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1. 下列图形都是由同样大小的长方形按一定的规律组成的,其中第(1)个图形的面积为$2cm^{2}$,第(2)个图形的面积为$8cm^{2}$,第(3)个图形的面积为$18cm^{2}$……则第(10)个图形的面积为(
A.$196cm^{2}$
B.$200cm^{2}$
C.$216cm^{2}$
D.$256cm^{2}$
B
)A.$196cm^{2}$
B.$200cm^{2}$
C.$216cm^{2}$
D.$256cm^{2}$
答案
B
解析
第
(1)个图形面积：$2 = 2 × 1^2$
第
(2)个图形面积：$8 = 2 × 2^2$
第
(3)个图形面积：$18 = 2 × 3^2$
...
第(n)个图形面积：$2n^2$
第
(10)个图形面积：$2 × 10^2 = 200$
B
(1)个图形面积：$2 = 2 × 1^2$
第
(2)个图形面积：$8 = 2 × 2^2$
第
(3)个图形面积：$18 = 2 × 3^2$
...
第(n)个图形面积：$2n^2$
第
(10)个图形面积：$2 × 10^2 = 200$
B
2. 下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中$M与m$,$n$的关系是(
A.$M = mn$
B.$M = n(m + 1)$
C.$M = mn + 1$
D.$M = m(n + 1)$
D
)A.$M = mn$
B.$M = n(m + 1)$
C.$M = mn + 1$
D.$M = m(n + 1)$
答案
D
解析
观察图形：
第一个图形：$m=1$，$n=2$，$M=3$，$1×(2 + 1)=3$；
第二个图形：$m=3$，$n=4$，$M=15$，$3×(4 + 1)=15$；
第三个图形：$m=5$，$n=6$，$M=35$，$5×(6 + 1)=35$。
规律为$M = m(n + 1)$。
D
第一个图形：$m=1$，$n=2$，$M=3$，$1×(2 + 1)=3$；
第二个图形：$m=3$，$n=4$，$M=15$，$3×(4 + 1)=15$；
第三个图形：$m=5$，$n=6$，$M=35$，$5×(6 + 1)=35$。
规律为$M = m(n + 1)$。
D
3. 古希腊数学家把$1$,$3$,$6$,$10$,$15$…叫作三角形数,则第$16个三角形数与第14$个三角形数的差是(
A.$30$
B.$31$
C.$32$
D.$33$
B
)A.$30$
B.$31$
C.$32$
D.$33$
答案
B
解析
第1个三角形数：$1=1$
第2个三角形数：$3=1+2$
第3个三角形数：$6=1+2+3$
第4个三角形数：$10=1+2+3+4$
...
第n个三角形数：$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
第16个三角形数：$\frac{16×17}{2}=136$
第14个三角形数：$\frac{14×15}{2}=105$
差：$136-105=31$
B
第2个三角形数：$3=1+2$
第3个三角形数：$6=1+2+3$
第4个三角形数：$10=1+2+3+4$
...
第n个三角形数：$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
第16个三角形数：$\frac{16×17}{2}=136$
第14个三角形数：$\frac{14×15}{2}=105$
差：$136-105=31$
B
4. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,$m$的值是(
A.$38$
B.$52$
C.$66$
D.$74$
D
)A.$38$
B.$52$
C.$66$
D.$74$
答案
D
解析
左上角数字依次为0，2，4，6，规律为$2n-2$（n为正方形序号，n=1,2,3,4）；
右上角数字=左上角数字+4，依次为4，6，8，10；
左下角数字=左上角数字+2，依次为2，4，6，8；
右下角数字=右上角数字×左下角数字-左上角数字，验证：$4×2-0=8$，$6×4-2=22$，$8×6-4=44$；
第四个正方形：左上角=6，右上角=10，左下角=8，$m=10×8-6=74$。
D
右上角数字=左上角数字+4，依次为4，6，8，10；
左下角数字=左上角数字+2，依次为2，4，6，8；
右下角数字=右上角数字×左下角数字-左上角数字，验证：$4×2-0=8$，$6×4-2=22$，$8×6-4=44$；
第四个正方形：左上角=6，右上角=10，左下角=8，$m=10×8-6=74$。
D
5. 观察下图中小正方形的个数,依此规律,第(11)个图形中小正方形的个数为(
A.$78$
B.$66$
C.$55$
D.$50$
B
)A.$78$
B.$66$
C.$55$
D.$50$
答案
B
解析
第
(1)个图形：1个
第
(2)个图形：1+2=3个
第
(3)个图形：1+2+3=6个
第
(4)个图形：1+2+3+4=10个
第
(5)个图形：1+2+3+4+5=15个
...
