21. (7分)一名在校大学生利用互联网自主创业,销售一种产品,这种产品的成本价为10元/件,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售单价不得高于16元。市场调查发现,该产品每天的销售量 $ y $(件)与销售单价 $ x $(元)之间的函数关系如图所示。
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围；
(2)求每天的销售利润 $ W $(元)与销售单价 $ x $(元)之间的函数关系式,并求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大,最大利润是多少。

解:
(1)$y=-x + 40(10\leq x\leq16)$
(2)根据题意知，$W=(x - 10)y=(x - 10)(-x + 40)=-x^2 + 50x - 400=-(x - 25)^2 + 225$，
∵$a=-1\lt0$，
∴当$x\lt25$时，$W$随$x$的增大而增大，
∵$10\leq x\leq16$，
∴当$x = 16$时，$W$取得最大值，最大值为144元。

22. (7分)如图,$ AB $ 是半圆 $ O $ 的直径,点 $ P $ 是半圆上一点,连接 $ BP $,并延长 $ BP $ 到点 $ C $,使 $ PC = PB $,连接 $ AC $。
(1)求证：$ AB = AC $；
(2)若 $ AB = 4 $,$ \angle ABC = 30^{\circ} $。
①求弦 $ BP $ 的长；②求阴影部分的面积。

(1)略
(2)解:①
∵$\angle APB = 90^{\circ}$，$AB = 4$，$\angle ABC = 30^{\circ}$，
∴$AP=\frac{1}{2}AB = 2$，
∴$BP=\sqrt{AB^2 - AP^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$。②如图，连接$OP$，
∵$\angle ABC = 30^{\circ}$，
∴$\angle PAB = 60^{\circ}$，
∴$\angle POB = 120^{\circ}$。
∵点$O$是$AB$的中点，
∴$S_{\triangle POB}=\frac{1}{2}S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AP\cdot PB=\frac{1}{4}×2×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∴$S_{阴影}=S_{扇形BOP}-S_{\triangle POB}=\frac{120\pi×2^2}{360}-\sqrt{3}=\frac{4}{3}\pi-\sqrt{3}$。　　　　　　

23. (8分)如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle ABC = \angle ADC = 45^{\circ} $,将 $ \triangle BCD $ 绕点 $ C $ 顺时针旋转一定角度后,点 $ B $ 的对应点恰好与点 $ A $ 重合,得到 $ \triangle ACE $。
(1)求旋转角的度数；
(2)请判断 $ AE $ 与 $ BD $ 的位置关系,并说明理由；
(3)若 $ AD = 2 $,$ CD = 3 $,试求出四边形 $ ABCD $ 的对角线 $ BD $ 的长。

解:
(1)
∵将$\triangle BCD$绕点$C$顺时针旋转得到$\triangle ACE$，
∴$\triangle BCD\cong\triangle ACE$，
∴$AC = BC$。又
∵$\angle ABC = 45^{\circ}$，
∴$\angle ABC=\angle BAC = 45^{\circ}$，
∴$\angle ACB = 90^{\circ}$，故旋转角的度数为$90^{\circ}$。
(2)$AE\perp BD$。理由如下:在$Rt\triangle BCM$中，$\angle BCM = 90^{\circ}$，
∴$\angle MBC+\angle BMC = 90^{\circ}$。
∵$\triangle BCD\cong\triangle ACE$，
∴$\angle DBC=\angle EAC$，即$\angle MBC=\angle NAM$。又
∵$\angle BMC=\angle AMN$，
∴$\angle AMN+\angle CAE = 90^{\circ}$，
∴$\angle AND = 90^{\circ}$，
∴$AE\perp BD$。
(3)如图，连接$DE$。　　　　　　 由旋转图形的性质可知$CD = CE$，$BD = AE$，旋转角$\angle DCE = 90^{\circ}$，
∴$\angle EDC=\angle CED = 45^{\circ}$。
∵$CD = 3$，
∴$CE = 3$。在$Rt\triangle DCE$中，$\angle DCE = 90^{\circ}$，
∴$DE=\sqrt{CD^2 + CE^2}=\sqrt{9 + 9}=3\sqrt{2}$。
∵$\angle ADC = 45^{\circ}$，
∴$\angle ADE=\angle ADC+\angle EDC = 90^{\circ}$。 在$Rt\triangle ADE$中，$\angle ADE = 90^{\circ}$，
∴$EA=\sqrt{AD^2 + DE^2}=\sqrt{4 + 18}=\sqrt{22}$
∴$BD=\sqrt{22}$