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|思路分析|
寻找共性
思考1:化简的过程就是
思考2:解决此类问题,先将多项式化简,再将字母的值
解:
寻找共性
思考1:化简的过程就是
合并同类项
的过程.思考2:解决此类问题,先将多项式化简,再将字母的值
代入
.解:
答案
1. 合并同类项
2. 代入
解:原式=3a²−ab.当a=−1/3,b=6时，原式=7/3
2. 代入
解:原式=3a²−ab.当a=−1/3,b=6时，原式=7/3
解析
【分析】
本题考查整式化简求值的基本思路，可从整式运算的逻辑逐步推导：
1. 整式化简的核心是处理多项式中的同类项，把所含字母相同、相同字母指数也相同的项合并，将式子化为最简形式，因此思考1对应合并同类项的操作；
2. 化简得到最简整式后，若要得到具体的数值结果，只需把题目给出的字母取值代入最简式计算即可，相比直接代入原式计算更简便、出错率更低，因此思考2对应代入的操作，后续按先化简后代入求值的步骤完成计算即可。
【解析】
首先回答思路分析的两个问题：
思考1：化简的过程就是合并同类项的过程；
思考2：解决此类问题，先将多项式化简，再将字母的值代入。
接下来完成解题计算：
1. 对多项式合并同类项化简，可得：$原式=3a^2-ab$
2. 将$a=-\frac{1}{3}$，$b=6$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}原式&=3×(-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{1}{3})×6 \\&=3×\frac{1}{9} + 2 \\&=\frac{1}{3} + 2 \\&=\frac{7}{3}\end{aligned}$
【答案】
思考1：合并同类项；思考2：代入；化简求值结果为$\frac{7}{3}$
【知识点】
合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考察整式化简求值的基本步骤，熟练掌握合并同类项法则是解题关键，养成先化简再求值的习惯能有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
本题考查整式化简求值的基本思路，可从整式运算的逻辑逐步推导：
1. 整式化简的核心是处理多项式中的同类项，把所含字母相同、相同字母指数也相同的项合并，将式子化为最简形式，因此思考1对应合并同类项的操作；
2. 化简得到最简整式后，若要得到具体的数值结果，只需把题目给出的字母取值代入最简式计算即可，相比直接代入原式计算更简便、出错率更低，因此思考2对应代入的操作，后续按先化简后代入求值的步骤完成计算即可。
【解析】
首先回答思路分析的两个问题：
思考1：化简的过程就是合并同类项的过程；
思考2：解决此类问题，先将多项式化简，再将字母的值代入。
接下来完成解题计算：
1. 对多项式合并同类项化简，可得：$原式=3a^2-ab$
2. 将$a=-\frac{1}{3}$，$b=6$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}原式&=3×(-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{1}{3})×6 \\&=3×\frac{1}{9} + 2 \\&=\frac{1}{3} + 2 \\&=\frac{7}{3}\end{aligned}$
【答案】
思考1：合并同类项；思考2：代入；化简求值结果为$\frac{7}{3}$
【知识点】
合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考察整式化简求值的基本步骤，熟练掌握合并同类项法则是解题关键，养成先化简再求值的习惯能有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
【例4】水库中水位第一天连续上升了$b$ h，平均每小时上升2 cm，第二天连续下降了$b$ h，平均每小时下降0.25 cm，第三天连续下降了$b$ h，平均每小时下降2.5 cm，这三天水位的总变化量是多少？
解：
【规律方法】
(1)多项式的化简求值，一般是先化简，再求值，即先合并同类项，直到式子中没有同类项后，再将字母的值代入计算结果.代入时，若所给的字母的值是负数，需加括号，计算过程中要注意运算顺序.
(2)利用合并同类项解决实际问题时，要先找出题目中的数量关系，并根据数量关系列式，再合并同类项，最后得出结论.
解：
【规律方法】
(1)多项式的化简求值，一般是先化简，再求值，即先合并同类项，直到式子中没有同类项后，再将字母的值代入计算结果.代入时，若所给的字母的值是负数，需加括号，计算过程中要注意运算顺序.
(2)利用合并同类项解决实际问题时，要先找出题目中的数量关系，并根据数量关系列式，再合并同类项，最后得出结论.
答案
这三天水位的总变化量是下降了0.75b cm(或上升了−0.75b cm).
