3. (湖南益阳中考) 关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$ 的两根为 $x_1 = 1$，$x_2 = -1$，那么下列结论一定成立的是()

A.$b^2 - 4ac ＞ 0$
B.$b^2 - 4ac = 0$
C.$b^2 - 4ac ＜ 0$
D.$b^2 - 4ac \leq 0$

3.A

∵一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$的两根为$x_1 = 1$，$x_2 = -1$，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴$b^2 - 4ac ＞ 0$。
A

4. (山东泰安中考) 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + (2k - 1)x + (k^2 - 1) = 0$ 无实数根，则 $k$ 的取值范围是 。

4.$k＞\frac{5}{4}$

解：对于一元二次方程$x^2 + (2k - 1)x + (k^2 - 1) = 0$，其判别式$\Delta=(2k - 1)^2 - 4×1×(k^2 - 1)$。
展开计算得：$\Delta = 4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 + 4 = -4k + 5$。
因为方程无实数根，所以$\Delta ＜ 0$，即$-4k + 5 ＜ 0$。
解得$-4k ＜ -5$，两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得$k ＞ \frac{5}{4}$。
$k＞\frac{5}{4}$

5. (辽宁营口中考) 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1)x^2 + 2x - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是 。

5.$k＞\frac{1}{2}$,且$k\neq 1$

解：因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即$k - 1 \neq 0$，解得$k \neq 1$。
又因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta ＞ 0$。其中$a = k - 1$，$b = 2$，$c = -2$，则$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(k - 1)(-2) = 4 + 8(k - 1)$。
令$\Delta ＞ 0$，即$4 + 8(k - 1) ＞ 0$，
$4 + 8k - 8 ＞ 0$，
$8k - 4 ＞ 0$，
$8k ＞ 4$，
解得$k ＞ \frac{1}{2}$。
综上，$k$的取值范围是$k ＞ \frac{1}{2}$且$k \neq 1$。

6. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $\frac{1}{2}mx^2 + mx + m - 1 = 0$ 有两个相等的实数根。
(1) 求 $m$ 的值；
(2) 解原方程。

$(1)$ 求$m$的值
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$\frac{1}{2}mx^{2}+mx + m - 1 = 0$中，$a = \frac{1}{2}m$，$b = m$，$c = m - 1$。
因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta = 0$且$a\neq0$（保证是一元二次方程）。
先计算$\Delta$：
$\Delta=m^{2}-4×\frac{1}{2}m×(m - 1)$
$=m^{2}-2m(m - 1)$
$=m^{2}-2m^{2}+2m$
$=-m^{2}+2m$
令$\Delta = 0$，即$-m^{2}+2m = 0$，提取公因式$m$得$m(-m + 2)=0$，解得$m = 0$或$m = 2$。
又因为$a=\frac{1}{2}m\neq0$，所以$m\neq0$，故$m = 2$。
$(2)$ 解原方程
当$m = 2$时，原方程为$\frac{1}{2}×2x^{2}+2x+2 - 1 = 0$，即$x^{2}+2x + 1 = 0$。
对于方程$x^{2}+2x + 1 = 0$，根据完全平方公式$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$，这里$a=x$，$b = 1$，方程可化为$(x + 1)^{2}=0$。
两边同时开平方得$x + 1 = 0$，解得$x_{1}=x_{2}=-1$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{m = 2}$；$(2)$$\boldsymbol{x_{1}=x_{2}=-1}$。

7. (河北中考) $a$，$b$，$c$ 为常数，且 $(a - c)^2 ＞ a^2 + c^2$，则关于 $x$ 的方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 根的情况是()

A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.有一个根为 0

7.B

由$(a - c)^2 ＞ a^2 + c^2$，展开得$a^2 - 2ac + c^2 ＞ a^2 + c^2$，化简得$-2ac ＞ 0$，即$ac ＜ 0$。
方程$ax^2 + bx + c = 0$的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，因为$ac ＜ 0$，所以$-4ac ＞ 0$，又$b^2 \geq 0$，故$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根。
B

8. 已知关于 $x$ 的方程 $(k - 1)x^2 - (k - 1)x + \frac{1}{4} = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k$ 的值为 。

8.2

解：因为方程有两个相等的实数根，所以此方程为一元二次方程，即$k - 1 \neq 0$，$k \neq 1$。
判别式$\Delta = [-(k - 1)]^2 - 4(k - 1) × \frac{1}{4} = 0$
$\begin{aligned}(k - 1)^2 - (k - 1) &= 0\\(k - 1)(k - 1 - 1) &= 0\\(k - 1)(k - 2) &= 0\end{aligned}$
解得$k = 1$（舍去）或$k = 2$
所以$k = 2$

9. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^2 - (m + 2)x + 2 = 0$。
(1) 证明：方程恒有两个实数根；
(2) 当 $m$ 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？

9.
(1)证明:$\Delta =b^{2}-4ac=[-(m+2)]^{2}-8m=m^{2}+4m+4-8m=m^{2}-4m+4=(m-2)^{2}$.因为$(m-2)^{2}\geqslant 0$,即$\Delta =b^{2}-4ac\geqslant 0$,所以方程恒有两个实数根.
(2)解:由题意,知$m\neq 0$,所以$x=\frac{m+2\pm \sqrt{(m-2)^{2}}}{2m}=\frac{m+2\pm (m-2)}{2m}$,所以$x_{1}=1$,$x_{2}=\frac{2}{m}$.因为原方程有两个不相等的正整数根,所以$\frac{2}{m}$为正整数,所以$m=1$或2.当$m=2$时,$x_{2}=1=x_{1}$,与题意不符,所以$m=1$.

10. 已知关于 $x$ 的方程 $x^2 - (k + 2)x + 2k = 0$。若等腰三角形 $ABC$ 的一边长 $a = 3$，另两边长 $b$，$c$ 恰好是这个方程的两个根，求 $\triangle ABC$ 的周长。

10.解:$\triangle ABC$的周长为8或7.

解：解方程$x^2 - (k + 2)x + 2k = 0$，因式分解得$(x - 2)(x - k) = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = k$。
情况一：当$a = 3$为腰长时，则方程的一个根为$3$，即$k = 3$，此时方程的两根为$2$和$3$，三角形三边长为$3$，$3$，$2$，周长为$3 + 3 + 2 = 8$。
情况二：当$a = 3$为底边时，则方程的两根相等，即$k = 2$，此时方程的两根为$2$和$2$，三角形三边长为$2$，$2$，$3$，周长为$2 + 2 + 3 = 7$。
综上，$\triangle ABC$的周长为$8$或$7$。