1. 如图,把一张长方形纸片$ABCD的一角沿AE$折叠,点$D的对应点D'落在\angle BAC$的内部. 若$\angle CAE = 2\angle BAD'$,且$\angle CAD' = 15^{\circ}$,则$\angle DAE$的度数为 .

21°

设∠DAE = x，由折叠性质得∠D'AE = x。
∵∠CAD' = 15°，∴∠CAE = ∠CAD' + ∠D'AE = 15° + x。
设∠BAD' = y，由题意∠CAE = 2y，即15° + x = 2y。
∵∠DAB = 90°，∠DAD' = ∠DAE + ∠D'AE = 2x，∠CAD = ∠DAD' + ∠CAD' = 2x + 15°，
∴∠BAC = ∠DAB - ∠CAD = 90° - (2x + 15°) = 75° - 2x。
又∠BAC = ∠BAD' + ∠CAD'，即75° - 2x = y + 15°，得y = 60° - 2x。
联立15° + x = 2y和y = 60° - 2x，解得x = 21°。

2. 如图,两把三角尺的直角顶点$C$重合,下列结论中,不一定成立的是()

A.$\angle ACE+\angle BCE = 90^{\circ}$
B.$\angle BCE= \angle BCD$
C.$\angle ACD+\angle BCE = 180^{\circ}$
D.$\angle ACE= \angle BCD$

B

三角尺直角顶点重合，∠ACB=∠ECD=90°。
A：∠ACE+∠BCE=∠ACB=90°，成立。
B：∠BCE与∠BCD位置关系不确定，不一定相等，不成立。
C：∠ACD+∠BCE=∠ACB+∠BCD+∠BCE=∠ACB+∠ECD=90°+90°=180°，成立。
D：∠ACE=∠ACB - ∠BCE=90° - ∠BCE，∠BCD=∠ECD - ∠BCE=90° - ∠BCE，故∠ACE=∠BCD，成立。

3. 下列结论：①平面内$3$条直线两两相交,共有$3$个交点；②在平面内,若$\angle AOB = 40^{\circ}$,$\angle AOC= \angle BOC$,则$\angle AOC的度数为20^{\circ}$；③若线段$AB = 3$,$BC = 2$,则线段$AC的长为1或5$；④若$\angle\alpha+\angle\beta = 180^{\circ}$,且$\angle\alpha＜\angle\beta$,则$\angle\alpha的余角为\frac{1}{2}(\angle\beta-\angle\alpha)$. 其中结论正确的有()
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

A

①平面内3条直线两两相交，可能交于一点（1个交点）或交于三点（3个交点），故①错误；②∠AOB=40°，∠AOC=∠BOC，OC可能在∠AOB内部（∠AOC=20°）或外部（∠AOC=160°），故②错误；③线段AB=3，BC=2，若A、B、C不共线，AC长度不确定，故③错误；④∠α+∠β=180°，则∠β=180°-∠α，∠α的余角=90°-∠α=(180°-2∠α)/2=(∠β-∠α)/2，故④正确。综上，正确结论有1个。

4. 如图,已知$\angle AOB = 120^{\circ}$,$\angle COD在\angle AOB内部且\angle COD = 60^{\circ}$. 下列说法：①如果$\angle AOC= \angle BOD$,则图中有两对互补的角；②如果作$OE平分\angle BOC$,则$\angle AOC = 2\angle DOE$；③如果作$OM平分\angle AOC$,且$\angle MON = 90^{\circ}$,则$ON平分\angle BOD$；④如果在$\angle AOB外部分别作\angle AOC$,$\angle BOD的余角\angle AOP$,$\angle BOQ$,则$\frac{\angle AOP+\angle BOQ}{\angle COD}= 2$. 其中结论正确的有()

A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

D

①设∠AOC=∠BOD=x，由∠AOB=∠AOC+∠COD+∠DOB得2x+60°=120°，解得x=30°。则∠AOD=90°，∠COB=90°，∠COD=60°，∠AOB=120°。互补角为∠AOD+∠COB=180°，∠COD+∠AOB=180°，共两对，①正确。
②设∠AOC=α，则∠BOC=120°-α，OE平分∠BOC得∠BOE=(120°-α)/2=60°-α/2。∠DOB=∠AOB-∠AOC-∠COD=60°-α，故∠DOE=∠BOE-∠DOB=α/2，即∠AOC=2∠DOE，②正确。
③设∠AOC=2β，OM平分∠AOC得∠MOC=β。∠AOB=120°，∠COD=60°，则∠BOD=2γ且β+γ=30°。∠MON=90°，则∠DON=90°-(β+60°)=γ，∠NOB=30°-β=γ，故ON平分∠BOD，③正确。
④∠AOP=90°-∠AOC，∠BOQ=90°-∠BOD，∠AOP+∠BOQ=180°-(∠AOC+∠BOD)=180°-(120°-60°)=120°，则(∠AOP+∠BOQ)/∠COD=120°/60°=2，④正确。

5. 如图,把一张长方形纸片的一角任意折向长方形内,使点$B落在点B'$的位置,折痕为$EF$,再把$CF$折叠,使点$C落在点C'$的位置,折痕为$GF$,$C'F与FB'$在同一条直线上.
(1)分别直接写出$\angle 1与\angle CFE$、$\angle 2与\angle BFG$之间所满足的等量关系；
(2)直接写出$\angle 1与\angle 2$之间的数量关系；
(3)直接写出$\angle EFG$是什么角.

(1) ∠1=∠CFE，∠2=∠BFG；
(2) ∠1+∠2=90°；
(3) 直角。

(1)$\angle 1=\angle CFE$，$\angle 2=\angle BFG$
(2)$\angle 1+\angle 2=90^\circ$
(3)直角