7. 如图,在一矩形ABCD的花坛四周修筑小路,使得相对两条小路的宽均相等.如果AB=20 m,AD=30 m,试问:小路的宽x与y的比值为多少时,能使小路四周所围成的矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似?请说明理由.

由矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似知，$\frac{20}{20+2y}=\frac{30}{30+2x}$. 从而得20(30+2x)=30(20+2y). $\therefore \frac{x}{y}=\frac{3}{2}$. 即当小路的宽x与y的比值为$\frac{3}{2}$时，能使小路四周所围成的矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似

【分析】
要解决这个问题，首先回忆相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例。第一步先明确两个矩形的边长：原矩形ABCD的宽AB=20m、长AD=30m；修筑小路后，新矩形A'B'C'D'的宽为原宽加上上下两条小路的宽度，即20+2y，长为原长加上左右两条小路的宽度，即30+2x。第二步根据相似矩形对应边成比例的性质列出比例式，再利用比例的基本性质化简求解，就能得到x与y的比值。
【解析】
解：
∵ 矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$相似，
∴ 两个矩形的对应边成比例，即$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'}$。
由题意可知：$A'B'=AB+2y=20+2y$，$A'D'=AD+2x=30+2x$，
代入比例式得：$\frac{20}{20+2y}=\frac{30}{30+2x}$，
交叉相乘得：$20(30+2x)=30(20+2y)$，
展开整理得：$600+40x=600+60y$，即$40x=60y$，
化简得：$\frac{x}{y}=\frac{60}{40}=\frac{3}{2}$。
【答案】
当小路的宽$x$与$y$的比值为$\frac{3}{2}$时，能使小路四周所围成的矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$相似。
【知识点】
相似多边形的性质，比例的基本性质
【点评】
本题是相似图形性质的实际应用问题，解题的关键是准确表示出新矩形的边长，找准相似矩形的对应边列出比例式，要注意小路在矩形两侧均有分布，计算新边长时不要漏乘2倍的小路宽度。
【难度系数】
0.7

8. 已知图中的两个梯形相似，求未知边x、y、z的长和角α、β的大小。

x=3，y=6，z=2，α=120°，β=60°

【分析】
解题时先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形对应边成比例、对应角相等，同时结合梯形“上下底平行，同旁内角互补”的性质推导。首先通过已知的对应腰长确定两个梯形的相似比，再利用相似比计算未知边的长度；最后结合相似对应角相等、梯形同旁内角互补的规律求出未知角的度数，注意要找准对应边和对应角，避免相似比顺序颠倒。
【解析】
解：
∵两个梯形相似
∴其对应边成比例，对应角相等，相似比为$\frac{AD}{A'D'}=\frac{3}{2}$
1. 计算未知边长度：
根据对应边成比例可得：
$\frac{DC}{D'C'}=\frac{x}{2}=\frac{3}{2}$，解得$x=3$
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{y}{4}=\frac{3}{2}$，解得$y=6$
$\frac{BC}{B'C'}=\frac{3}{z}=\frac{3}{2}$，解得$z=2$
2. 计算未知角的度数：
∵梯形上下底平行，即$DC// AB$、$D'C'// A'B'$
∴同旁内角互补，$∠ A+∠ D=180°$，又
∵相似对应角相等，$α=∠ D$
∴$α=180°-∠ A=180°-60°=120°$
同理，相似对应角相等得$∠ C=∠ C'=120°$，且$∠ C+∠ B=180°$，$β=∠ B$
∴$β=180°-∠ C=180°-120°=60°$
【答案】
$x=3$，$y=6$，$z=2$，$α=120°$，$β=60°$
【知识点】
相似多边形的性质，梯形的性质
【点评】
本题属于相似图形性质的基础应用题，解题的核心是准确识别对应边、对应角，注意相似比的对应顺序不要混淆，同时结合梯形的内角性质推导角度即可，掌握基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.75

9. 如图,四边形ABCD与四边形EFGH相似,点A、B、C、D分别与E、F、G、H对应,AD:EH=k,点A、E、B、F在同一条直线上,则下列说法中不一定正确的是 【 】

