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1. 在下列各组数中，一元二次方程$3x^2 - x - 2 = 0$的解是(
A.$x_1=1, x_2=\dfrac{2}{3}$
B.$x_1=-1, x_2=\dfrac{2}{3}$
C.$x_1=-1, x_2=-\dfrac{2}{3}$
D.$x_1=1, x_2=-\dfrac{2}{3}$
D
)。A.$x_1=1, x_2=\dfrac{2}{3}$
B.$x_1=-1, x_2=\dfrac{2}{3}$
C.$x_1=-1, x_2=-\dfrac{2}{3}$
D.$x_1=1, x_2=-\dfrac{2}{3}$
答案
1. D
解析
【分析】
本题要求找出一元二次方程的解，有两种常见解题思路：一是直接解方程得到根后匹配选项，可选用因式分解法（十字相乘法）或公式法，计算效率更高；二是将选项中的数值代入方程验证左右两边是否相等，适合想快速排除错误选项的同学。
【解析】
我们用因式分解法求解：
对于方程$3x^2 - x - 2 = 0$，用十字相乘法分解二次三项式：
将二次项系数3拆为$3×1$，常数项$-2$拆为$2×(-1)$，交叉相乘相加得$3×(-1)+1×2=-1$，刚好等于一次项系数，因此方程可改写为：
$(3x + 2)(x - 1) = 0$
令每个因式分别等于0，可得：
$3x + 2 = 0$ 或 $x - 1 = 0$
分别解得：$x_1=-\dfrac{2}{3}$，$x_2=1$，对应选项D。
也可使用公式法验证：
一元二次方程求根公式为$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，本题$a=3,b=-1,c=-2$，判别式$\Delta=(-1)^2-4×3×(-2)=25$，代入公式得$x=\dfrac{1\pm5}{6}$，解得$x_1=1,x_2=-\dfrac{2}{3}$，结果一致。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求解、因式分解法
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程的基础解法，熟练掌握十字相乘法能大幅提升解题速度，也可通过代入验证法快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
本题要求找出一元二次方程的解，有两种常见解题思路：一是直接解方程得到根后匹配选项，可选用因式分解法（十字相乘法）或公式法，计算效率更高；二是将选项中的数值代入方程验证左右两边是否相等，适合想快速排除错误选项的同学。
【解析】
我们用因式分解法求解：
对于方程$3x^2 - x - 2 = 0$，用十字相乘法分解二次三项式：
将二次项系数3拆为$3×1$，常数项$-2$拆为$2×(-1)$，交叉相乘相加得$3×(-1)+1×2=-1$，刚好等于一次项系数，因此方程可改写为：
$(3x + 2)(x - 1) = 0$
令每个因式分别等于0，可得：
$3x + 2 = 0$ 或 $x - 1 = 0$
分别解得：$x_1=-\dfrac{2}{3}$，$x_2=1$，对应选项D。
也可使用公式法验证：
一元二次方程求根公式为$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，本题$a=3,b=-1,c=-2$，判别式$\Delta=(-1)^2-4×3×(-2)=25$，代入公式得$x=\dfrac{1\pm5}{6}$，解得$x_1=1,x_2=-\dfrac{2}{3}$，结果一致。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求解、因式分解法
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程的基础解法，熟练掌握十字相乘法能大幅提升解题速度，也可通过代入验证法快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
2. 下表是代数式$x^2 - x$的值的情况，根据表格可知方程$x^2 - x = 2$的解是（
A.$x=-1$
B.$x=0$
C.$x=2$
D.$x=-1$或$x=2$
D
）。A.$x=-1$
B.$x=0$
C.$x=2$
D.$x=-1$或$x=2$
答案
2. D
解析
【分析】
方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此要找方程$x^2 -x=2$的解，只需要在表格中找到代数式$x^2 -x$的值等于2时对应的$x$的取值即可。
【解析】
根据方程解的定义，我们需要找到使代数式$x^2 -x$的值为2的$x$：
观察表格可知，当$x=-1$时，$x^2 -x=2$，满足方程；
当$x=2$时，$x^2 -x=2$，也满足方程。
因此方程$x^2 -x=2$的解是$x=-1$或$x=2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，解题核心是理解方程解的含义，通过直接查找表格中对应的数据就能得到答案，不需要复杂计算。
