2. 顶角为 $36^{\circ}$ 的等腰三角形称为“黄金三角形”. 数学课上同学们对黄金三角形的特性进行探索,并结合探索内容设计以下两个数学问题,请作答.
(1)已知：如图5,在黄金三角形 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 36^{\circ}$,直线 $BD$ 平分 $\angle ABC$ 交 $AC$ 于点 $D$.
求证：$\triangle ABD$ 和 $\triangle DBC$ 都是等腰三角形；
(2)请你设计三种不同的方法,通过尺规作图将图6中的黄金 $\triangle ABC$ 进行分割,使图中含有三个等腰三角形,不写画法,保留作图痕迹.

(1)提示：由∠ABD=∠BAD,和∠BDC=72°=∠C,即可判断
(2)方法1:作AB的垂直平分线交AC于点D,连结BD;作BD的垂直平分线交BC于点E,连结DE;则△ABD、△BDE、△DEC是等腰三角形 方法2:以点B为圆心,BC为半径作弧交AC于点D,交AB于点E,连结BD、DE,则△BDC、△BDE、△ADE是等腰三角形 方法3:作△ABC的角平分线BD,作△BDC的角平分线DE,则△ABD、△BDE、△DEC是等腰三角形

1. 下列真命题中,它的逆命题也是真命题的是()
A.全等三角形的对应角相等
B.等边三角形是锐角三角形
C.两直线平行,同位角相等
D.对顶角相等

C

2. 下列说法正确的是()

A.命题一定有逆命题
B.所有的定理一定有逆定理
C.真命题的逆命题一定是真命题
D.假命题的逆命题一定是假命题

A

3. 下列定理有逆定理的是()
A.直角都相等
B.同旁内角互补,两直线平行
C.对顶角相等
D.全等三角形的对应角相等

B

4. 下列命题中,原命题和逆命题都成立的有()
①两直线平行,内错角相等;②全等三角形三组对应边相等;③互为相反数的两个数的绝对值相等;④直角三角形两锐角互余.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

①原命题：两直线平行，内错角相等，成立；逆命题：内错角相等，两直线平行，成立。
②原命题：全等三角形三组对应边相等，成立；逆命题：三组对应边相等的三角形是全等三角形，成立。
③原命题：互为相反数的两个数的绝对值相等，成立；逆命题：绝对值相等的两个数互为相反数，不成立（如2和2）。
④原命题：直角三角形两锐角互余，成立；逆命题：两锐角互余的三角形是直角三角形，成立。
原命题和逆命题都成立的有①②④，共3个。
C