规律：第$n$个图形中小正方形个数为$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
第
(11)个图形：$\frac{11×(11+1)}{2}=\frac{11×12}{2}=66$
B
(1)个图形：1个
第
(2)个图形：1+2=3个
第
(3)个图形：1+2+3=6个
第
(4)个图形：1+2+3+4=10个
第
(5)个图形：1+2+3+4+5=15个
...
规律：第$n$个图形中小正方形个数为$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
第
(11)个图形：$\frac{11×(11+1)}{2}=\frac{11×12}{2}=66$
B
6. 将小长方体木块按下图方式进行摆放.
先探索规律,再填表.
与同学交流一下,露在外面的面数变化有什么规律？
先探索规律,再填表.
与同学交流一下,露在外面的面数变化有什么规律？
解：小长方体的个数 1 2 3 4 5 露在外面的面数 5 8 11 14 17 若有n个小长方体，则露在外面的面数是3n+2.
答案
解：小长方体的个数 1 2 3 4 5 露在外面的面数 5 8 11 14 17 若有n个小长方体，则露在外面的面数是3n+2.
1. 一个由小菱形组成的装饰链,断去了一部分,剩下部分如图所示,则断去部分的小菱形的个数可能是(
A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$
C
)A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$
答案
C
解析
观察图形可知，完整装饰链的小菱形个数规律为：第一个图案有4个，之后每增加一个基本单元增加3个。设完整装饰链有$n$个基本单元，总个数为$3n + 1$。
图中左侧有3个基本单元（10个小菱形），右侧有1个基本单元（4个小菱形），设断去部分有$x$个基本单元，则总个数为$10 + x + 4 = 14 + x$。
因为$14 + x = 3n + 1$，即$x = 3n - 13$，$n$为正整数。当$n = 6$时，$x = 5$。
C
图中左侧有3个基本单元（10个小菱形），右侧有1个基本单元（4个小菱形），设断去部分有$x$个基本单元，则总个数为$10 + x + 4 = 14 + x$。
因为$14 + x = 3n + 1$，即$x = 3n - 13$，$n$为正整数。当$n = 6$时，$x = 5$。
C
2. 观察下列图形及图形所对应的算式,根据你发现的规律计算$1 + 8 + 16 + 24 + … + 8n$($n$是正整数)的结果为(
A.$(2n + 1)^{2}$
B.$(2n - 1)^{2}$
C.$(n + 2)^{2}$
D.$n^{2}$
A
)A.$(2n + 1)^{2}$
B.$(2n - 1)^{2}$
C.$(n + 2)^{2}$
D.$n^{2}$
答案
A
解析
当$n=1$时，$1 + 8=9=(2×1 + 1)^{2}$；
当$n=2$时，$1 + 8 + 16=25=(2×2 + 1)^{2}$；
当$n=3$时，$1 + 8 + 16 + 24=49=(2×3 + 1)^{2}$；
规律为$1 + 8 + 16 + 24 + … + 8n=(2n + 1)^{2}$
A
当$n=2$时，$1 + 8 + 16=25=(2×2 + 1)^{2}$；
当$n=3$时，$1 + 8 + 16 + 24=49=(2×3 + 1)^{2}$；
规律为$1 + 8 + 16 + 24 + … + 8n=(2n + 1)^{2}$
A
