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1.若$a - b - c = a - (\quad)$成立，则括号内应填入$(\quad)$。
A.$b - c$
B.$b + c$
C.$-b + c$
D.$-b - c$
A.$b - c$
B.$b + c$
C.$-b + c$
D.$-b - c$
答案
B
解析
【分析】
本题考查添括号法则的应用，解题思路如下：首先观察等式左边的式子为$a - b - c$，右边是$a$减去一个括号里的整式，相当于要把左边式子的后两项$-b$和$-c$放到前面带负号的括号内。根据添括号的规则，当括号前面是负号时，括到括号里的每一项都要改变符号，据此即可算出括号内应填的内容。
【解析】
根据添括号法则：添括号时，若括号前面是负号，括到括号内的各项都要改变符号。
对式子$a - b - c$变形，将后两项放在前面为负号的括号中：
$a - b - c = a - (b + c)$
因此括号内应填入$b + c$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
添括号法则
【点评】
本题属于基础题，核心考查添括号法则的运用，解题时需注意当括号前为负号时，括号内的所有项都要变号，避免出现仅改变第一项符号的常见错误。
【难度系数】
0.9
本题考查添括号法则的应用，解题思路如下：首先观察等式左边的式子为$a - b - c$，右边是$a$减去一个括号里的整式，相当于要把左边式子的后两项$-b$和$-c$放到前面带负号的括号内。根据添括号的规则，当括号前面是负号时，括到括号里的每一项都要改变符号，据此即可算出括号内应填的内容。
【解析】
根据添括号法则：添括号时，若括号前面是负号，括到括号内的各项都要改变符号。
对式子$a - b - c$变形，将后两项放在前面为负号的括号中：
$a - b - c = a - (b + c)$
因此括号内应填入$b + c$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
添括号法则
【点评】
本题属于基础题，核心考查添括号法则的运用，解题时需注意当括号前为负号时，括号内的所有项都要变号，避免出现仅改变第一项符号的常见错误。
【难度系数】
0.9
2. 为了运用平方差公式计算$(2x+y+z) · (y-2x-z)$，下列变形正确的是(
A.$[2x-(y+z)]^2$
B.$[2x+(y+z)][2x-(y+z)]$
C.$[y+(2x+z)][y-(2x+z)]$
D.$[z+(2x+y)][z-(2x+y)]$
C
).A.$[2x-(y+z)]^2$
B.$[2x+(y+z)][2x-(y+z)]$
C.$[y+(2x+z)][y-(2x+z)]$
D.$[z+(2x+y)][z-(2x+y)]$
答案
2. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要回忆平方差公式的结构特征：平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，适用前提是两个相乘的整式中，存在一项完全相同，另一项互为相反数。解题时先从给出的两个因式$(2x+y+z)$和$(y-2x-z)$中找相同的项，再把剩下的部分整理成互为相反数的整体，就能对应得到正确的变形。
【解析】
首先明确平方差公式的形式：两个因式相乘，可拆分为「相同项$a$加相反项$b$」乘「相同项$a$减相反项$b$」。
观察原式$(2x+y+z)(y-2x-z)$：
1. 找相同项：两个因式中都有单独的$y$，是完全相同的项，即$a=y$；
2. 整理相反项：第一个因式中除$y$外的部分是$2x+z$，第二个因式中除$y$外的部分是$-2x-z=-(2x+z)$，二者互为相反数，即$b=2x+z$；
3. 变形：将原式改写为$[y+(2x+z)][y-(2x+z)]$，对应选项C。
其他选项分析：
A选项是完全平方的形式，不符合原式两个不同因式相乘的结构，错误；
B选项将$2x$作为相同项，但是第二个因式中$y$为负，与第一个因式中的正$y$矛盾，错误；
D选项将$z$作为相同项，但是第一个因式中$2x+y$为正，第二个因式中$y-2x≠ 2x+y$，不存在相同项，错误。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；添括号法则
【点评】
本题核心考查平方差公式的应用，解题关键是准确识别两个因式中的相同项和相反项，灵活运用添括号法则将原式转化为平方差公式的标准结构，掌握公式的结构特征是解决这类变形题的核心。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要回忆平方差公式的结构特征：平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，适用前提是两个相乘的整式中，存在一项完全相同，另一项互为相反数。解题时先从给出的两个因式$(2x+y+z)$和$(y-2x-z)$中找相同的项，再把剩下的部分整理成互为相反数的整体，就能对应得到正确的变形。