【难度系数】
0.9
方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此要找方程$x^2 -x=2$的解，只需要在表格中找到代数式$x^2 -x$的值等于2时对应的$x$的取值即可。
【解析】
根据方程解的定义，我们需要找到使代数式$x^2 -x$的值为2的$x$：
观察表格可知，当$x=-1$时，$x^2 -x=2$，满足方程；
当$x=2$时，$x^2 -x=2$，也满足方程。
因此方程$x^2 -x=2$的解是$x=-1$或$x=2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，解题核心是理解方程解的含义，通过直接查找表格中对应的数据就能得到答案，不需要复杂计算。
【难度系数】
0.9
3. 若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$有一个解为$x = -1$，则$a - b + c =$
若$a - 2b + 4c = 0$，则方程有一个解为
0
；若$a - 2b + 4c = 0$，则方程有一个解为
$x=-\dfrac{1}{2}$
。答案
3. 0 $x=-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
解题核心是运用一元二次方程解的定义：若x=m是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的解，则将x=m代入方程可使等式$am^2+bm+c=0$成立。第一空已知方程的一个解为$x=-1$，直接代入方程即可计算$a-b+c$的值；第二空已知$a-2b+4c=0$，将该等式变形为$ax^2+bx+c=0$的标准形式，找到对应的x值即为方程的解。
【解析】
1. 求第一个空：
∵$x=-1$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的解，根据方程解的定义，将$x=-1$代入方程得：
$a· (-1)^2 + b· (-1) + c = 0$
化简可得：$a - b + c = 0$，因此第一个空填0。
2. 求第二个空：
已知$a - 2b + 4c = 0$，将等式两边同时除以4，得：
$\frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + c = 0$
将式子变形为与方程左边一致的结构：
$a· (-\frac{1}{2})^2 + b· (-\frac{1}{2}) + c = 0$
对比$ax^2+bx+c=0$的形式，可知当$x=-\frac{1}{2}$时，等式成立，因此方程的一个解为$x=-\frac{1}{2}$。
【答案】
0；$x=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的解的定义
2. 等式的基本性质
【点评】
本题侧重对基础概念的运用，解题关键是灵活掌握方程解的含义，既可以将已知解代入方程得到等式，也可以通过给定的等式反推方程的解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题核心是运用一元二次方程解的定义：若x=m是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的解，则将x=m代入方程可使等式$am^2+bm+c=0$成立。第一空已知方程的一个解为$x=-1$，直接代入方程即可计算$a-b+c$的值；第二空已知$a-2b+4c=0$，将该等式变形为$ax^2+bx+c=0$的标准形式，找到对应的x值即为方程的解。
【解析】
1. 求第一个空：
∵$x=-1$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的解，根据方程解的定义，将$x=-1$代入方程得：
$a· (-1)^2 + b· (-1) + c = 0$
化简可得：$a - b + c = 0$，因此第一个空填0。
2. 求第二个空：
已知$a - 2b + 4c = 0$，将等式两边同时除以4，得：
$\frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + c = 0$
将式子变形为与方程左边一致的结构：
$a· (-\frac{1}{2})^2 + b· (-\frac{1}{2}) + c = 0$
对比$ax^2+bx+c=0$的形式，可知当$x=-\frac{1}{2}$时，等式成立，因此方程的一个解为$x=-\frac{1}{2}$。
【答案】
0；$x=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的解的定义
2. 等式的基本性质
【点评】
本题侧重对基础概念的运用，解题关键是灵活掌握方程解的含义，既可以将已知解代入方程得到等式，也可以通过给定的等式反推方程的解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 观察下列表格中的对应值：