解析
【分析】
解题时首先要明确正方向的规定，通常将水位上升记为正，下降记为负；接下来分别计算每一天的水位变化量：变化量=每小时变化高度×时长，注意下降的变化量为负数；最后将三天的水位变化量相加，通过合并同类项化简得到总变化量，再根据结果的正负判断实际的升降情况。
【解析】
规定水位上升为正，下降为负。
第一天的水位变化量：$2× b = 2b\ \mathrm{cm}$
第二天的水位变化量：$-0.25× b = -0.25b\ \mathrm{cm}$
第三天的水位变化量：$-2.5× b = -2.5b\ \mathrm{cm}$
三天总变化量为三天变化量之和：
$\begin{aligned}&2b + (-0.25b) + (-2.5b)\\=&2b - 0.25b - 2.5b\\=&(2 - 0.25 - 2.5)b\\=&-0.75b\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
结果为负，说明水位整体是下降的。
【答案】
这三天水位的总变化量是下降了0.75b cm(或上升了−0.75b cm)。
【知识点】
正负数的实际应用，列代数式，合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的实际应用题，核心是结合生活场景建立数学模型，通过规定正负将实际升降问题转化为有理数的整式加减运算，解题过程中要格外注意下降对应的负号，避免符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确正方向的规定，通常将水位上升记为正，下降记为负；接下来分别计算每一天的水位变化量：变化量=每小时变化高度×时长，注意下降的变化量为负数；最后将三天的水位变化量相加，通过合并同类项化简得到总变化量，再根据结果的正负判断实际的升降情况。
【解析】
规定水位上升为正，下降为负。
第一天的水位变化量：$2× b = 2b\ \mathrm{cm}$
第二天的水位变化量：$-0.25× b = -0.25b\ \mathrm{cm}$
第三天的水位变化量：$-2.5× b = -2.5b\ \mathrm{cm}$
三天总变化量为三天变化量之和：
$\begin{aligned}&2b + (-0.25b) + (-2.5b)\\=&2b - 0.25b - 2.5b\\=&(2 - 0.25 - 2.5)b\\=&-0.75b\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
结果为负，说明水位整体是下降的。
【答案】
这三天水位的总变化量是下降了0.75b cm(或上升了−0.75b cm)。
【知识点】
正负数的实际应用，列代数式，合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的实际应用题，核心是结合生活场景建立数学模型，通过规定正负将实际升降问题转化为有理数的整式加减运算，解题过程中要格外注意下降对应的负号，避免符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8
4.先化简,再求值:$-x^2 +5x +4 +5x -4 +2x^2$,其中$x=-2$.
答案
4. 解:原式$=x^{2}+10x$.当$x=-2$时,原式$=-16$.
解析
【分析】
这是整式化简求值类题目，解题时不要直接代入未知数计算，优先化简再求值可以减少计算量。首先需要识别式子中的同类项：二次项$-x^2$和$2x^2$是同类项，一次项$5x$和$5x$是同类项，常数项$+4$和$-4$是同类项；再按照合并同类项法则将同类项合并得到最简整式，最后将$x=-2$代入最简整式计算即可得到结果。
【解析】
解：先合并同类项化简原式：
$\begin{aligned}原式&=(-x^2 + 2x^2) + (5x + 5x) + (4 - 4)\\&=x^2 + 10x\end{aligned}$
再将$x=-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=(-2)^2 + 10×(-2)\\&=4 - 20\\&=-16\end{aligned}$
【答案】
原式化简为$x^2+10x$，当$x=-2$时，原式的值为$-16$
【知识点】
合并同类项；整式的化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查合并同类项的法则，计算时需注意同类项识别准确，代入负数计算时不要遗漏符号，乘方运算时负数要加括号，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.85
这是整式化简求值类题目，解题时不要直接代入未知数计算，优先化简再求值可以减少计算量。首先需要识别式子中的同类项：二次项$-x^2$和$2x^2$是同类项，一次项$5x$和$5x$是同类项，常数项$+4$和$-4$是同类项；再按照合并同类项法则将同类项合并得到最简整式，最后将$x=-2$代入最简整式计算即可得到结果。
【解析】
解：先合并同类项化简原式：
$\begin{aligned}原式&=(-x^2 + 2x^2) + (5x + 5x) + (4 - 4)\\&=x^2 + 10x\end{aligned}$
再将$x=-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=(-2)^2 + 10×(-2)\\&=4 - 20\\&=-16\end{aligned}$
【答案】
原式化简为$x^2+10x$，当$x=-2$时，原式的值为$-16$
【知识点】
合并同类项；整式的化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查合并同类项的法则，计算时需注意同类项识别准确，代入负数计算时不要遗漏符号，乘方运算时负数要加括号，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.85
5.某食堂原有 30 袋面粉,每袋面粉的质量为$m$ kg.该食堂昨天中午用去 15 袋面粉,下午又购进同样包装的面粉 100 袋,晚上又用去 16 袋,则该食堂现有面粉多少千克?
