15.如图8,点M,N(点M在N的左侧)把线段AB分割成AM,MN,NB三条线段.若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的“勾股分割点”.
(1)已知点M,N把线段AB分割成AM,MN,BN三条线段,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2.0,则点M,N是线段AB的“勾股分割点”吗?请说明理由;
(2)已知点M,N是线段AB的“勾股分割点”,且AM为直角边.若AB=30,AM=5,求BN的长.

15. (1) $\because AM^2 + BN^2 = 1.5^2 + 2^2 = 6.25$,
$MN^2 = 2.5^2 = 6.25$,
$\therefore AM^2 + NB^2 = MN^2$,
$\therefore$ 以 $AM,MN,NB$ 为边的三角形是一个直角三角形,
$\therefore$ 点 $M,N$ 是线段 $AB$ 的“勾股分割点”.
(2) 设 $BN = x$, 则 $MN = 30 - AM - BN = 25 - x$.
① 当 $MN$ 为最大线段时, 依题意 $MN^2 = AM^2 + NB^2$, 即 $(25 - x)^2 = x^2 + 25$, 解得 $x = 12$;
② 当 $BN$ 为最大线段时, 依题意 $BN^2 = AM^2 + MN^2$, 即 $x^2 = 25 + (25 - x)^2$, 解得 $x = 13$, 综上所述, $BN = 12$ 或 $13$.

16.勾股定理的证法多样,巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪灵感.他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形按图9①或图9②所示摆放时,都可以用“面积法”来证明勾股定理.下面是小聪利用图9①证明勾股定理的过程:
将两个全等的直角三角形按图9①所示摆放,其中$∠ DAB=90°$,求证:$a^2 + b^2 = c^2$.
证明:连接$DB$,过点$D$作$BC$边上的高$DF$,则$DF=EC=b - a$.
∵$S_{四边形ADCB}=S_{△ ACD}+S_{△ ABC}=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab$,
又∵$S_{四边形ADCB}=S_{△ ADB}+S_{△ DCB}=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b - a)$,
∴$\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b - a)$,
∴$a^2 + b^2 = c^2$.
请参照上述证法,利用图9②完成下面的证明:
将两个全等的直角三角形按图9②所示摆放,其中$∠ DAB=90°$,求证:$a^2 + b^2 = c^2$.

16. 连接 $BD$, 过点 $B$ 作 $DE$ 边上的高 $BF$, 可得 $BF = b - a$.
$\because S_{五边形ACBED} = S_{△ACB} + S_{△ABE} + S_{△ADE} = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab$,
又 $\because S_{五边形ACBED} = S_{△ACB} + S_{△ABD} + S_{△BDE} = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$,
$\therefore \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$,
$\therefore a^2 + b^2 = c^2$.