3.如图，$BC=DC$，$∠ 1=∠ 2$，求证$△ ABC ≌ △ ADC$.

3. 证明 $\because ∠ 1=∠ 2$,
$\therefore ∠ ACB = ∠ ACD$, 在 $△ ABC$ 和$△ ADC$ 中,$\begin{cases} AC=AC, \\ ∠ ACB=∠ ACD, \\ BC=DC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC(\mathrm{SAS})$.

【分析】
要证明△ABC≌△ADC，首先回忆SAS全等判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。已知条件给出BC=DC，且AC是两个三角形的公共边，天然相等，此时仅需要证明两组边的夹角∠ACB和∠ACD相等即可。已知∠1=∠2，∠ACB与∠1互为邻补角，∠ACD与∠2互为邻补角，根据等角的补角相等就能推出两个夹角相等，满足SAS判定条件即可完成证明。
【解析】
证明：$\because ∠ 1=∠ 2$,
$\therefore 180°-∠1=180°-∠2$，即$∠ ACB = ∠ ACD$,
在 $△ ABC$ 和$△ ADC$ 中,
$\begin{cases} AC=AC(公共边相等), \\ ∠ ACB=∠ ACD(已证), \\ BC=DC(已知), \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC(\mathrm{SAS})$.
【答案】
证明过程如上，△ABC≌△ADC成立。
【知识点】
邻补角的性质，全等三角形SAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，重点考查SAS判定定理的应用，解题时要注意挖掘题目隐含的相等条件（如本题的公共边），结合已知条件推导全等判定所需的要素即可快速解题。
【难度系数】
0.8

4. 如图，$AC // EG$，$BC // EF$，延长GE分别交BC，BA于点P，D，且$AC=GE$，$BC=FE$. 求证$∠ A = ∠ G$.

4. 证明 $\because AC// EG$,
$\therefore ∠ C=∠ CPG$.
$\because BC// EF,\therefore ∠ CPG=∠ FEG$,
$\therefore ∠ C=∠ FEG$.
在$△ ABC$ 和$△ GFE$ 中,
$\begin{cases} AC=GE, \\ ∠ BCA=∠ FEG, \\ BC=FE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ GFE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ A=∠ G$.

【分析】
要证明∠A=∠G，可通过证明两角所在的三角形全等实现。观察可得∠A、∠G分别是△ABC和△GFE的内角，已知两个三角形有两组对应边相等：AC=GE、BC=FE，因此只需证明两组边的夹角∠BCA和∠FEG相等即可。结合已知的平行线条件，利用平行线的性质推导等角：先由AC//EG可得∠C与∠CPG相等，再由BC//EF可得∠CPG与∠FEG相等，等量代换即可得到夹角相等，随后用SAS判定两三角形全等，最后根据全等三角形对应角相等即可得证。
【解析】
证明：
$\because AC// EG$，
$\therefore ∠ C=∠ CPG$（两直线平行，内错角相等）。
$\because BC// EF$，
$\therefore ∠ CPG=∠ FEG$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠ C=∠ FEG$（等量代换）。
在$△ ABC$和$△ GFE$中：
$\begin{cases}AC=GE, \\∠ BCA=∠ FEG, \\BC=FE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ GFE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ A=∠ G$（全等三角形的对应角相等）。
【答案】
$\because AC// EG$,
$\therefore ∠ C=∠ CPG$.
$\because BC// EF,\therefore ∠ CPG=∠ FEG$,
$\therefore ∠ C=∠ FEG$.
在$△ ABC$ 和$△ GFE$ 中,
$\begin{cases} AC=GE, \\ ∠ BCA=∠ FEG, \\ BC=FE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ GFE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ A=∠ G$.
【知识点】
平行线的性质；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题型，解题的关键是结合平行线的性质得到全等判定所需的等角条件，再结合已知的等边条件，利用SAS判定定理证明三角形全等，进而得到对应角相等，需注意找准全等三角形的对应边和对应角。
【难度系数】
0.8

5. 如图,在$△ ABC$中,BE,CF分别是AC,AB两边上的高,在BE上截取$BD=AC$,在CF的延长线上截取$CG=AB$,连接AD,AG.

(1)求证$∠ CGA=∠ BAD$;
(2)连接GD,判断$△ AGD$的形状,并说明理由.

5. (1)证明 由题意知，$∠ CEH = ∠ BFH=90°$,
$\because ∠ CHE=∠ BHF$,
$\therefore ∠ ECH=∠ FBH$,
即$∠ ACG=∠ ABD$.
在$△ ACG$ 和$△ DBA$ 中,
$\begin{cases} AC=DB, \\ ∠ ACG=∠ DBA, \\ CG=BA, \end{cases}$
$\therefore △ ACG≌△ DBA(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ CGA=∠ BAD$.
(2)解 $△ AGD$ 是等腰直角三角形.
理由：
由(1)得,$△ ACG≌△ DBA$,
$\therefore AG=AD,∠ AGC=∠ DAB$.
$\because CF$ 是$△ ABC$ 的高,
$\therefore ∠ AFG=90°$,
$\therefore ∠ AGC+∠ GAF=90°$,
$\therefore ∠ DAB+∠ GAF=90°$,
即$∠ GAD=90°$,
$\therefore △ AGD$ 是等腰直角三角形.

【分析】
(1)要证明∠CGA=∠BAD，可通过证明两角所在的三角形全等实现。已知BD=AC、CG=AB，只需证明两边的夹角∠ACG=∠ABD即可：由BE、CF是三角形的高可得对应直角相等，结合对顶角相等，可推出∠ACG=∠ABD，进而用SAS证明△ACG≌△DBA，根据全等三角形对应角相等即可得证。
(2)判断△AGD的形状，先由(1)的全等可得AG=AD，确定是等腰三角形；再证明顶角∠GAD=90°：由CF是高可得∠AGC+∠GAF=90°，结合全等的对应角相等代换可得∠DAB+∠GAF=90°，即∠GAD为直角，即可判断三角形形状。
【解析】
(1)证明：由题意知，BE、CF分别是AC、AB边上的高，所以$∠ CEH = ∠ BFH=90°$,
$\because ∠ CHE=∠ BHF$（对顶角相等）,
$\therefore ∠ ECH=∠ FBH$（等角的余角相等）,
即$∠ ACG=∠ ABD$.
在$△ ACG$ 和$△ DBA$ 中,
$\begin{cases} AC=DB, \\ ∠ ACG=∠ DBA, \\ CG=BA, \end{cases}$
$\therefore △ ACG≌△ DBA(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ CGA=∠ BAD$（全等三角形对应角相等）.
(2)解：$△ AGD$ 是等腰直角三角形，理由如下：
由(1)得,$△ ACG≌△ DBA$,
$\therefore AG=AD,∠ AGC=∠ DAB$（全等三角形对应边相等、对应角相等）.
$\because CF$ 是$△ ABC$ 的高,
$\therefore ∠ AFG=90°$,
$\therefore ∠ AGC+∠ GAF=90°$（直角三角形两锐角互余）,
$\therefore ∠ DAB+∠ GAF=90°$（等量代换）,
即$∠ GAD=90°$,
$\therefore △ AGD$ 是等腰直角三角形.
【答案】
(1)已证得$∠ CGA=∠ BAD$；
(2)$△ AGD$是等腰直角三角形。
【知识点】
全等三角形的SAS判定，全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定
【点评】
本题综合考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用高的性质和对顶角相等推导得到全等所需的角相等的条件，再结合全等的性质进一步推导边和角的关系，能有效提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7