【解析】
首先明确平方差公式的形式：两个因式相乘，可拆分为「相同项$a$加相反项$b$」乘「相同项$a$减相反项$b$」。
观察原式$(2x+y+z)(y-2x-z)$：
1. 找相同项：两个因式中都有单独的$y$，是完全相同的项，即$a=y$；
2. 整理相反项：第一个因式中除$y$外的部分是$2x+z$，第二个因式中除$y$外的部分是$-2x-z=-(2x+z)$，二者互为相反数，即$b=2x+z$；
3. 变形：将原式改写为$[y+(2x+z)][y-(2x+z)]$，对应选项C。
其他选项分析：
A选项是完全平方的形式，不符合原式两个不同因式相乘的结构，错误；
B选项将$2x$作为相同项，但是第二个因式中$y$为负，与第一个因式中的正$y$矛盾，错误；
D选项将$z$作为相同项，但是第一个因式中$2x+y$为正，第二个因式中$y-2x≠ 2x+y$，不存在相同项，错误。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；添括号法则
【点评】
本题核心考查平方差公式的应用，解题关键是准确识别两个因式中的相同项和相反项，灵活运用添括号法则将原式转化为平方差公式的标准结构，掌握公式的结构特征是解决这类变形题的核心。
【难度系数】
0.8
3.在等号右边的括号内填上适当的项：
$a - 2b + 3c = -($
$a - 2b + 3c = -($
-a+2b-3c
$).$答案
3. $-a+2b-3c$
解析
【分析】
本题考查添括号的应用，解题思路如下：首先回忆添括号的法则：当括号前面是负号时，括到括号内的每一项都要改变符号。题目要求将原式写成带负号的括号形式，相当于给原式整体提取一个“-”号，只需将原式每一项都改变符号后放入括号内即可。
【解析】
根据添括号法则：括号前是“-”，括到括号里的各项都要改变符号。
对式子$a - 2b + 3c$提取“-”号：
$a - 2b + 3c = -(-a + 2b - 3c)$
因此括号内应填$-a + 2b - 3c$。
【答案】
$-a+2b-3c$
【知识点】
添括号法则
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握添括号时的符号变化规则，遇到括号前为负号的情况，要注意括号内所有项都需变号，避免出现只变第一项符号的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查添括号的应用，解题思路如下：首先回忆添括号的法则：当括号前面是负号时，括到括号内的每一项都要改变符号。题目要求将原式写成带负号的括号形式，相当于给原式整体提取一个“-”号，只需将原式每一项都改变符号后放入括号内即可。
【解析】
根据添括号法则：括号前是“-”，括到括号里的各项都要改变符号。
对式子$a - 2b + 3c$提取“-”号：
$a - 2b + 3c = -(-a + 2b - 3c)$
因此括号内应填$-a + 2b - 3c$。
【答案】
$-a+2b-3c$
【知识点】
添括号法则
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握添括号时的符号变化规则，遇到括号前为负号的情况，要注意括号内所有项都需变号，避免出现只变第一项符号的错误。
【难度系数】
0.8
4. 运用乘法公式计算：
(1)$(a+2b-c)(2b-a-c)$；
(2)$(a+3b-1)^2$。
(1)$(a+2b-c)(2b-a-c)$；
(2)$(a+3b-1)^2$。
答案
解 (1)原式$=[(2b-c)+a][(2b-c)-a]=(2b-c)^2-a^2=4b^2-4bc+c^2-a^2$。
(2)原式$=(a+3b)^2-2(a+3b)+1=a^2+6ab+9b^2-2a-6b+1$。
(2)原式$=(a+3b)^2-2(a+3b)+1=a^2+6ab+9b^2-2a-6b+1$。
解析
【分析】
(1) 观察两个因式的结构，发现相同项为$2b-c$，剩余项$a$和$-a$互为相反数，因此可将$2b-c$看作整体，把原式转化为平方差公式的标准形式$(m+n)(m-n)$，先利用平方差公式展开，再对完全平方式进一步展开计算即可。
(2) 本题是三项式的平方运算，可将$a+3b$看作一个整体，把原式转化为完全平方公式的标准形式$(m-n)^2$，先利用完全平方公式展开，再对$(a+3b)^2$部分进一步展开，合并同类项后得到结果。
【解析】
(1) 先分组构造平方差公式的形式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(2b-c)+a][(2b-c)-a]\\&=(2b-c)^2-a^2 \quad \mathrm{（运用平方差公式）}\\&=4b^2-4bc+c^2-a^2 \quad \mathrm{（运用完全平方公式展开）}\end{aligned}$
