8. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中, $ AB // CD $,过点 $ D $ 的直线交 $ BC $ 于点 $ E $,交 $ AB $ 的延长线于点 $ F $。若 $ \angle 1 = \angle 2 $, $ \angle A = 60° $,则 $ \angle C $ 的度数是。
]

60°

证明：
∵ $AB // CD$，
∴ $\angle 1 = \angle CDE$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $\angle 1 = \angle 2$，
∴ $\angle 2 = \angle CDE$（等量代换），
∴ $AD // BC$（内错角相等，两直线平行）。
∵ $AB // CD$ 且 $AD // BC$，
∴ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $\angle A = \angle C$（平行四边形对角相等）。
∵ $\angle A = 60°$，
∴ $\angle C = 60°$。
60°

9. 如图①,点 $ F $ 在线段 $ AB $ 上,点 $ E $ 在线段 $ CD $ 上, $ \angle 1 + \angle 2 = 180° $, $ \angle A = \angle D $。
(1) 求证: $ AB // CD $。
(2) 如图②,延长 $ AB $ 到点 $ M $,在 $ \angle MBC $, $ \angle BCD $ 内部有一点 $ P $,连接 $ BP $, $ CP $。若 $ \angle CBP = 3 \angle MBP $, $ \angle BCP = 3 \angle DCP $,求 $ \angle BPC $ 的度数。
]

9.
(1)证明:如图。

∵∠2+∠3=180°,∠1+∠2=180°,
∴∠1=∠3,
∴AE//DF,
∴∠A=∠BFD。
∵∠A=∠D,
∴∠D=∠BFD,
∴AB//CD。
(2)解:
∵AM//CD,
∴∠MBC+∠DCB=180°。
∵∠CBP=3∠MBP,∠BCP=3∠DCP,
∴∠CBP= $\frac{3}{4}$∠MBC,∠BCP= $\frac{3}{4}$∠DCB,
∴∠CBP+∠BCP= $\frac{3}{4}$∠MBC+ $\frac{3}{4}$∠DCB=135°,
∴∠BPC=180°-(∠CBP+∠BCP)=45°。

10. 【综合与实践】如图①,在四边形 $ ABCD $ 中, $ AB // CD $,延长 $ BC $ 至点 $ E $,连接 $ AE $ 交 $ CD $ 于点 $ F $,若 $ \angle BAC = \angle DAE $, $ \angle ACB = \angle CFE $。
(1) 求证: $ \angle BAF = \angle CAD $;
(2) 求证: $ AD // BE $;
(3) 如图②,连接 $ BF $,若 $ BF $ 平分 $ \angle ABC $,请写出 $ \angle AFB $ 与 $ \angle CAF $ 的数量关系:______。
]

10.
(1)证明:
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF,
∴∠BAF=∠CAD。
(2)证明:
∵∠BAC=∠DAF,∠ACB=∠CFE=∠AFD,
∴∠B=∠D。
∵AB//CD,
∴∠B+∠BCD=180°,
∴∠D+∠BCD=180°,
∴AD//BE。
(3)2∠AFB+∠CAF=180°
分析:如图。

∵AD//BE,
∴∠E=∠1=∠2。
∵BF平分∠ABC,
∴∠3=∠4。
∵∠AFB是△BEF的外角,
∴∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1,
∴∠AFB=∠3+∠2。
又
∵AD//BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°,
∴∠3+∠4+∠1+∠CAF+∠2=180°,
即2∠AFB+∠CAF=180°。