答案
5. 解:该食堂现有面粉 99m kg.
解析
【分析】
解题时首先明确面粉袋数的变化规则：用去面粉则袋数减少，购进面粉则袋数增加。我们可以先根据原有袋数、用去袋数和购进袋数，计算出现在剩余的面粉总袋数，再用剩余总袋数乘每袋面粉的质量m kg，就能得到现有面粉的总质量。
【解析】
第一步：计算现有面粉的袋数
原有30袋，中午用去15袋后剩余：$30-15=15$（袋）
下午购进100袋后共有：$15+100=115$（袋）
晚上用去16袋后剩余：$115-16=99$（袋）
第二步：计算现有面粉的总质量
每袋面粉质量为m kg，总质量=剩余袋数×单袋质量，即$99× m=99m$（kg）
【答案】
该食堂现有面粉99m kg。
【知识点】
1.用字母表示数 2.列代数式 3.有理数加减运算
【点评】
本题结合生活实际考查数量关系的应用，解题核心是理清物品数量的增减变化规律，计算时注意运算顺序即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确面粉袋数的变化规则：用去面粉则袋数减少，购进面粉则袋数增加。我们可以先根据原有袋数、用去袋数和购进袋数，计算出现在剩余的面粉总袋数，再用剩余总袋数乘每袋面粉的质量m kg，就能得到现有面粉的总质量。
【解析】
第一步：计算现有面粉的袋数
原有30袋，中午用去15袋后剩余：$30-15=15$（袋）
下午购进100袋后共有：$15+100=115$（袋）
晚上用去16袋后剩余：$115-16=99$（袋）
第二步：计算现有面粉的总质量
每袋面粉质量为m kg，总质量=剩余袋数×单袋质量，即$99× m=99m$（kg）
【答案】
该食堂现有面粉99m kg。
【知识点】
1.用字母表示数 2.列代数式 3.有理数加减运算
【点评】
本题结合生活实际考查数量关系的应用，解题核心是理清物品数量的增减变化规律，计算时注意运算顺序即可。
【难度系数】
0.9
纸盒的制作与摆放
某班综合实践小组开展“制作纸盒”的实践活动.
【知识准备】
下列各组单项式中,是同类项的是
①2和b；②−2和5；③−3x²y和2x²y；④2a和3b.
【制作纸盒】
综合实践小组准备制作正方体、长方体两种纸盒,已知尺寸如下表所示.
要制作这两种纸盒各1个,一共用纸的面积是
【拓展探究】
综合实践小组一共制作了7个相同的正方体纸盒和5个相同的长方体纸盒,他们继续探究,把7个正方体纸盒摆放成了如图①所示的形状,把5个长方体纸盒摆放成了如图②所示的形状,则图①中的图形的表面积是
某班综合实践小组开展“制作纸盒”的实践活动.
【知识准备】
下列各组单项式中,是同类项的是
②③
.(只填序号)①2和b；②−2和5；③−3x²y和2x²y；④2a和3b.
【制作纸盒】
综合实践小组准备制作正方体、长方体两种纸盒,已知尺寸如下表所示.