判断方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0,a,b,c为常数)$的一个解$x$的范围是(
A.$3 ＜ x ＜ 3.23$
B.$3.23 ＜ x ＜ 3.24$
C.$3.24 ＜ x ＜ 3.25$
D.$3.25 ＜ x ＜ 3.26$
判断方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0,a,b,c为常数)$的一个解$x$的范围是(
C
)。A.$3 ＜ x ＜ 3.23$
B.$3.23 ＜ x ＜ 3.24$
C.$3.24 ＜ x ＜ 3.25$
D.$3.25 ＜ x ＜ 3.26$
答案
4. C
解析
【分析】
我们要判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，首先要明确：该方程的解就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时自变量$x$的取值。因为二次函数的图象是连续的曲线，所以当函数值在两个相邻的$x$取值处从负变为正（或从正变为负）时，这两个$x$之间一定存在一个值使得函数值为0，也就是方程的解。接下来我们只需观察表格中$ax^2+bx+c$的正负变化对应的$x$区间即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系，方程$ax^2+bx+c=0$的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时$x$的取值。
由于二次函数图象是连续的，若函数值在某两个$x$的取值之间变号，则该区间内必有一个$x$使得$y=0$，即对应方程的一个解。
观察表格数据：
当$x=3.24$时，$ax^2+bx+c=-0.02＜0$；
当$x=3.25$时，$ax^2+bx+c=0.03＞0$；
因此在$3.24＜x＜3.25$的范围内，存在$x$使得$ax^2+bx+c=0$，即方程的一个解在这个区间内。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 方程近似解估算
【点评】
本题考查利用二次函数的函数值变化估算一元二次方程近似解的方法，核心是理解连续函数值变号区间内存在零点的规律，是对函数与方程关系的基础应用。
【难度系数】
0.8
我们要判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，首先要明确：该方程的解就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时自变量$x$的取值。因为二次函数的图象是连续的曲线，所以当函数值在两个相邻的$x$取值处从负变为正（或从正变为负）时，这两个$x$之间一定存在一个值使得函数值为0，也就是方程的解。接下来我们只需观察表格中$ax^2+bx+c$的正负变化对应的$x$区间即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系，方程$ax^2+bx+c=0$的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时$x$的取值。
由于二次函数图象是连续的，若函数值在某两个$x$的取值之间变号，则该区间内必有一个$x$使得$y=0$，即对应方程的一个解。
观察表格数据：
当$x=3.24$时，$ax^2+bx+c=-0.02＜0$；
当$x=3.25$时，$ax^2+bx+c=0.03＞0$；
因此在$3.24＜x＜3.25$的范围内，存在$x$使得$ax^2+bx+c=0$，即方程的一个解在这个区间内。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 方程近似解估算
【点评】
本题考查利用二次函数的函数值变化估算一元二次方程近似解的方法，核心是理解连续函数值变号区间内存在零点的规律，是对函数与方程关系的基础应用。
【难度系数】
0.8
5. 根据关于x的一元二次方程$x^2 + px + q = 0$，可列表如下：
则方程$x^2 + px + q = 0$的正数解满足（
A.整数部分是0，十分位是5
B.整数部分是0，十分位是8
C.整数部分是1，十分位是1
D.整数部分是1，十分位是2
则方程$x^2 + px + q = 0$的正数解满足（
C
）。A.整数部分是0，十分位是5
B.整数部分是0，十分位是8
C.整数部分是1，十分位是1
D.整数部分是1，十分位是2
答案
5. C
解析
【分析】
要确定一元二次方程$x^2 + px + q = 0$的正数解的范围，需明确该方程的解就是二次函数$y=x^2 + px + q$的函数值为0时对应的x值。根据函数的连续性，当相邻两个x对应的函数值一正一负时，方程的解就在这两个x之间，因此我们只需找到函数值由负变正的x区间，就能确定解的整数部分和十分位。
【解析】
方程$x^2 + px + q = 0$的解是使$x^2 + px + q$的值为0的x的取值。
观察表格数据：
当$x=1.1$时，$x^2 + px + q=-0.59＜0$；
当$x=1.2$时，$x^2 + px + q=0.84＞0$。