A.$∠ C=∠ G$
B.$AD// EH$
C.$CD:HG=k$
D.$BC⊥ HG$

D

【分析】
解题时首先回忆相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似比等于对应边的比值。然后结合题中给出的对应顶点关系、点共线的条件，逐一分析各选项：
1. 利用对应角相等可直接判断A选项；
2. 利用对应边成比例可直接判断C选项；
3. 对应角∠A与∠HEF相等，结合点共线可得同位角相等，可推出AD//EH，即可判断B选项；
4. 题中无直角相关条件，无法推出垂直关系，即可判断D选项不一定正确。
【解析】
已知四边形ABCD与四边形EFGH相似，点A、B、C、D分别与E、F、G、H对应，相似比AD:EH=k：
选项A：相似多边形对应角相等，∠C与∠G是对应角，因此∠C=∠G，说法正确，不符合题意；
选项B：∠A与∠HEF是对应角，故∠A=∠HEF，又点A、E、B、F共线，∠A与∠HEF是同位角，同位角相等两直线平行，因此AD//EH，说法正确，不符合题意；
选项C：相似多边形对应边成比例，CD与HG是对应边，因此CD:HG=AD:EH=k，说法正确，不符合题意；
选项D：题中没有给出角为90°的相关条件，无法推出BC与HG垂直，该说法不一定正确，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
相似多边形的性质，平行线的判定
【点评】
本题考查相似图形性质的基础应用，解题时要严格依据相似多边形的性质推导结论，不能凭主观臆断图形中不存在的位置关系，分析时要结合已知条件逐一验证选项。
【难度系数】
0.8

10. 矩形的两边长分别为$ x $和$ 6(x ＜ 6) $，把它按如图所示的方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则$ x = \_\_\_\_\_\_ $。

$2\sqrt{3}$

【分析】
解题时首先明确相似多边形的核心性质：对应边成比例。第一步先确定原矩形和小矩形的边长：原矩形长为6，宽为x（x＜6）；分割后每个小矩形的长等于原矩形的宽x，小矩形的宽为原长的三分之一即6÷3=2。第二步根据相似图形对应边成比例的性质列比例式，第三步解比例式结合边长为正的隐含条件得到x的值即可。
【解析】
解：
∵原矩形的两边长分别为6和x（x＜6），分割为三个全等的小矩形，
∴每个小矩形的长为x，宽为$\frac{6}{3}=2$。
∵小矩形与原矩形相似，根据相似多边形对应边成比例，可得：
$\frac{6}{x}=\frac{x}{2}$
交叉相乘得：$x^2=12$
∵x为矩形边长，$x＞0$，
∴$x=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，满足$x＜6$的条件。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
相似多边形的性质，比例方程求解，矩形的性质
【点评】
本题考查相似图形性质的应用，解题关键是准确识别两个矩形的对应边，避免对应边匹配错误，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.6

11. 如图，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'相似，则∠B=，B'C'=。

11. 130° 6

【分析】要解决本题，首先回忆相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。第一步求∠B：先根据相似性质确定四边形ABCD的其余三个内角度数，再结合四边形内角和为360°即可计算出∠B的度数；第二步求B'C'的长度：先找准两组对应边AB与A'B'、BC与B'C'，根据对应边成比例列出关于x的方程，解方程求出x的值后代入15-x即可得到B'C'的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD和四边形A'B'C'D'相似，
∴对应角相等，对应边成比例，
∴∠A=∠A'=75°，∠D=∠D'=95°，∠C=∠C'=60°，
∵四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$，
∴$∠ B=360°-∠ A-∠ D-∠ C=360°-75°-95°-60°=130°$。
又
∵AB=4，$A'B'=3x-19$，BC=3，$B'C'=15-x$，且对应边成比例，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，即$\frac{4}{3x-19}=\frac{3}{15-x}$，
交叉相乘得：$4(15-x)=3(3x-19)$，
展开得：$60-4x=9x-57$，
移项合并同类项得：$13x=117$，
解得：$x=9$，
∴$B'C'=15-x=15-9=6$。
【答案】$130°$；$6$
【知识点】相似多边形性质；四边形内角和；解比例方程
【点评】本题侧重对相似图形基本性质的考查，解题的核心是准确识别相似多边形的对应角与对应边，结合内角和定理与比例关系计算即可，掌握相似图形的性质是解这类题的基础。
【难度系数】0.7