12. 已知四边形ABCD与四边形$A_1B_1C_1D_1$相似，并且点A与点$A_1$、点B与点$B_1$、点C与点$C_1$、点D与点$D_1$对应.
（1）已知$∠ A=40°$，$∠ B=110°$，$∠ C_1=90°$，求$∠ D$的度数；
（2）已知$AB=9$，$CD=15$，$A_1B_1=6$，$A_1D_1=4$，$B_1C_1=8$，求四边形ABCD的周长.

(1) $\because$ 四边形ABCD与四边形$A_1B_1C_1D_1$相似，$\therefore ∠ C = ∠ C_1 = 90°$. $\therefore ∠ D = 360° - ∠ A - ∠ B - ∠ C = 360° - 40° - 110° - 90° = 120°$ (2) $\because$ 四边形ABCD与四边形$A_1B_1C_1D_1$相似，$\therefore \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AD}{A_1D_1}$, 即$\frac{9}{6}=\frac{BC}{8}=\frac{AD}{4}$. $\therefore BC=12$, $AD=6$. $\therefore$ 四边形ABCD的周长$=AB+BC+CD+AD=9+12+15+6=42$

【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
（1）首先根据相似多边形对应角相等的性质，由已知的∠C₁的度数得到对应角∠C的度数，再利用四边形内角和为360°，减去已知的∠A、∠B、∠C的度数，即可求出∠D的度数；
（2）首先根据相似多边形对应边成比例的性质，先由AB和A₁B₁的长度求出两个四边形的相似比，再利用相似比分别求出BC、AD的长度，最后将四边形ABCD的四条边长度相加，即可得到周长。
【解析】
（1）
∵四边形ABCD与四边形$A_1B_1C_1D_1$相似，对应角相等
∴$∠C = ∠C_1 = 90°$
∵四边形内角和为$360°$
∴$∠D = 360° - ∠A - ∠B - ∠C = 360° - 40° - 110° - 90° = 120°$
（2）
∵四边形ABCD与四边形$A_1B_1C_1D_1$相似，对应边成比例
∴$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AD}{A_1D_1}$
代入已知边长可得：$\frac{9}{6}=\frac{BC}{8}=\frac{AD}{4}$
解得：$BC=12$，$AD=6$
∴四边形ABCD的周长$=AB+BC+CD+AD=9+12+15+6=42$
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠D=120°}$；（2）$\boldsymbol{42}$
【知识点】
1. 相似多边形的性质
2. 四边形内角和
3. 比例线段计算
【点评】
本题是相似图形性质的基础应用题，解题的核心是准确找到相似多边形的对应角和对应边，牢记相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质，结合四边形内角和公式即可顺利求解，解题时要注意不要混淆对应元素。
【难度系数】
0.85

13. 如图，在矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处。若四边形EFDC与矩形ABCD相似，求AD的长。

根据已知，得四边形ABEF是正方形. 设$AD=x$，则$FD=x-1$，$FE=1$. $\because$ 四边形EFDC与矩形ABCD相似，$\therefore \frac{EF}{FD}=\frac{AD}{AB}$. $\therefore \frac{1}{x-1}=\frac{x}{1}$. 解得$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$或$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$. 经检验，只有$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$是分式方程的解，且符合题意. $\therefore AD=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