要制作这两种纸盒各1个,一共用纸的面积是
$6c^{2}+2ab+2bc+2ac$
cm².(黏合处及损耗忽略不计)【拓展探究】
综合实践小组一共制作了7个相同的正方体纸盒和5个相同的长方体纸盒,他们继续探究,把7个正方体纸盒摆放成了如图①所示的形状,把5个长方体纸盒摆放成了如图②所示的形状,则图①中的图形的表面积是
$28c^{2}$
cm²；图②中的图形的表面积是$8ab+8ac+6bc$
cm².答案
【知识准备】 ②③
【制作纸盒】 $6c^{2}+2ab+2bc+2ac$
【拓展探究】 $28c^{2}$ $8ab+8ac+6bc$
【制作纸盒】 $6c^{2}+2ab+2bc+2ac$
【拓展探究】 $28c^{2}$ $8ab+8ac+6bc$
解析
【分析】
1. 知识准备模块：解题核心是运用同类项的定义判断，同类项需满足两个条件：所含字母完全相同，相同字母的指数也分别相同，同时所有常数项都属于同类项，逐一比对4个选项即可得出结果。
2. 制作纸盒模块：总用纸面积就是1个正方体和1个长方体的表面积之和，分别套用正方体、长方体的表面积公式计算后相加即可。
3. 拓展探究模块：计算组合体表面积采用三视图法，分别从上下、左右、前后六个方向统计可见面的总面积，被遮挡的贴合面不计入表面积，汇总六个方向的面积即可得到最终结果。
【解析】
知识准备
根据同类项定义逐一判断：
①2是常数项，b是含字母b的单项式，不是同类项；
②-2和5都是常数项，属于同类项；
③-3x²y和2x²y所含字母都是x、y，且x的指数都是2，y的指数都是1，是同类项；
④2a含字母a，3b含字母b，所含字母不同，不是同类项。
因此填②③。
制作纸盒
1个正方体的表面积为：$6× c× c=6c^2$
1个长方体的表面积为：$2(ab+bc+ac)=2ab+2bc+2ac$
总用纸面积为二者相加：$6c^2+2ab+2bc+2ac$
拓展探究
图①（7个正方体组合体）：
从六个方向统计可见的边长为c的正方形总数为28，单个正方形面积为$c^2$，因此总表面积为$28c^2$。
图②（5个长方体组合体）：
前、后两面总面积：$2×4ab=8ab$；左、右两面总面积：$2×4ac=8ac$；上、下两面总面积：$2×3bc=6bc$，汇总得总表面积为$8ab+8ac+6bc$。
【答案】
【知识准备】②③；【制作纸盒】$6c^{2}+2ab+2bc+2ac$；【拓展探究】$28c^{2}$，$8ab+8ac+6bc$
【知识点】
同类项的定义；几何体表面积计算；组合体表面积求解
【点评】
本题结合实践活动场景出题，既考察了基础代数概念的识记，又考察了空间想象能力和表面积的实际应用能力，设置梯度合理，兼顾基础和能力的双重考察。
【难度系数】
0.7
1. 知识准备模块：解题核心是运用同类项的定义判断，同类项需满足两个条件：所含字母完全相同，相同字母的指数也分别相同，同时所有常数项都属于同类项，逐一比对4个选项即可得出结果。
2. 制作纸盒模块：总用纸面积就是1个正方体和1个长方体的表面积之和，分别套用正方体、长方体的表面积公式计算后相加即可。
3. 拓展探究模块：计算组合体表面积采用三视图法，分别从上下、左右、前后六个方向统计可见面的总面积，被遮挡的贴合面不计入表面积，汇总六个方向的面积即可得到最终结果。
【解析】
知识准备
根据同类项定义逐一判断：
①2是常数项，b是含字母b的单项式，不是同类项；
②-2和5都是常数项，属于同类项；
③-3x²y和2x²y所含字母都是x、y，且x的指数都是2，y的指数都是1，是同类项；
④2a含字母a，3b含字母b，所含字母不同，不是同类项。
因此填②③。
制作纸盒
1个正方体的表面积为：$6× c× c=6c^2$
1个长方体的表面积为：$2(ab+bc+ac)=2ab+2bc+2ac$
总用纸面积为二者相加：$6c^2+2ab+2bc+2ac$
拓展探究
图①（7个正方体组合体）：
从六个方向统计可见的边长为c的正方形总数为28，单个正方形面积为$c^2$，因此总表面积为$28c^2$。
图②（5个长方体组合体）：
前、后两面总面积：$2×4ab=8ab$；左、右两面总面积：$2×4ac=8ac$；上、下两面总面积：$2×3bc=6bc$，汇总得总表面积为$8ab+8ac+6bc$。
【答案】
【知识准备】②③；【制作纸盒】$6c^{2}+2ab+2bc+2ac$；【拓展探究】$28c^{2}$，$8ab+8ac+6bc$
【知识点】
同类项的定义；几何体表面积计算；组合体表面积求解
【点评】
本题结合实践活动场景出题，既考察了基础代数概念的识记，又考察了空间想象能力和表面积的实际应用能力，设置梯度合理，兼顾基础和能力的双重考察。
【难度系数】
0.7
