13. (★)如图27.2-48,在△ABC中,∠C= 90°,D是AC上一点,DE⊥AB于点E,若AC= 8,BC= 6,DE= 3,则AD的长为【】

A.3
B.4
C.5

D.6

C

在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√(8²+6²)=10。
∵DE⊥AB，
∴∠AED=∠C=90°，又∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC。
∴DE/BC=AD/AB，即3/6=AD/10，解得AD=5。

14. (★★)如图27.2-49,AB是⊙O的直径,点C在圆上,CD⊥AB,DE//BC,则图中与△ABC相似的三角形有【】

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

A

∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°（直径所对圆周角为直角），△ABC为Rt△。
1. △ACD：CD⊥AB得∠ADC=90°=∠ACB，∠A公共，
∴△ABC∽△ACD（AA）。
2. △BCD：∠BDC=90°=∠ACB，∠B公共，
∴△ABC∽△BCD（AA）。
3. △AED：DE//BC得∠AED=∠ACB=90°（同位角），∠A公共，
∴△AED∽△ABC（AA）。
4. △CDE：DE//BC得∠CDE=∠BCD（内错角），∠BCD=∠A（同角余角相等），∠DCE=∠B（同角余角相等），∠DEC=90°，
∴△CDE∽△ABC（AA）。
综上，共4个相似三角形。

15. (★★)如图27.2-50,在Rt△ACB中,∠ACB= 90°,O是AC边上的一点,以O为圆心,OC为半径的圆与AB相切于点D,连接OD.
(1)求证:△ADO∽△ACB;
(2)若⊙O的半径为1,求证:AC= AD·CB.

(1) ∵AB是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥AB，∠ADO=90°。
∵∠ACB=90°，∴∠ADO=∠ACB。
又∵∠A=∠A，∴△ADO∽△ACB（AA）。
(2) ∵⊙O半径为1，∴OC=OD=1。
由(1)△ADO∽△ACB，得AD/AC=OD/CB。
∵OD=1，∴AD/AC=1/CB，∴AD·CB=AC·1，即AC=AD·CB。

16. (★★★)(2022·鄂州)如图27.2-51,在边长为6的等边△ABC中,D,E分别为边BC,AC上的点,AD与BE相交于点P,若BD= CE= 2,则△ABP的周长为.

6 + 18√7/7

17. (★★)(2022·江西)如图27.2-52,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上,∠ACD= ∠ABE.
(1)求证:△ABC∽△AEB;
(2)当AB= 6,AC= 4时,求AE的长.

(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC平分∠BCD，即∠ACB=∠ACD。
∵∠ACD=∠ABE，∴∠ACB=∠ABE。
在△ABC和△AEB中，∠BAC=∠EAB（公共角），∠ACB=∠ABE，
∴△ABC∽△AEB（AA）。
(2)解：∵△ABC∽△AEB，∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AB}$。
∵AB=6，AC=4，∴$\frac{6}{AE}=\frac{4}{6}$，解得$AE=\frac{6×6}{4}=9$。
故AE的长为9。