(2) 先分组构造完全平方公式的形式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(a+3b)-1]^2\\&=(a+3b)^2-2(a+3b)+1 \quad \mathrm{（运用完全平方公式）}\\&=a^2+6ab+9b^2-2a-6b+1 \quad \mathrm{（展开并整理各项）}\end{aligned}$
【答案】
(1)$4b^2-4bc+c^2-a^2$；(2)$a^2+6ab+9b^2-2a-6b+1$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整体代换思想
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题的关键是通过合理分组，将不符合公式标准形式的多项式转化为平方差或完全平方公式的结构，简化运算过程，降低直接逐项展开的错误率。
【难度系数】
0.7
(1) 观察两个因式的结构，发现相同项为$2b-c$，剩余项$a$和$-a$互为相反数，因此可将$2b-c$看作整体，把原式转化为平方差公式的标准形式$(m+n)(m-n)$，先利用平方差公式展开，再对完全平方式进一步展开计算即可。
(2) 本题是三项式的平方运算，可将$a+3b$看作一个整体，把原式转化为完全平方公式的标准形式$(m-n)^2$，先利用完全平方公式展开，再对$(a+3b)^2$部分进一步展开，合并同类项后得到结果。
【解析】
(1) 先分组构造平方差公式的形式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(2b-c)+a][(2b-c)-a]\\&=(2b-c)^2-a^2 \quad \mathrm{（运用平方差公式）}\\&=4b^2-4bc+c^2-a^2 \quad \mathrm{（运用完全平方公式展开）}\end{aligned}$
(2) 先分组构造完全平方公式的形式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(a+3b)-1]^2\\&=(a+3b)^2-2(a+3b)+1 \quad \mathrm{（运用完全平方公式）}\\&=a^2+6ab+9b^2-2a-6b+1 \quad \mathrm{（展开并整理各项）}\end{aligned}$
【答案】
(1)$4b^2-4bc+c^2-a^2$；(2)$a^2+6ab+9b^2-2a-6b+1$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整体代换思想
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题的关键是通过合理分组，将不符合公式标准形式的多项式转化为平方差或完全平方公式的结构，简化运算过程，降低直接逐项展开的错误率。
【难度系数】
0.7
5. 先化简,再求值:$(2a - b)^2 + (a + 1 - b)(a + 1 + b) - (a + 1)^2$,其中 $a = \frac{1}{2}$, $b = -2$.
答案
解 $(2a-b)^2+(a+1-b)(a+1+b)-(a+1)^2=4a^2-4ab+b^2+(a+1)^2-b^2-(a+1)^2=4a^2-4ab$。
当$a=\frac{1}{2},b=-2$时，
原式$=4×(\frac{1}{2})^2-4×\frac{1}{2}×(-2)$
$=1+4$
$=5$。
当$a=\frac{1}{2},b=-2$时，
原式$=4×(\frac{1}{2})^2-4×\frac{1}{2}×(-2)$
$=1+4$
$=5$。
解析
【分析】
本题为整式化简求值题，解题思路如下：第一步先观察式子结构，识别可用的乘法公式：①$(2a-b)^2$符合完全平方差公式的形式，可直接展开；②$(a+1-b)(a+1+b)$中，相同项为$(a+1)$，相反项为$-b$和$b$，符合平方差公式的特征，可将$(a+1)$看作整体用平方差公式展开；③展开后合并同类项，消去重复项得到最简整式，最后将$a$、$b$的值代入最简式计算即可。
【解析】
首先利用乘法公式展开并化简原式：
$\begin{aligned}&(2a - b)^2 + (a + 1 - b)(a + 1 + b) - (a + 1)^2\\=&4a^2 - 4ab + b^2 + [(a+1)^2 - b^2] - (a+1)^2\\=&4a^2 - 4ab + b^2 + (a+1)^2 - b^2 - (a+1)^2\\=&4a^2 - 4ab\end{aligned}$
再代入$a = \frac{1}{2}$，$b = -2$计算：
$\begin{aligned}原式&=4×(\frac{1}{2})^2 - 4×\frac{1}{2}×(-2)\\&=4×\frac{1}{4} + 4\\&=1 + 4\\&=5\end{aligned}$
【答案】