由此可知方程的一个正数解满足$1.1 ＜ x ＜ 1.2$，因此这个解的整数部分是1，十分位是1。
综上本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程近似解估算
【点评】
本题考查利用表格中二次函数的取值变化估算一元二次方程的近似解，解题关键是掌握函数值正负切换的区间对应方程解的区间这一规律，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
要确定一元二次方程$x^2 + px + q = 0$的正数解的范围，需明确该方程的解就是二次函数$y=x^2 + px + q$的函数值为0时对应的x值。根据函数的连续性，当相邻两个x对应的函数值一正一负时，方程的解就在这两个x之间，因此我们只需找到函数值由负变正的x区间，就能确定解的整数部分和十分位。
【解析】
方程$x^2 + px + q = 0$的解是使$x^2 + px + q$的值为0的x的取值。
观察表格数据：
当$x=1.1$时，$x^2 + px + q=-0.59＜0$；
当$x=1.2$时，$x^2 + px + q=0.84＞0$。
由此可知方程的一个正数解满足$1.1 ＜ x ＜ 1.2$，因此这个解的整数部分是1，十分位是1。
综上本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程近似解估算
【点评】
本题考查利用表格中二次函数的取值变化估算一元二次方程的近似解，解题关键是掌握函数值正负切换的区间对应方程解的区间这一规律，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
1. 在$x=-5$,$x=-2$,$x=1$,$x=3$中,是方程$x^2 + 2x -15=0$的解的有
x=-5，x=3
。答案
1. x = -5 , x = 3
解析
【分析】
判断给定数值是否为方程的解，有两种常用解题思路：①根据方程解的定义，将每个x的值代入方程左边计算，若计算结果等于右边的0，则该x值是方程的解；②先求解一元二次方程得到所有根，再与给出的x值对照，一致的即为方程的解，两种方法都适合本题解答。
【解析】
方法一：代入验证法
分别将四个x值代入方程左边$x^2+2x-15$计算：
1. 当$x=-5$时，左边$=(-5)^2 + 2×(-5) -15 =25-10-15=0$，左边=右边，故$x=-5$是方程的解；
2. 当$x=-2$时，左边$=(-2)^2 + 2×(-2) -15 =4-4-15=-15≠0$，故$x=-2$不是方程的解；
3. 当$x=1$时，左边$=1^2 + 2×1 -15 =1+2-15=-12≠0$，故$x=1$不是方程的解；
4. 当$x=3$时，左边$=3^2 + 2×3 -15 =9+6-15=0$，左边=右边，故$x=3$是方程的解。
方法二：解方程法
对一元二次方程$x^2+2x-15=0$因式分解，可得：
$(x+5)(x-3)=0$
令每个因式等于0，得$x+5=0$或$x-3=0$
解得$x_1=-5$，$x_2=3$，对照给定的x值，可知方程的解为$x=-5$、$x=3$。
【答案】
$x=-5$，$x=3$
【知识点】
1. 一元二次方程的解
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程解的判定，两种解题思路都很直观，熟练掌握方程解的定义和一元二次方程的基本解法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
判断给定数值是否为方程的解，有两种常用解题思路：①根据方程解的定义，将每个x的值代入方程左边计算，若计算结果等于右边的0，则该x值是方程的解；②先求解一元二次方程得到所有根，再与给出的x值对照，一致的即为方程的解，两种方法都适合本题解答。
【解析】
方法一：代入验证法
分别将四个x值代入方程左边$x^2+2x-15$计算：
1. 当$x=-5$时，左边$=(-5)^2 + 2×(-5) -15 =25-10-15=0$，左边=右边，故$x=-5$是方程的解；
2. 当$x=-2$时，左边$=(-2)^2 + 2×(-2) -15 =4-4-15=-15≠0$，故$x=-2$不是方程的解；
3. 当$x=1$时，左边$=1^2 + 2×1 -15 =1+2-15=-12≠0$，故$x=1$不是方程的解；
4. 当$x=3$时，左边$=3^2 + 2×3 -15 =9+6-15=0$，左边=右边，故$x=3$是方程的解。
方法二：解方程法
对一元二次方程$x^2+2x-15=0$因式分解，可得：
$(x+5)(x-3)=0$
令每个因式等于0，得$x+5=0$或$x-3=0$
解得$x_1=-5$，$x_2=3$，对照给定的x值，可知方程的解为$x=-5$、$x=3$。
【答案】
$x=-5$，$x=3$
【知识点】
1. 一元二次方程的解
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程解的判定，两种解题思路都很直观，熟练掌握方程解的定义和一元二次方程的基本解法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
