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3. (山东潍坊中考) 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + (k - 3)x + 1 - k = 0$ 根的情况，下列说法正确的是(
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
A
)A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
答案
3.A
解析
对于一元二次方程$x^2 + (k - 3)x + 1 - k = 0$，计算判别式$\Delta=(k - 3)^2-4×1×(1 - k)$，展开得$k^2 - 6k + 9 - 4 + 4k$，化简为$k^2 - 2k + 5=(k - 1)^2 + 4$。因为$(k - 1)^2\geq0$，所以$(k - 1)^2 + 4\geq4＞0$，即$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根。
A
A
1. (上海中考) 下列方程中，没有实数根的是(
A.$x^2 - 2x = 0$
B.$x^2 - 2x - 1 = 0$
C.$x^2 - 2x + 1 = 0$
D.$x^2 - 2x + 2 = 0$
D
)A.$x^2 - 2x = 0$
B.$x^2 - 2x - 1 = 0$
C.$x^2 - 2x + 1 = 0$
D.$x^2 - 2x + 2 = 0$
答案
1.D
2. (广东广州中考) 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + 8x + q = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $q$ 的取值范围是(
A.$q ＜ 16$
B.$q ＞ 16$
C.$q \leq 4$
D.$q \geq 4$
A
)A.$q ＜ 16$
B.$q ＞ 16$
C.$q \leq 4$
D.$q \geq 4$
答案
2.A
解析
解：对于一元二次方程$x^2 + 8x + q = 0$，判别式$\Delta = 8^2 - 4 × 1 × q = 64 - 4q$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta ＞ 0$，即$64 - 4q ＞ 0$。
解得$4q ＜ 64$，$q ＜ 16$。
A
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta ＞ 0$，即$64 - 4q ＞ 0$。
解得$4q ＜ 64$，$q ＜ 16$。
A
3. (山东潍坊中考) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^2 - 2x + 1 = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围是
$k \leqslant 1$,且$k\neq 0$
。答案
3.$k \leqslant 1$,且$k\neq 0$
解析
解：因为方程是一元二次方程，所以$k\neq0$。
方程有实数根，所以判别式$\Delta = (-2)^2 - 4k×1 \geq 0$，即$4 - 4k \geq 0$，解得$k \leq 1$。
综上，$k$的取值范围是$k \leq 1$且$k\neq0$。
方程有实数根，所以判别式$\Delta = (-2)^2 - 4k×1 \geq 0$，即$4 - 4k \geq 0$，解得$k \leq 1$。
综上，$k$的取值范围是$k \leq 1$且$k\neq0$。
4. 用公式法解下列方程：
(1) (甘肃兰州中考) $2x^2 - 4x - 1 = 0$；
(2) $3x(x - 3) = 2(x - 1)(x + 1)$。
(1) (甘肃兰州中考) $2x^2 - 4x - 1 = 0$；
(2) $3x(x - 3) = 2(x - 1)(x + 1)$。
答案
$(1)$ 解方程$2x^{2}-4x - 1 = 0$
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$2x^{2}-4x - 1 = 0$中，$a = 2$，$b=-4$，$c=-1$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
$\Delta=(-4)^{2}-4×2×(-1)$
$=16 + 8$
$=24$
再代入求根公式：
$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{24}}{2×2}=\frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$
所以$x_{1}=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，$x_{2}=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$。
$(2)$ 解方程$3x(x - 3)=2(x - 1)(x + 1)$
先将方程化为一般形式：
$\begin{aligned}3x(x - 3)&=2(x - 1)(x + 1)\\3x^{2}-9x&=2(x^{2}-1)\\3x^{2}-9x&=2x^{2}-2\\3x^{2}-2x^{2}-9x + 2&=0\\x^{2}-9x + 2&=0\end{aligned}$
在方程$x^{2}-9x + 2 = 0$中，$a = 1$，$b=-9$，$c = 2$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
$\Delta=(-9)^{2}-4×1×2$
$=81-8$
$=73$
代入求根公式：
$x=\frac{-(-9)\pm\sqrt{73}}{2×1}=\frac{9\pm\sqrt{73}}{2}$
所以$x_{1}=\frac{9+\sqrt{73}}{2}$，$x_{2}=\frac{9-\sqrt{73}}{2}$。
综上，$(1)$ $x_{1}=\boldsymbol{\frac{2+\sqrt{6}}{2}}$，$x_{2}=\boldsymbol{\frac{2-\sqrt{6}}{2}}$；$(2)$ $x_{1}=\boldsymbol{\frac{9+\sqrt{73}}{2}}$，$x_{2}=\boldsymbol{\frac{9-\sqrt{73}}{2}}$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$2x^{2}-4x - 1 = 0$中，$a = 2$，$b=-4$，$c=-1$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
$\Delta=(-4)^{2}-4×2×(-1)$
$=16 + 8$
$=24$
再代入求根公式：
$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{24}}{2×2}=\frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$
所以$x_{1}=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，$x_{2}=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$。
$(2)$ 解方程$3x(x - 3)=2(x - 1)(x + 1)$
先将方程化为一般形式：
$\begin{aligned}3x(x - 3)&=2(x - 1)(x + 1)\\3x^{2}-9x&=2(x^{2}-1)\\3x^{2}-9x&=2x^{2}-2\\3x^{2}-2x^{2}-9x + 2&=0\\x^{2}-9x + 2&=0\end{aligned}$
在方程$x^{2}-9x + 2 = 0$中，$a = 1$，$b=-9$，$c = 2$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
$\Delta=(-9)^{2}-4×1×2$
$=81-8$
$=73$
代入求根公式：
$x=\frac{-(-9)\pm\sqrt{73}}{2×1}=\frac{9\pm\sqrt{73}}{2}$
所以$x_{1}=\frac{9+\sqrt{73}}{2}$，$x_{2}=\frac{9-\sqrt{73}}{2}$。
综上，$(1)$ $x_{1}=\boldsymbol{\frac{2+\sqrt{6}}{2}}$，$x_{2}=\boldsymbol{\frac{2-\sqrt{6}}{2}}$；$(2)$ $x_{1}=\boldsymbol{\frac{9+\sqrt{73}}{2}}$，$x_{2}=\boldsymbol{\frac{9-\sqrt{73}}{2}}$。
1. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是(
A.$x^2 - 2x - 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 3 = 0$
C.$x^2 = 2\sqrt{3}x - 3$
D.$x^2 - 4x + 4 = 0$
A
)A.$x^2 - 2x - 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 3 = 0$
C.$x^2 = 2\sqrt{3}x - 3$
D.$x^2 - 4x + 4 = 0$
答案
1.A
2. 关于 $x$ 的方程 $x^2 + mx - 2m^2 = 0$ 的一个根为 1，则 $m$ 的值为(
A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.1 或 $\frac{1}{2}$
D.1 或 $-\frac{1}{2}$
D
)A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.1 或 $\frac{1}{2}$
D.1 或 $-\frac{1}{2}$
答案
2.D
解析
将$x=1$代入方程$x^2 + mx - 2m^2 = 0$，得：
$1 + m - 2m^2 = 0$
整理为$2m^2 - m - 1 = 0$
因式分解得$(2m + 1)(m - 1) = 0$
解得$m_1 = 1$，$m_2 = -\frac{1}{2}$
答案：D
$1 + m - 2m^2 = 0$
整理为$2m^2 - m - 1 = 0$
因式分解得$(2m + 1)(m - 1) = 0$
解得$m_1 = 1$，$m_2 = -\frac{1}{2}$
答案：D
