1. 已知一个三角形两个角分别为 $40^{\circ}$ 和 $70^{\circ}$,则这个三角形是()
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.钝角三角形

B

三角形内角和为$180^{\circ}$，第三个角的度数为$180^{\circ}-40^{\circ}-70^{\circ}=70^{\circ}$。该三角形有两个角都是$70^{\circ}$，所以这个三角形是等腰三角形。
B

2. 如图1,$D$,$E$分别为 $\triangle ABC$ 的 $AC$,$BC$边的中点,将此三角形沿 $DE$ 折叠,使点 $C$ 落在 $AB$ 边上的点 $P$ 处. 若 $\angle A = 48^{\circ}$,则 $\angle APD$ 等于()

A.$42^{\circ}$
B.$48^{\circ}$

C.$52^{\circ}$
D.$58^{\circ}$

B

∵D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，
∴∠CDE=∠A=48°，
由折叠性质得∠PDE=∠CDE=48°，
∵DE//AB，
∴∠APD=∠PDE=48°，
答案：B

3. 如图2,$\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$\angle A = 36^{\circ}$,$BD$ 平分 $\angle ABC$,$DE// BC$,则图形中共有等腰三角形()
A.$2$ 个
B.$3$ 个
C.$4$ 个
D.$5$ 个

D

在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle A=36^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形，$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^{\circ}-36^{\circ}}{2}=72^{\circ}$。
$BD$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle ABD=\angle DBC=\frac{72^{\circ}}{2}=36^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，$\angle A=\angle ABD=36^{\circ}$，
$\therefore AD=BD$，$\triangle ABD$是等腰三角形。
在$\triangle BDC$中，$\angle BDC=180^{\circ}-\angle DBC-\angle ACB=180^{\circ}-36^{\circ}-72^{\circ}=72^{\circ}$，
$\angle BDC=\angle ACB=72^{\circ}$，
$\therefore BD=BC$，$\triangle BDC$是等腰三角形。
$DE// BC$，
$\therefore \angle ADE=\angle ABC=72^{\circ}$，$\angle AED=\angle ACB=72^{\circ}$，
$\angle ADE=\angle AED=72^{\circ}$，
$\therefore AD=AE$，$\triangle ADE$是等腰三角形。
$\angle EDB=\angle DBC=36^{\circ}$（两直线平行，内错角相等），
$\angle EBD=\angle EDB=36^{\circ}$，
$\therefore BE=DE$，$\triangle BDE$是等腰三角形。
综上，图形中共有5个等腰三角形。
D

1. $\triangle ABC$ 中,若 $\angle A = 80^{\circ}$,$\angle B = 50^{\circ}$,$AC = 5$,则 $AB = $ .

5

在$\triangle ABC$中，$\angle A=80^{\circ}$，$\angle B=50^{\circ}$，则$\angle C=180^{\circ}-\angle A-\angle B=180^{\circ}-80^{\circ}-50^{\circ}=50^{\circ}$。因为$\angle B=\angle C=50^{\circ}$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形，$AB=AC$。又因为$AC=5$，所以$AB=5$。
5

2. 如图3,$Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$D$ 为 $AB$ 边上的点,若 $BD = CD = 5$,则 $AD = $ .

5

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$D$为$AB$边上一点，$BD = CD = 5$。
因为$CD = BD$，所以$\angle B = \angle BCD$。
又因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle ACD + \angle BCD = 90^{\circ}$，$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$。
由于$\angle B = \angle BCD$，故$\angle A = \angle ACD$，所以$AD = CD$。
因为$CD = 5$，所以$AD = 5$。
5

1. 如图4,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$AD\perp BC$ 于点 $D$.
(1)若 $\angle C = 42^{\circ}$,求 $\angle BAD$ 的度数；
(2)若点 $E$ 在边 $AB$ 上,$EF// AC$ 交 $AD$ 的延长线于点 $F$,求证：$AE = FE$.

(1)∠BAD=48°
(2)略