$5$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题侧重考查乘法公式的灵活运用，解题的关键是准确识别平方差公式的结构特征，合理运用整体思想简化运算，代值计算时要注意负号的处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
本题为整式化简求值题，解题思路如下：第一步先观察式子结构，识别可用的乘法公式：①$(2a-b)^2$符合完全平方差公式的形式，可直接展开；②$(a+1-b)(a+1+b)$中，相同项为$(a+1)$，相反项为$-b$和$b$，符合平方差公式的特征，可将$(a+1)$看作整体用平方差公式展开；③展开后合并同类项，消去重复项得到最简整式，最后将$a$、$b$的值代入最简式计算即可。
【解析】
首先利用乘法公式展开并化简原式：
$\begin{aligned}&(2a - b)^2 + (a + 1 - b)(a + 1 + b) - (a + 1)^2\\=&4a^2 - 4ab + b^2 + [(a+1)^2 - b^2] - (a+1)^2\\=&4a^2 - 4ab + b^2 + (a+1)^2 - b^2 - (a+1)^2\\=&4a^2 - 4ab\end{aligned}$
再代入$a = \frac{1}{2}$，$b = -2$计算：
$\begin{aligned}原式&=4×(\frac{1}{2})^2 - 4×\frac{1}{2}×(-2)\\&=4×\frac{1}{4} + 4\\&=1 + 4\\&=5\end{aligned}$
【答案】
$5$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题侧重考查乘法公式的灵活运用，解题的关键是准确识别平方差公式的结构特征，合理运用整体思想简化运算，代值计算时要注意负号的处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
6.如果$(a+b+1)(a+b-1)=63$，那么你能求出$\frac{a+b}{2}$的值吗？请写出求解过程.
答案
解 能。
$\because (a+b+1)(a+b-1)=63$，
$\therefore (a+b)^2-1=63$，
$\therefore (a+b)^2=64$。
$\therefore a+b=\pm8$，
$\therefore \frac{a+b}{2}=\pm4$。
$\because (a+b+1)(a+b-1)=63$，
$\therefore (a+b)^2-1=63$，
$\therefore (a+b)^2=64$。
$\therefore a+b=\pm8$，
$\therefore \frac{a+b}{2}=\pm4$。
解析
【分析】
观察等式左边的结构，两个因式中均包含$a+b$，符合“两个数的和乘两个数的差”的平方差公式特征，因此可以把$a+b$看作一个整体，先利用平方差公式化简等式，求出$(a+b)^2$的值，再根据平方根的定义得到$a+b$的取值，最后计算$\frac{a+b}{2}$即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
能，求解过程如下：
$\because (a+b+1)(a+b-1)=63$，
将$a+b$看作整体，由平方差公式可得：
$(a+b)^2 - 1^2 = 63$，
整理得：$(a+b)^2 = 64$，
对等式两边开平方得：$a+b=\pm8$，
$\therefore \frac{a+b}{2}=\pm\frac{8}{2}=\pm4$。
【答案】
$\pm4$
【知识点】
平方差公式，平方根运算，整体代换
【点评】
本题的解题关键是通过观察式子结构，将$a+b$视为整体套用平方差公式化简，需要注意正数有两个互为相反数的平方根，解题时避免漏解。
【难度系数】
0.7
观察等式左边的结构，两个因式中均包含$a+b$，符合“两个数的和乘两个数的差”的平方差公式特征，因此可以把$a+b$看作一个整体，先利用平方差公式化简等式，求出$(a+b)^2$的值，再根据平方根的定义得到$a+b$的取值，最后计算$\frac{a+b}{2}$即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
能，求解过程如下：
$\because (a+b+1)(a+b-1)=63$，
将$a+b$看作整体，由平方差公式可得：
$(a+b)^2 - 1^2 = 63$，
整理得：$(a+b)^2 = 64$，
对等式两边开平方得：$a+b=\pm8$，
$\therefore \frac{a+b}{2}=\pm\frac{8}{2}=\pm4$。
【答案】
$\pm4$
【知识点】
平方差公式，平方根运算，整体代换
【点评】
本题的解题关键是通过观察式子结构，将$a+b$视为整体套用平方差公式化简，需要注意正数有两个互为相反数的平方根，解题时避免漏解。
【难度系数】
0.7
