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14.（山西中考）研学实践:为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动.同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据.
数据采集:如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离.航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20 m的点C处时，测得点A的仰角$∠ ACD=18.4°$；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角$∠ NCD=37°$，当到达点A正上方的点E处时，测得$AE=9$ m.
数据应用:已知图中各点均在同一竖直平面内，E、A、B三点在同一条直线上.请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长.（精确到1m.参考数据：$\sin37°\approx0.60$，$\cos37°\approx0.80$，$\tan37°\approx0.75$，$\sin18.4°\approx0.32$，$\cos18.4°\approx0.95$，$\tan18.4°\approx0.33$）
数据采集:如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离.航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20 m的点C处时，测得点A的仰角$∠ ACD=18.4°$；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角$∠ NCD=37°$，当到达点A正上方的点E处时，测得$AE=9$ m.
数据应用:已知图中各点均在同一竖直平面内，E、A、B三点在同一条直线上.请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长.（精确到1m.参考数据：$\sin37°\approx0.60$，$\cos37°\approx0.80$，$\tan37°\approx0.75$，$\sin18.4°\approx0.32$，$\cos18.4°\approx0.95$，$\tan18.4°\approx0.33$）
答案
14. 如图,延长 CD 交 AB 于点 H. 根据题意知,四边形 CMBH 是矩形. $\therefore CM=HB=20\mathrm{\ m}.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACH$ 中, $∠ AHC=90°, ∠ ACH=18.4°, \therefore \tan∠ ACH=\dfrac{AH}{CH}. \therefore CH=\dfrac{AH}{\tan∠ ACH}=\dfrac{AH}{\tan18.4°}\approx\dfrac{AH}{0.33}.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ECH$ 中, $∠ EHC=90°, ∠ ECH=37°, \therefore \tan∠ ECH=\dfrac{EH}{CH}. \therefore CH=\dfrac{EH}{\tan∠ ECH}=\dfrac{EH}{\tan37°}\approx\dfrac{EH}{0.75}.$ 设 $AH=x\mathrm{\ m}. \because AE=9\mathrm{\ m}, \therefore EH=(x+9)\mathrm{\ m}. \therefore \dfrac{x}{0.33}=\dfrac{x+9}{0.75}.$ 解得 $x\approx7.1. \therefore AB=AH+HB\approx7.1+20=27.1\approx27(\mathrm{m}).$ 即点 A 到地面的距离 AB 的长约为 27 m
解析
【分析】
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题核心是借助两个直角三角形的公共水平边建立等量关系。首先作辅助线延长CD交EB于点H，构造矩形CMBH，即可将C点距离地面20m的已知条件转化为HB的长度。观察可知△ACH和△ECH均为直角三角形，且二者共用直角边CH，我们可分别在两个三角形中用正切函数表示出CH的长度，再结合AE=9m的条件设未知数，利用CH的两个表达式相等列方程求解AH的长度，最后将AH与HB相加即可得到AB的长度。
【解析】
解：如图，延长CD交AB于点H。
根据题意得$CM⊥ MB$，$HB⊥ MB$，CD为水平线，EB为竖直线，因此四边形CMBH是矩形，$\therefore CM=HB=20\mathrm{\ m}$，$∠ AHC=∠ EHC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$∠ ACH=18.4°$，由正切定义可得：
$\tan∠ ACH=\dfrac{AH}{CH}$，即$CH=\dfrac{AH}{\tan18.4°}\approx\dfrac{AH}{0.33}$。
在$\mathrm{Rt}△ ECH$中，$∠ ECH=37°$，同理可得：
$\tan∠ ECH=\dfrac{EH}{CH}$，即$CH=\dfrac{EH}{\tan37°}\approx\dfrac{EH}{0.75}$。
设$AH=x\mathrm{\ m}$，$\because AE=9\mathrm{\ m}$，且E、A、B三点共线，$\therefore EH=AH+AE=(x+9)\mathrm{\ m}$。
结合CH的两个表达式列方程：$\dfrac{x}{0.33}=\dfrac{x+9}{0.75}$
解得$x\approx7.1$
$\therefore AB=AH+HB\approx7.1+20=27.1\approx27(\mathrm{m})$。
【答案】
纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长约为27 m。
【知识点】
解直角三角形应用，矩形的性质，一元一次方程应用
【点评】
本题结合红色研学的实际场景出题，既考查了学生将实际问题转化为几何模型的能力，又体现了数学的实际应用价值，解题关键是找到两个直角三角形的公共边作为等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.6
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题核心是借助两个直角三角形的公共水平边建立等量关系。首先作辅助线延长CD交EB于点H，构造矩形CMBH，即可将C点距离地面20m的已知条件转化为HB的长度。观察可知△ACH和△ECH均为直角三角形，且二者共用直角边CH，我们可分别在两个三角形中用正切函数表示出CH的长度，再结合AE=9m的条件设未知数，利用CH的两个表达式相等列方程求解AH的长度，最后将AH与HB相加即可得到AB的长度。
【解析】
解：如图，延长CD交AB于点H。
根据题意得$CM⊥ MB$，$HB⊥ MB$，CD为水平线，EB为竖直线，因此四边形CMBH是矩形，$\therefore CM=HB=20\mathrm{\ m}$，$∠ AHC=∠ EHC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$∠ ACH=18.4°$，由正切定义可得：
$\tan∠ ACH=\dfrac{AH}{CH}$，即$CH=\dfrac{AH}{\tan18.4°}\approx\dfrac{AH}{0.33}$。
在$\mathrm{Rt}△ ECH$中，$∠ ECH=37°$，同理可得：
$\tan∠ ECH=\dfrac{EH}{CH}$，即$CH=\dfrac{EH}{\tan37°}\approx\dfrac{EH}{0.75}$。
设$AH=x\mathrm{\ m}$，$\because AE=9\mathrm{\ m}$，且E、A、B三点共线，$\therefore EH=AH+AE=(x+9)\mathrm{\ m}$。
结合CH的两个表达式列方程：$\dfrac{x}{0.33}=\dfrac{x+9}{0.75}$
解得$x\approx7.1$
$\therefore AB=AH+HB\approx7.1+20=27.1\approx27(\mathrm{m})$。
【答案】
纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长约为27 m。
【知识点】
解直角三角形应用，矩形的性质，一元一次方程应用
【点评】
本题结合红色研学的实际场景出题，既考查了学生将实际问题转化为几何模型的能力，又体现了数学的实际应用价值，解题关键是找到两个直角三角形的公共边作为等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.6