【分析】
解题时首先利用折叠的性质，可知△ABE≌△AFE，结合矩形ABCD内角均为直角的特征，可推出四边形ABEF是正方形，得到EF=AB=1。接下来设AD的长为x，即可表示出FD=AD-AF=x-1。已知四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边成比例的性质列出比例式，求解方程后结合边长为正数的实际意义舍去不合题意的解，即可得到AD的长度。
【解析】
解：由折叠的性质可得$△ ABE ≌ △ AFE$，
∴$AB=AF=1$，$∠ B=∠ AFE=90°$，
∵矩形ABCD中$∠ BAF=∠ B=90°$，
∴四边形ABEF是矩形，又$AB=AF$，
∴四边形ABEF是正方形，
∴$EF=AB=1$。
设$AD=x$，则$FD=AD-AF=x-1$，$CD=AB=1$，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴对应边成比例，即$\frac{EF}{FD}=\frac{AD}{AB}$，
代入得$\frac{1}{x-1}=\frac{x}{1}$，
整理得$x^2-x-1=0$，
解得$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$或$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
经检验，$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$为负数，不符合边长为正的实际意义，故舍去，
只有$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$是原方程的解且符合题意。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
【知识点】
1. 折叠的性质
2. 相似多边形的性质
3. 正方形的判定
【点评】
本题是几何与方程结合的基础综合题，解题关键是先通过折叠性质推导出正方形得到相关边的数量关系，再利用相似多边形的性质列方程求解，求解后要注意验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6

14. 如图,在矩形ABCD中,AB=12,BC=16,E、F分别是AB、CD上的点,且AE=DF=8,两动点M、N都以2cm/s的速度分别从C、F两点沿CB、FE向B、E两点运动,判断当点M、N运动多长时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似,并证明你的结论.

设运动t s能使矩形CFNM与矩形AEFD相似. 证明如下:由题意,得$\frac{16}{2t}=\frac{8}{4}$或$\frac{16}{4}=\frac{8}{2t}$. 解得$t=4$或$t=1$. 当$t=4$时,$NF=8$. $\because \frac{AD}{NF}=\frac{DF}{FC}=\frac{2}{1}$,四边形CFNM与AEFD都是矩形,$\therefore$ 矩形CFNM与矩形AEFD相似. 同理可证,当$t=1$时,矩形CFNM与矩形AEFD相似

【分析】
要判断矩形CFNM与矩形AEFD相似的运动时间，首先回忆相似矩形的判定规则：对应边成比例的矩形互为相似矩形。第一步先确定两个矩形的已知边长：先根据矩形ABCD的边长和AE、DF的长度算出FC的长度，再结合动点的速度和运动时间t表示出矩形CFNM的边NF的长度；第二步因为两个矩形的边对应关系不唯一，需要分两种情况列比例式：一是矩形AEFD的长对应矩形CFNM的长、宽对应宽，二是矩形AEFD的长对应矩形CFNM的宽、宽对应长；第三步解比例式得到t的值后验证合理性即可。
【解析】
设运动t s时矩形CFNM与矩形AEFD相似。
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=12，AD=BC=16，
∵DF=8，
∴FC=CD-DF=12-8=4，
∵点N的运动速度为2cm/s，运动时间为t s，
∴NF=2t。
矩形AEFD的两边长为AD=16、DF=8，矩形CFNM的两边长为FC=4、NF=2t，矩形相似需对应边成比例，分两种情况讨论：
1. 当AD与NF为对应边，DF与FC为对应边时：
$\frac{AD}{NF}=\frac{DF}{FC}$，代入得$\frac{16}{2t}=\frac{8}{4}$，
解得$t=4$。
此时$\frac{AD}{NF}=\frac{16}{8}=2$，$\frac{DF}{FC}=\frac{8}{4}=2$，对应边成比例，且两个四边形均为矩形，故相似。
2. 当AD与FC为对应边，DF与NF为对应边时：
$\frac{AD}{FC}=\frac{DF}{NF}$，代入得$\frac{16}{4}=\frac{8}{2t}$，
解得$t=1$。
此时$\frac{AD}{FC}=\frac{16}{4}=4$，$\frac{DF}{NF}=\frac{8}{2}=4$，对应边成比例，且两个四边形均为矩形，故相似。
【答案】
当点M、N运动1s或4s时，矩形CFNM与矩形AEFD相似。
【知识点】
相似矩形的判定；矩形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是相似图形与动点结合的基础题型，解题核心是明确矩形相似时对应边的对应关系不唯一，需分类讨论，结合动点路程公式列比例式求解即可，注意不要漏解。
【难度系数】
0.7