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8. (★★)在Rt△ABC和$Rt△A_1B_1C_1$中$,∠C= ∠C_1= 90°,$若添加一个条件,使得$Rt△ABC∽Rt△A_1B_1C_1,$则下列条件中不符合要求的是【
A.$∠A= ∠A_1$
B.$∠B= ∠B_1$
C.$ AB/A_1B_1= AC/A_1C_1$
D.$AB/A_1C_1= AC/B_1C_1$
D
】A.$∠A= ∠A_1$
B.$∠B= ∠B_1$
C.$ AB/A_1B_1= AC/A_1C_1$
D.$AB/A_1C_1= AC/B_1C_1$
答案
D
解析
在Rt△ABC和Rt△A₁B₁C₁中，∠C=∠C₁=90°。
选项A：∠A=∠A₁，两角对应相等，两三角形相似，符合要求。
选项B：∠B=∠B₁，两角对应相等，两三角形相似，符合要求。
选项C：AB/A₁B₁=AC/A₁C₁，斜边与直角边对应成比例，两直角三角形相似，符合要求。
选项D：AB/A₁C₁=AC/B₁C₁，对应关系错误，不是对应边成比例，不符合要求。
选项A：∠A=∠A₁，两角对应相等，两三角形相似，符合要求。
选项B：∠B=∠B₁，两角对应相等，两三角形相似，符合要求。
选项C：AB/A₁B₁=AC/A₁C₁，斜边与直角边对应成比例，两直角三角形相似，符合要求。
选项D：AB/A₁C₁=AC/B₁C₁，对应关系错误，不是对应边成比例，不符合要求。
9. (★★)(2023·湘潭)如图27.2-45,在Rt△ABC中,∠BAC= 90°,AD是斜边BC上的高.
(1)求证:△ABD∽△CBA;
(2)若AB= 6,BC= 10,求BD的长.
(1)求证:△ABD∽△CBA;
(2)若AB= 6,BC= 10,求BD的长.
答案
(1)
证明：
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AD$是斜边$BC$上的高，
所以$\angle BDA=\angle BAC = 90^{\circ}$。
又因为$\angle B$是公共角，
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ABD\sim\triangle CBA$。
(2)
由（1）知$\triangle ABD\sim\triangle CBA$，
则$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$。
已知$AB = 6$，$BC = 10$，
代入$\frac{6}{10}=\frac{BD}{6}$，
解得$BD=\frac{6×6}{10}=3.6$。
综上，(1) 证明见上述过程；(2) $BD$的长为$3.6$。
证明：
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AD$是斜边$BC$上的高，
所以$\angle BDA=\angle BAC = 90^{\circ}$。
又因为$\angle B$是公共角，
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ABD\sim\triangle CBA$。
(2)
由（1）知$\triangle ABD\sim\triangle CBA$，
则$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$。
已知$AB = 6$，$BC = 10$，
代入$\frac{6}{10}=\frac{BD}{6}$，
解得$BD=\frac{6×6}{10}=3.6$。
综上，(1) 证明见上述过程；(2) $BD$的长为$3.6$。
10. (★)下列图形不一定相似的是【
A.有一个角是100°的两个等腰三角形
B.有一个角是60°的两个等腰三角形
C.两个等腰直角三角形
D.有一个角是45°的两个等腰三角形
D
】A.有一个角是100°的两个等腰三角形
B.有一个角是60°的两个等腰三角形
C.两个等腰直角三角形
D.有一个角是45°的两个等腰三角形
答案
D
解析
A选项：有一个角是$100°$的两个等腰三角形，由于等腰三角形的两个底角相等，若顶角为$100°$，则底角为$\frac{180° -100°}{2}=40°$，两个这样的等腰三角形对应角都相等，因此一定相似。
B选项：有一个角是$60°$的两个等腰三角形，若$60°$角为顶角，则底角为$\frac{180° -60°}{2}=60°$，即该三角形为等边三角形；若$60°$角为底角，则顶角为$180°-2× 60°=60°$，三角形同样为等边三角形。因此，两个这样的等腰三角形对应角都相等，一定相似。
C选项：两个等腰直角三角形，它们的对应角都为$90°$和两个$45°$角，对应角相等，因此一定相似。
D选项：有一个角是$45°$的两个等腰三角形，若$45°$角为一个三角形的顶角和另一个三角形的底角，则这两个三角形不相似。
B选项：有一个角是$60°$的两个等腰三角形，若$60°$角为顶角，则底角为$\frac{180° -60°}{2}=60°$，即该三角形为等边三角形；若$60°$角为底角，则顶角为$180°-2× 60°=60°$，三角形同样为等边三角形。因此，两个这样的等腰三角形对应角都相等，一定相似。
C选项：两个等腰直角三角形，它们的对应角都为$90°$和两个$45°$角，对应角相等，因此一定相似。
D选项：有一个角是$45°$的两个等腰三角形，若$45°$角为一个三角形的顶角和另一个三角形的底角，则这两个三角形不相似。
11. (★★)如图27.2-46,BD,CE是△ABC的两条高,它们相交于点F,连接DE.
