$中，根据题目条件有$\tan A = 1$，
根据特殊角的三角函数值可知$\angle A = 45{°}$，
又因为$\cos B = \frac{1}{2}$，根据特殊角的三角函数值可知$\angle B = 60{°}$，
根据三角形内角和为$180{°}$，有$\angle C = 180{°} - \angle A - \angle B = 180{°} - 45{°} - 60{°} = 75{°}$，
由于$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$均小于$90{°}$，所以$\triangle ABC$一定是锐角三角形。

4. (★)图28.1-31①是一张Rt△ABC纸片,如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形(如图28.1-31②),那么在Rt△ABC中,sinB的值是【】

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.1
D.$\frac{3}{2}$
]

B

根据题意，图②是由两个相同的直角三角形拼成的一个正三角形。
设正三角形的边长为$2a$，则$AC$为正三角形的高，高度为$\sqrt{3}a$。
在直角三角形$ABC$中，$\angle ACB = 90°$，所以$BC$为$a$，$AB$为$2a$。
由正三角形的性质，$\sin B = \frac{对边}{斜边} = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}a}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

5. (★)(2025·天津)tan45° - $\sqrt{2}$cos45°的值等于【】
A.0
B.1
C.$1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$1 - \sqrt{2}$

A

根据特殊三角函数值知道，$\tan45^{\circ}=1$，$\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，将其代入原式可得：
$\tan45^{\circ}-\sqrt{2}\cos45^{\circ}=1 - \sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1 - 1 = 0$。

6. (★★)计算：
(1) $(-1)^{2025} - (\frac{1}{2})^{-3} + (\cos68° + \frac{5}{\pi})^{0} + |3\sqrt{3} - 8\sin60°|$；
(2) $|3 - \sqrt{12}| + (\frac{\sqrt{6}}{2 + \sqrt{2}})^{0} + \cos^{2}30° - 4\sin60°$。

(1)
$(-1)^{2025}=-1$；
$(\frac{1}{2})^{-3}=8$；
因为任何非零数的$0$次方都为$1$，$\cos68°+\frac{5}{\pi}\neq0$，所以$(\cos68° + \frac{5}{\pi})^{0}=1$；
$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$8\sin60° = 8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$，$\vert3\sqrt{3}-4\sqrt{3}\vert=\vert-\sqrt{3}\vert=\sqrt{3}$。
原式$=-1 - 8 + 1+\sqrt{3}=-8+\sqrt{3}$。
(2)
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\vert3 - 2\sqrt{3}\vert=2\sqrt{3}-3$；
任何非零数的$0$次方都为$1$，$(\frac{\sqrt{6}}{2 + \sqrt{2}})^{0}=1$；
$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos^{2}30° = (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}=\frac{3}{4}$；
$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$4\sin60° = 4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
原式$=2\sqrt{3}-3 + 1+\frac{3}{4}-2\sqrt{3}=-\frac{5}{4}$。

7. (★★)在△ABC中,∠A,∠B均为锐角,且$(\tan B - \sqrt{3})(2\sin A - \sqrt{3}) = 0$,则△ABC一定是【】
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.有一个角是60°的三角形

D

∵$(\tan B - \sqrt{3})(2\sin A - \sqrt{3}) = 0$，∴$\tan B - \sqrt{3}=0$或$2\sin A - \sqrt{3}=0$。
∵∠A,∠B均为锐角，
∴$\tan B = \sqrt{3}$时，∠B=60°；$2\sin A = \sqrt{3}$时，$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$，∠A=60°。
∴△ABC中至少有一个角是60°。

8. (★★)已知α为锐角,且关于x的方程$x^{2} - x\tan\alpha + \frac{3}{4} = 0$有两个相等的实数根,则α的大小为。

60°

因为方程$x^{2} - x\tan\alpha + \frac{3}{4} = 0$有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = (\tan\alpha)^2 - 4×1×\frac{3}{4} = 0$，即$(\tan\alpha)^2 - 3 = 0$，$(\tan\alpha)^2 = 3$。因为α为锐角，所以$\tan\alpha ＞ 0$，则$\tan\alpha = \sqrt{3}$，故α=60°。

9. (★)计算：$cos^245° + tan60°·cos30°$等于【】
A.1
B.$\sqrt{2}$
C.2
D.$\sqrt{3}$

C

首先计算 $ \cos 45° $：
$\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以：
$\cos^2 45° = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，
接着计算 $ \tan 60° $ 和 $ \cos 30° $：
$\tan 60° = \sqrt{3}, \quad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以：
$\tan 60° \cdot \cos 30° = \sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$，
最后求和：
$\cos^2 45° + \tan 60° \cdot \cos 30° = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2$。