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1. 角的计算(一)——方程的思想.
例1 如图1,已知$\angle AOC= \angle BOD = 100^{\circ}$,且$\angle AOB:\angle AOD = 2:7$,求$\angle BOC和\angle COD$的度数.
例1 如图1,已知$\angle AOC= \angle BOD = 100^{\circ}$,且$\angle AOB:\angle AOD = 2:7$,求$\angle BOC和\angle COD$的度数.
答案
【解析】此题的关键是求$\angle AOB$的度数. 若求出$\angle AOB$的度数,就可由$\angle AOC= \angle AOB+\angle BOC = 100^{\circ}$,求出$\angle BOC$的度数. 又由$\angle BOD= \angle BOC+\angle COD = 100^{\circ}$,可求出$\angle COD$的度数. 由$\angle AOB:\angle AOD = 2:7$,可设$\angle AOB的度数为2x$,则$\angle AOD的度数为7x$,再由$\angle AOD= \angle AOB+\angle BOD及\angle BOD = 100^{\circ}$,即可求得$\angle AOB$的度数.
解：设$\angle AOB的度数为2x$,则$\angle AOD的度数为7x$.
由$\angle AOD= \angle AOB+\angle BOD及\angle BOD = 100^{\circ}$,
可得$7x = 2x+100^{\circ}$.
解得$x = 20^{\circ}$,所以$\angle AOB = 2x = 40^{\circ}$.
所以$\angle BOC= \angle AOC-\angle AOB = 100^{\circ}-40^{\circ}=60^{\circ}$,
$\angle COD= \angle BOD-\angle BOC = 100^{\circ}-60^{\circ}=40^{\circ}$.
2. 角的计算(二)——分类讨论的思想.
例2 以$\angle AOB的顶点O为端点作射线OC$,使$\angle AOC:\angle BOC = 5:4$.
(1)若$\angle AOB = 18^{\circ}$,求$\angle AOC与\angle BOC$的度数；
(2)若$\angle AOB = m$,求$\angle AOC与\angle BOC$的度数.
例2 以$\angle AOB的顶点O为端点作射线OC$,使$\angle AOC:\angle BOC = 5:4$.
(1)若$\angle AOB = 18^{\circ}$,求$\angle AOC与\angle BOC$的度数；
(2)若$\angle AOB = m$,求$\angle AOC与\angle BOC$的度数.
答案
【解析】本题中的已知条件没有明确地说明$OC在\angle AOB$的内部或外部,所以两个问题都必须分情况讨论.
解：(1)分两种情况：
①$OC在\angle AOB$的外部,可设$\angle AOC = 5x$,则$\angle BOC = 4x$.
得$\angle AOB = x$,即$x = 18^{\circ}$.
所以$\angle AOC = 90^{\circ}$,$\angle BOC = 72^{\circ}$.
②$OC在\angle AOB$的内部,可设$\angle AOC = 5x$,则$\angle BOC = 4x$.
$\angle AOB= \angle AOC+\angle BOC = 9x$,
所以$9x = 18^{\circ}$,则$x = 2^{\circ}$.
所以$\angle AOC = 10^{\circ}$,$\angle BOC = 8^{\circ}$.
(2)同样有两种情况,可得$\angle AOC = 5m$,$\angle BOC = 4m或\angle AOC= \frac{5}{9}m$,$\angle BOC= \frac{4}{9}m$.
解：(1)分两种情况：
①$OC在\angle AOB$的外部,可设$\angle AOC = 5x$,则$\angle BOC = 4x$.
得$\angle AOB = x$,即$x = 18^{\circ}$.
所以$\angle AOC = 90^{\circ}$,$\angle BOC = 72^{\circ}$.
②$OC在\angle AOB$的内部,可设$\angle AOC = 5x$,则$\angle BOC = 4x$.
$\angle AOB= \angle AOC+\angle BOC = 9x$,
所以$9x = 18^{\circ}$,则$x = 2^{\circ}$.
所以$\angle AOC = 10^{\circ}$,$\angle BOC = 8^{\circ}$.
(2)同样有两种情况,可得$\angle AOC = 5m$,$\angle BOC = 4m或\angle AOC= \frac{5}{9}m$,$\angle BOC= \frac{4}{9}m$.
3. 角的计算(三)——整体的思想.
例3 如图2,小明将一张长方形纸片$ABCD的\angle C沿着GF$折叠($F在BC$边上,不与$B$,$C$重合),使得$C点落在长方形ABCD的内部的E$处,$FH平分\angle BFE$,则$\angle GFH的度数\alpha$满足(
A.$90^{\circ}＜\alpha＜180^{\circ}$
B.$\alpha = 90^{\circ}$
C.$0^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ}$
D.$\alpha$随着折痕位置的变化而变化
例3 如图2,小明将一张长方形纸片$ABCD的\angle C沿着GF$折叠($F在BC$边上,不与$B$,$C$重合),使得$C点落在长方形ABCD的内部的E$处,$FH平分\angle BFE$,则$\angle GFH的度数\alpha$满足(
B
)A.$90^{\circ}＜\alpha＜180^{\circ}$
B.$\alpha = 90^{\circ}$
C.$0^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ}$
D.$\alpha$随着折痕位置的变化而变化
答案
B
解析
长方形纸片$ABCD$的$\angle C$沿$GF$折叠，得出$\angle GFC = \angle GFE = \frac{1}{2} \angle CFE$。
$FH$平分$\angle BFE$，得出$\angle EFH = \angle BFH = \frac{1}{2} \angle BFE$。
$\angle GFH = \angle GFE + \angle EFH = \frac{1}{2} (\angle CFE + \angle BFE) = \frac{1}{2} × 180^\circ = 90^\circ$。
故$\alpha = 90^\circ$。
$FH$平分$\angle BFE$，得出$\angle EFH = \angle BFH = \frac{1}{2} \angle BFE$。
$\angle GFH = \angle GFE + \angle EFH = \frac{1}{2} (\angle CFE + \angle BFE) = \frac{1}{2} × 180^\circ = 90^\circ$。
故$\alpha = 90^\circ$。