(1)求证:△ADE∽△ABC.
(2)有下列结论:①△ABD∽△ACE;②△EBF∽△DCF;③△BEC∽△CDB;④△DEF∽△CBF.其中所有正确结论的序号是
(1)求证:△ADE∽△ABC.
(2)有下列结论:①△ABD∽△ACE;②△EBF∽△DCF;③△BEC∽△CDB;④△DEF∽△CBF.其中所有正确结论的序号是
①②④
.答案
(1)证明：∵BD,CE是△ABC的高，∴∠ADB=∠AEC=90°.
在△ABD和△ACE中，∠A=∠A，∠ADB=∠AEC，
∴△ABD∽△ACE，∴AD/AB=AE/AC.
又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC.
(2)①②④
在△ABD和△ACE中，∠A=∠A，∠ADB=∠AEC，
∴△ABD∽△ACE，∴AD/AB=AE/AC.
又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC.
(2)①②④
12. (★★)(2023·邵阳)如图27.2-47,CA⊥AD,ED⊥AD,B是线段AD上的一点,且CB⊥BE.已知AB= 8,AC= 6,DE= 4.
(1)求证:△ABC∽△DEB.
(2)求线段BD的长.
(1)求证:△ABC∽△DEB.
(2)求线段BD的长.
答案
(1)
证明：
因为$CA\perp AD$，$ED\perp AD$，$CB\perp BE$，
所以$\angle A = \angle D = 90^{\circ}$，$\angle ABC + \angle EBD = 90^{\circ}$，$\angle EBD + \angle BED = 90^{\circ}$。
所以$\angle ABC = \angle BED$。
在$\triangle ABC$与$\triangle DEB$中，
$\angle A=\angle D$，$\angle ABC = \angle BED$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ABC\sim\triangle DEB$。
(2)
由（1）知$\triangle ABC\sim\triangle DEB$，
则$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{BD}$。
已知$AB = 8$，$AC = 6$，$DE = 4$，
代入$\frac{8}{4}=\frac{6}{BD}$，
解得$BD = 3$。
综上，答案为：(1)证明过程如上述；(2) $BD$的长为$3$。
证明：
因为$CA\perp AD$，$ED\perp AD$，$CB\perp BE$，
所以$\angle A = \angle D = 90^{\circ}$，$\angle ABC + \angle EBD = 90^{\circ}$，$\angle EBD + \angle BED = 90^{\circ}$。
所以$\angle ABC = \angle BED$。
在$\triangle ABC$与$\triangle DEB$中，
$\angle A=\angle D$，$\angle ABC = \angle BED$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ABC\sim\triangle DEB$。
(2)
由（1）知$\triangle ABC\sim\triangle DEB$，
则$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{BD}$。
已知$AB = 8$，$AC = 6$，$DE = 4$，
代入$\frac{8}{4}=\frac{6}{BD}$，
解得$BD = 3$。
综上，答案为：(1)证明过程如上述；(2) $BD$的长为$3$。
